2025年黑龙江省龙东地区中考数学试卷（含解析）

这是一份2025年黑龙江省龙东地区中考数学试卷（含解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运算正确的是( )
A. a4⋅a3=a6B. 2a+3b=6ab
C. (−2a2b3)3=−8a6b9D. (−a+b)(a+b)=a2−b2
2.我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”.某专卖店“滨滨”和“妮妮”套盒纪念品连续六天的销售量(单位：套)分别为：136，140，129，180，136，154，这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 136，136B. 138，136C. 136，129D. 136，138
4.一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是( )
A. 7
B. 8
C. 6
D. 5
5.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为( )
A. 8000(1+2x)=1200
B. 8000(1+x)2=12000
C. 8000+8000(1+x)+8000(1+x)2=12000
D. 8000×2(1+x)=12000
6.已知关于x的分式方程x+kx−4−2k4−x=3解为负数，则k的值为( )
A. k−4
C. k−4且k≠−43
7.为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案( )
A. 6B. 7C. 4D. 5
8.如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线y=kx(k≠0)上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为−1，∠AOB=∠ABO=45°，则k的值为( )
A. 2 B. − 52
C. 5−12 D. − 5+12
9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD=4，CE=3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为( )
A. 52
B. 125
C. 2
D. 135
10.如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上(不与点B、C重合)，点E在CB的延长线上，且BE=BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N.则下列结论：①MN=AF；②∠EAH=∠EHA；③EN⋅BF=EC⋅HN；④若BF：FC=3：4，则tan∠FAC=25；⑤图中共有5个等腰三角形.其中正确的结论是( )
A. ①②③⑤B. ①②④⑤C. ①②③④D. ①③④⑤
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录.将数据157亿用科学记数法表示为______．
12.在函数y=1x+3中，自变量x的取值范围是______．
13.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件______，使平行四边形ABCD为菱形．
14.如图，随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为______．
15.关于x的不等式组2x−3≤0x−a>0恰有3个整数解，则a的取值范围是______．
16.如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，∠BAC=35°，∠P=______．
17.若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为______．
18.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=9，点M是△ABC内部一点，连接AM、BM、CM，若CM=3，则AM+13BM的最小值为______．
19.如图，在矩形ABCD中，AD=6，∠CAD=60°，点E是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作点C关于直线EF的对称点P，若PE⊥AC，则CF的长为______．
20.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+3交x轴于点A，交y轴于点B.四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，⋯都是正方形，顶点A1，A2，A3，A4，⋯都在x轴上，顶点B1，B2，B3，B4，⋯都在直线y=−12x+3上，连接BA1，B1A2，B2A3，B3A4，⋯分别交C1B1，C2B2，C3B3，C4B4，⋯于点D1，D2，D3，D4，⋯.设△BB1D1，△B1B2D2，△B2B3D3，△B3B4D4，⋯的面积分别为S1，S2，S3，S4，⋯，则S2025=______．
三、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题5分)
先化简，再求值：1a2−1⋅a2−2a+1a+1a，其中a=2sin60°−1．
22.(本小题6分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,−1)，B(1,−3)，C(3,−4)．
(1)将△ABC向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)画出△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
(3)在(2)的条件下，求点C1旋转到点C2的过程中，所经过的路径长(结果保留π)．
23.(本小题6分)
如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为(3,−4)．
(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等.若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
24.(本小题7分)
2025年6月5日是中国的第11个环境日，育华中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间(单位：ℎ)，张老师随机抽取了该校八年级m名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)m=______，扇形统计图中a=______，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求参加公益活动时间为7ℎ所对应扇形圆心角的度数；
(3)若育华中学八年级共有学生1200人，请根据样本数据，估计育华中学八年级参加公益活动的时间是10ℎ的学生有多少人？
25.(本小题8分)
一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地(卸货时间忽略不计).两车同时出发，轿车比货车晚13ℎ到达终点，两车均按各自速度匀速行驶.如图是轿车和货车距各自出发地的距离y(单位：km)与轿车的行驶时间x(单位：ℎ)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)图中a的值是______，b的值是______；
(2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y(单位：km)与行驶时间x(单位：ℎ)之间的函数解析式；
(3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km．
26.(本小题8分)
已知：如图，△ABC中，AB=AC，设∠BAC=α，点D是直线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE，连接DE、BE，过点E作EF⊥BC，交直线BC于点F.探究如下：
(1)若α=60°时，
如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF=DF+BC；
如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
(2)若α=120°，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF、DF、BC之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明．
27.(本小题10分)
2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相.第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生.已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元．
(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？
(3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
28.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，tan∠COA= 3，OA的长是一元二次方程x2−3x−18=0的根，过点C作CQ⊥OA交OA于点Q，交对角线OB于点P.动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，动点N从点B以每秒 3个单位长度的速度沿BO向终点O运动，M、N两点同时出发，设运动时间为t秒．
(1)求点P坐标；
(2)连接MN、PM，求△PMN的面积S关于运动时间t的函数解析式；
(3)当t=3时，在对角线OB上是否存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形.若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：a4⋅a3=a7，则A不符合题意，
2a与3b不是同类项，无法合并，则B不符合题意，
(−2a2b3)3=−8a6b9，则C符合题意，
(−a+b)(a+b)=b2−a2，则D不符合题意，
故选：C．
利用平方差公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可．
本题考查平方差公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
C.图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D.图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形与中心对称图形，熟知一个图形绕着某固定点旋转180°后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：将这组数据重新排列为129，136，136，140，154，180，
所以这组数据的众数为136，中位数为136+1402=138，
故选：D．
将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
4.【答案】A
【解析】解：如图所示：
组成该几何体所需小正方体的个数最少是：1+1+1+2+2=7．
故选：A．
在俯视图中标出正方体的个数即可得出答案．
本题主要考查由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
5.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
8000(1+x)2=12000，
故选：B．
根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
6.【答案】A
【解析】解：x+kx−4−2k4−x=3，
得x+3kx−4=3，
得x+3k=3x−12，
解得：x=3k+122，
根据题意，解x=3k+122