云南省曲靖市曲靖一中沾益清源高级中学2023~2024学年高一下册期末考试数学检测试卷（含解析）

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全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的乘方运算和加减法法则计算出，得到对应的点坐标，得到答案.
【详解】，故在复平面内对应的点坐标为，
所以在复平面内对应的点在第一象限.
故选：A．
2.设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ）
A.相同的向量B.模相等的向量
C.共线向量D.共起点的向量
【答案】B
【解析】
【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解
【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.
故选：B
3.抽样统计某位学生10次的英语成绩分别为86，84，88，86，89，89，88，87，85，91，则该学生这10次成绩的50%分位数为（ ）
A.88.5B.89C.91D.87.5
【答案】D
【解析】
【分析】该学生10次的英语成绩从小到大排列，即可求出该学生这10次成绩的50%分位数.
【详解】该学生10次的英语成绩从小到大分别为84，85，86,86,87，88，88，89，89，91.又，这10次成绩的50%分位数为.
故选：D.
4.下列叙述中，错误的是（ ）
A.数据的标准差比较小时，数据比较分散
B.样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响
C.数据的极差反映了数据的集中程度
D.任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变
【答案】A
【解析】
【分析】利用样本数字特征基本概念逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A错误；
样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响，故B正确；
数据的极差反映了数据的集中程度，故C正确；
任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确．
故选：A．
5.已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ）
A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5
【答案】D
【解析】
【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可.
【详解】由和对立，，可得，解得，
又由随机事件和互斥可知，
由，
将代入计算可得.
故选：D.
6.若一个圆锥轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积公式求解即可
【详解】由题可知，该圆锥的底面半径为，因此，该圆锥表面积为
故选：A
7.已知，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用换元法，结合诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案.
【详解】设，则
.
故选：A
8.如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ）
A.70米B.80米C.90米D.100米
【答案】A
【解析】
【分析】先由题意得出，，再在中，由余弦定理即可求解.
【详解】由题，
所以，
故在中，由余弦定理得，
所以即，
（舍去）或，故铁塔的高度是70米.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A.调查某市小学生每天的运动时间
B.某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查
C.农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量
D.调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况
【答案】AC
【解析】
【分析】根据普查和抽样调查各自的特点进行选择．
【详解】A．调查某市小学生每天的运动时间的工作量很大，抽样调查；
B．某公司初步发现一位职员患有甲肝，甲肝具有传染性，危害大，对此公司职员进行检查适合普查的方式；
C．农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量适合采用抽样调查；
D．调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况适合普查的方式；
故选：AC．
10.已知复数，为的共轭复数，则下列各选项正确的是（ ）
A.是虚数B.虚部为
C.D.
【答案】AD
【解析】
【分析】结合复数及共轭复数的概念，复数模的公式，复数的几何意义，即可求解.
【详解】因为，所以，
A选项中，由于虚部不为0，所以是虚数，A正确；
B选项中，的虚部为1，B错误；
C选项中，当复数的虚部不为零时，不能比大小，C错误；
D选项中，，，，D正确．
故选：AD．
11.在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.面积的最大值为
C.若为边的中点，则的最大值为3
D.若为锐角三角形，则其周长的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A,用余弦定理可解；对于B，用面积公式，结合基本不等式可解；对于C，用两次余弦定理，互补角余弦值互为相反数来构造方程可解；对于D，周长问题，边化角，用三角函数解题．
【详解】对于A,由题意可知，利用余弦定理得，，因为，所以，故A正确；
对于B，由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当时取等号，此时，故B错误；
对于C，在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，由B知，的最大值为12，因此最大为3，故C正确；
对于D，利用正弦定理，，则，于是的周长，
由于是锐角三角形，因此即解出，
则则，则，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知向量，，若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据和代入计算整理．
【详解】因为向量，，且，所以，解得，.
故答案为：．
13.已知四位数，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】任意交换两个数的位置之后有：，，，，，，共种，
两个奇数相邻有，，共种，
所以两个奇数相邻的概率为.
故答案为：
14.在一个底面直径为12cm，高为18cm的圆柱形水杯中加入水后，水面高度为12cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13cm，则球型小钢珠的半径为______cm．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，求解即可.
【详解】设球型小钢珠的半径为，
上升水柱的体积，
所以，
，
．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15.已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知条件和同角三角函数求得，再运用正弦、余弦的二倍角公式可得答案；
（2）根据（1）的结论和正弦的和角公式可求得答案.
【详解】解：（1）因，所以，
所以，
．
（2）．
【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，正弦、余弦函数的二倍角公式，正弦的和角公式，属于基础题.
16.在中，内角的对边分别为，向量且.
（1）求角；
（2）若，求内切圆的半径.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理边角互化，求得，即可求得；
（2）利用余弦定理求得，利用等面积法，结合三角形面积公式，即可求得内切圆半径.
【小问1详解】
因为向量与平行，所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，
又，所以.
【小问2详解】
由余弦定理得，所以，解得或（舍），
所以的面积，
设内切圆的半径为，
所以，解得.
17.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，是线段上的一点．
（1）若，求证：平面；
（2）若，求证：平面平面．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）证明线面平行，只需在平面内找到一条直线与平行即可；
（2）证明面面垂直，只需证明线面垂直，只需证明线线垂直即可.
【小问1详解】
连接，交于点，连接，如图所示．
因为底面为菱形，所以是的中点，又，所以，
又平面，平面，所以平面；
【小问2详解】
在直四棱柱中，平面，
因为平面，所以，
又底面为菱形，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
18.举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立.
（1）求甲队总得分为1分的概率；
（2）求两队积分相同的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解.
【小问1详解】
记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，
所以；
【小问2详解】
由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为，
乙队积0分，1分，2分的概率分别为，
记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件，
因为两队得分相互独立，互不影响，
则，
所以两队积分相同的概率为.
19.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，，，分别是，的中点，.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求与底面所成角的正切值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由是的中点，可知点到底面的距离为，由平面知识可求出四边形的面积，再根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积；
（2）由（1）可知，与底面形成的角为，为与的交点，解三角形即可求出与底面所成角的正切值．
【详解】（1）∵，，四边形为菱形
∴，
如图，连，相交于点，连．
∵，，∴
∵平面，∴平面，且.
∴.
（2）∵平面，∴与底面形成的角为．
∵，
∴．故与底面所成角的正切值为.
【点睛】本题主要考查四棱锥的体积计算，以及直线与平面所成角的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．