2025北京海淀高二下学期期末数学试卷含答案

这是一份2025北京海淀高二下学期期末数学试卷含答案，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

x 1
海淀区 2025 年高二年级学业水平调研
数学参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
1
（1）B
（2）B
（3）D
（4）A
（5）C
（6）A
（7）C
（8）A
（9）D
（10）D
（11）5 100 （12）(1, )

（13）
59
60
（14）(3,)
（15）① ② ④
说明 ： 两 空 题 每个空 2 分
4 分 ， 有 错 的 则 给 ０ 分
15 题 对 一 个 给 2 分 ， 对 两 个 给 3 分 ， 都 对 给 三、解答题（共 4 小题，共 40 分）
（16）（共 9 分）
2 x
解：（Ⅰ）因为 f ( )x  e (x  x 1)  (2x 1)e
(x2  x 1)2
x 2
e (x − 3x + 2)(x2− x +1)2
所以 f (0)  2 ， 又 f (0) 1，
所以曲线 y  f x( ) 在点(0, f (0)) 处的切线方程为 y  2x 1
……1 分
……2 分
……3 分
……4 分
……5 分
（Ⅱ）因为 f ( )x  e (x 1)(x  2) ， x  R ，
(x2  x 1)2x
令 f (x)  0 ，解得 x 1或 x  2 ，
……6 分
随着 x 的变化， f (x) 与 f '(x) 的变化情况如下表：
高二数学 参考答案 第 1 页（共 5 页）
x
(,1)
1
(1,2)
2
(2,)
3 6
所以 ( )  14 .
P A
20 1 45
所以 E X( )  0 84 84  2 84  3 84 1
f (x)

0

0

f (x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数 f (x) 的单调递增区间为(,1) 和(2,) ， 单调递减区间为(1,2) .
……8 分
……9 分
（17）（共 10 分）
解：（Ⅰ）设事件 A 为“从表中提供的 AI 大模型中任取一个，幻觉率低于 2%”，……1 分
9
（Ⅱ）随机变量 X 的取值范围是{0,1,2,3}，
……2 分
……3 分P X(  0)   ，
6
C C
C3 20
C93 84
C C2 1 18
C39 84
1 2
P X( 1)  3 6C93
P X(  3) 
P X(  2) 
，
3
C93
C3

84
1
 45
84

3
1
84
……5 分
随机变量 X 的分布列如下表所示，
X
0
1
2
P
20
84
45
84
18
84
18 1
（Ⅲ）来自乙公司.
（18）（共 11 分）
解：（Ⅰ）当 a 1时， f x( )  x2  x ln x ， 所以 f '( )x  2x  ln x 1 ，
……6 分
……8 分
……10 分
……1 分
记 g x( )  f '(x)  2x  ln x 1 ，其定义域为(0,) ，
1 2x 1
所以 g '(x)  2   ，……2 分
x x
高二数学 参考答案 第 2 页（共 5 页）
1 1
1 1
1 1
a
令 g '(x)  0 ，得 x  1 ，
……3 分
2
随着 x 的变化， g x( ) 与 g '( )x 的变化情况如下表：
1
1
所以 g x( ) 的最小值为 g( )  ln 2 ，……4 分
……5 分
2
所以切线l 的斜率的最小值为ln2 . （Ⅱ）因为 f '(x)  2x  a ln x  a
a 2x  a
令 g(x)  f '(x)  2x  a ln x  a ， g '(x)  2   ，
x x
x
(0,1)
2
2
(1,)
2
g '( )x

0

g x( )
↘
极小值
↗
因为 a  0 ，所以 g '(x)  0 ， g x( ) 在(0,) 单调递增.
又因为 g(ea )  2ea  a(1 11)  2ea 1 2e1 1 0 ,
g(1)  2  a  0 ，
……6 分
……7 分
……8 分
所以存在 x0 (e 1,1) ，使得 g(x0 )  0 ,即 f '(x0 )  0
随着 x 的变化， f (x) 与 f '(x) 的变化情况如下表：
x
11
(ea , x0 )
0
(x0 ,1)
f '( )x

0

f (x)
↘
极小值
↗
所以 f (x) 存在极小值. （Ⅲ） a  2 .
……9 分
……11 分
高二数学 参考答案 第 3 页（共 5 页）
1
s  n a， 与n 的奇偶性相同，
n 1 n， 为奇数，
y  
, s}，其中
（Ⅲ）设 x  
n 1 n， 为偶数，
（19）（共 10 分）
解：（Ⅰ） P(3) 数列：①1，2，3；②1，3，2；
③3，1，2；④3，2，1（任取两个）
……3 分
（Ⅱ）当 n  3 时，
因为a1,a2 ,a3  1,2,3 ，a1  a2
 2 或
a1  a3  2 ，
所以a1,a2  1,3或a1,a3  1,3 ，
所以 a1  1, 3 ．
……4 分
当 n  4 时，
因为1,2, , n ； 2,1,3,4,5, ,n ； n n, 1,n  2, ,1； n 1,n n,  2,n  3,n  4, ,1
均是 P n( ) 数列，所以 a1 可以为1,2,n 1,n ．
假设，存在3  a1  n  2 ，则此时1  a1  2  n ．
, }
记 B  {a1  2,a1  4,a1  6,
记C  {a1  2,a1  4,a1  6,
t ，其中t  a，a，11
n 1 a，1与n 的奇偶性不同．
由条件②， a1  2 之后必有 a1  4 ， a1  6 ，……，
直到集合 B 中某一个数出现在数列 An 的最后两项中；
同理集合C 中必有某一个数出现在数列 An 的最后两项中． 由于集合 B ，C 中的数均与 a1 同奇偶，所以 an1 ，an 同奇偶． 不妨设 an1 ，an 均为奇数，
考虑数列 An 中最后一项偶数，必不能满足条件②，矛盾，假设错误．
……6 分所以 a1 1, 2, n 1, n ．
n n， 为奇数，
n n， 为偶数．
由（Ⅱ）知， an1 ，an 必为一奇一偶．
考虑{1,3,5, , x} 在数列 An 中出现的先后顺序，与（Ⅱ）同理，
首次出现的必为最小值1 或最大值 x ，
高二数学 参考答案 第 4 页（共5 页）
, y}
22 种．
1
b2k 1
2k 1
 2

k!(k 
(2k 
C2k 1  2

1)!  2  2k 1  2  4  2  4 ．
x11
接下来依次出现剩下的数中的最小值或者最大值，共 2 2 种先后顺序．
同理，{2,4,6,
y
在数列中出现的先后顺序共
先确定{1,3,5, , x} 分别为第几项，注意到该集合恰有一个数在最后两项中，
x11 x11
所以共C 2 C1  2 2 种方法，n2 2
x11 x11 y1 x1 x y1
n2
2
所以
bn  Cn2
C1  2 2  22  C 2  2
2 ．
当 n  2k 1时， x  2k 1， y  2k  2 ，b2k 1  C kk2 13  22k 2 ；
当 n  2k 时， x  2k 1， y  2k ，b2k  C kk2 12  22k 1 ， k  2,3,4,．
(2k  2)!
b Ck 1  22k 1 (k 1)!(k 1)!
b2k 1 C kk2 13  2 (2k  3)! 2k 2
2k
2k 2
所以    2  4 ，
(k 1)!(k  2)!
(2k 1)!
k 2k
b Ck 1
2k 2k 2
2)! k k(k 1)!(k 1)!
所以 1 的最大值为 4 ，当 n  3,5,7,
时取到．
……10 分
n
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页）