山东省烟台市福山区2025届高考数学三模试卷含解析

这是一份山东省烟台市福山区2025届高考数学三模试卷含解析，共16页。试卷主要包含了已知函数，则的最小值为，复数的虚部为，若函数在时取得最小值，则等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（ ）
A．7B．14C．28D．84
3．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，则的最小值为( )
A．B．C．D．
6．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知当，，时，，则以下判断正确的是
A．B．
C．D．与的大小关系不确定
8．下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（ ）
A．B．C．D．
9．复数的虚部为（ ）
A．—1B．—3C．1D．2
10．若函数在时取得最小值，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．复数在复平面内对应的点位于第三象限
C．的共轭复数D．
12．已知m为实数，直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．点是曲线（）图象上的一个定点，过点的切线方程为，则实数k的值为______.
14．一个村子里一共有个人，其中一个人是谣言制造者，他编造了一条谣言并告诉了另一个人，这个人又把谣言告诉了第三个人，如此等等．在每一次谣言传播时，谣言的接受者都是在其余个村民中随机挑选的，当谣言传播次之后，还没有回到最初的造谣者的概率是_______．
15．在中，已知，则的最小值是________．
16．若复数（是虚数单位），则________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）己知，，.
（1）求证：；
（2）若，求证：.
18．（12分）已知数列的前项和为，且满足（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）设（），数列的前项和.若对恒成立，求实数，的值.
19．（12分）设数列的前n项和满足，，，
（1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式﹔
（2）设，求证：.
20．（12分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）.
（1）应抽查男生与女生各多少人？
（2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：
若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？
附：K2.
21．（12分）已知点到抛物线C：y1=1px准线的距离为1．
（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；
（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB，分别交x轴于M，N两点，求的值．
22．（10分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线距离的最小值和最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
先化简集合A，再与集合B求交集.
【详解】
因为，，
所以.
故选：C
本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.
2．D
【解析】
利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解
【详解】
，
解得．
．
故选：D
本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
3．C
【解析】
根据，再根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】
因为，所以二项式的展开式的通项公式为：，令，所以，因此有
.
故选：C
本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力
4．A
【解析】
先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,再由中间值1可得三者的大小关系.
【详解】
，，，因此，故选：A.
本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.
5．C
【解析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.
【详解】
由于
，
故其最小值为：.
故选：C.
本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题.
6．C
【解析】
根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
点不在直线、上，
若直线、互相平行，则过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，即必要性成立，
若过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，则直线、互相平行成立，反证法证明如下：
若直线、互相不平行，则，异面或相交，则过点只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立
则“过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行”是“直线、互相平行”的充要条件，
故选：．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．
7．C
【解析】
由函数的增减性及导数的应用得：设，求得可得为增函数，又，，时，根据条件得，即可得结果．
【详解】
解：设，
则，
即为增函数，
又，，，，
即，
所以，
所以．
故选：C．
本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．
8．C
【解析】
分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.
【详解】
函数的定义域为，在上为减函数.
A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.
B选项，的定义域为，不符合.
C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.
D选项，的定义域为，不符合.
故选：C
本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.
9．B
【解析】
对复数进行化简计算，得到答案.
【详解】
所以的虚部为
故选B项.
本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.
10．D
【解析】
利用辅助角公式化简的解析式，再根据正弦函数的最值，求得在函数取得最小值时的值．
【详解】
解：，其中，，，
故当，即时，函数取最小值，
所以，
故选：D
本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．
11．D
【解析】
利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.
【详解】
因为，，，所以的周期为4，故，
故的虚部为2，A错误；在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；的共
轭复数为，C错误；，D正确.
故选：D.
本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.
12．A
【解析】
根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
当m=1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0满足l1∥l2，即充分性成立，
当m=0时，两直线方程分别为y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不满足条件．
当m≠0时，则l1∥l2⇒，
由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，
由得m≠2，则m=1，
即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件，
故答案为：A
（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线和直线平行，则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1
【解析】
求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得．
【详解】
设，
由题意，∴，，，即，
∴，．
故答案为：1．
本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值．本题属于基础题．
14．
【解析】
利用相互独立事件概率的乘法公式即可求解.
【详解】
第1次传播，谣言一定不会回到最初的人；
从第2次传播开始，每1次谣言传播，第一个制造谣言的人被选中的概率都是，
没有被选中的概率是．
次传播是相互独立的，故为
故答案为：
本题考查了相互独立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，属于基础题.
15．
【解析】
分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：，然后再结合余弦定理整理为，再由csC的余弦定理得到a，b的关系式，最后利用基本不等式求解即可.
详解：已知，可得，将角A,B,C的余弦定理代入得，由，当a=b时取到等号，故csC的最小值为.
点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化是解题关键.属于中档题.
16．
【解析】
直接根据复数的代数形式四则运算法则计算即可．
【详解】
，．
本题主要考查复数的代数形式四则运算法则的应用．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）采用分析法论证，要证，分式化整式为，再利用立方和公式转化为，再作差提取公因式论证.
（2）由基本不等式得，再用不等式的基本性质论证.
【详解】
（1）要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
该式显然成立，当且仅当时等号成立，
故.
（2）由基本不等式得，
，
当且仅当时等号成立.
将上面四式相加，可得，
即.
本题考查证明不等式的方法、基本不等式，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题..
18．（1）（2），.
【解析】
（1）根据数列的通项与前n项和的关系式，即求解数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用等比数列的前n项和公式和裂项法，求得，结合题意，即可求解.
【详解】
（1）由题意，当时，由，解得；
当时，可得，
即，
显然当时上式也适合，所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
所以
.
因为对恒成立，
所以，.
本题主要考查了数列的通项公式的求解，等差数列的前n项和公式，以及裂项法求和的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
19．（1）证明见解析，；（2）证明见解析
【解析】
（1）由，作差得到，进一步得到，再作差即可得到，从而使问题得到解决；
（2），求和即可.
【详解】
（1），，
两式相减：①
用换，得②
②—①，得，即，
所以数列是等差数列，又，
∴，，公差，所以.
（II）
.
本题考查由与的关系求通项以及裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，是一道容易题.
20．（1）男生人数为人，女生人数55人.（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.
【解析】
（1）求出男女比例，按比例分配即可；
（2）根据题意结合频率分布表，先求出二联表中数值，再结合公式计算，利用表格数据对比判断即可
【详解】
（1）因为男生人数：女生人数＝900：1100＝9：11，
所以男生人数为，女生人数100﹣45＝55人，
（2）由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过2小时的人数为：（1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05）×100＝75人，
每周平均体育锻炼时间超过2小时的女生人数为37人，
联表如下：
因为3.892＞3.841，
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.
本题考查分层抽样，独立性检验，熟记公式，正确计算是关键，属于中档题.
21． (Ⅰ)C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；（Ⅱ）1
【解析】
（Ⅰ）根据抛物线定义求出p，即可求C的方程及焦点F的坐标；
（Ⅱ）设点A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(−1,−1)，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k(x+1)−1(k≠0)，与抛物线联立可得ky1-4y+4k-8=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF|•|NF|的值．
【详解】
(Ⅰ)由已知得，所以p=1.
所以抛物线C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；
(II)设点A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(−1,−1)，
由题意直线AB斜率存在且不为0.
设直线AB的方程为y=k(x+1)−1(k≠0).
由得，
则,.
因为点A,B在抛物线C上,所以
,.
因为PF⊥x轴，
所以
，
所以|MF|⋅|NF|的值为1.
本题考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线中的定值问题，常用韦达定理设而不求来求解，本题解题关键是找出弦长与斜率之间的关系进行求解，属于中等题.
22．（1）（2）最大值；最小值.
【解析】
（1）结合极坐标和直角坐标的互化公式可得；
（2）利用参数方程，求解点到直线的距离公式，结合三角函数知识求解最值.
【详解】
解：（1）因为，代入，可得直线的直角坐标方程为.
（2）曲线上的点到直线的距离
，其中，.
故曲线上的点到直线距离的最大值，
曲线上的点到直线的距离的最小值.
本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及最值问题，椭圆上的点到直线的距离的最值求解优先考虑参数方法，侧重考查数学运算的核心素养.
时间（小时）
[0,1]
(1,2]
(2,3]
(3,4]
(4,5]
(5,6]
频率
0.05
0.20
0.30
0.25
0.15
0.05
男生
女生
总计
每周平均体育锻炼时间不超过2小时
每周平均体育锻炼时间超过2小时
总计
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
男生
女生
总计
每周平均体育锻炼时间不超过2小时
7
18
25
每周平均体育锻炼时间超过2小时
38
37
75
总计
45
55
100