四川省内江市2024_2025学年高一数学上学期第一次月考卷含解析

这是一份四川省内江市2024_2025学年高一数学上学期第一次月考卷含解析，共17页。试卷主要包含了 下列命题为真命题的是， 已知都是正数，则“”是“”的， 若正实数，满足，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定集合，然后根据文氏图的概念及集合的运算求解．
【详解】由题意，
阴影部分为.
故选：D．
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】对A，B，C举反例说明，对D，作差法求解判断.
【详解】若，取，，则，故A错误；
若，当时，则，故B错误；
若，取，，则，故C错误；
若，则，故D正确.
故选：D.
3. 中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数.
【详解】对于A，和定义域均为R， ，
故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误；
对于B，和定义域均为R，，
故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确；
对于C，定义域为，定义域为R，
故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误；
对于D，定义域为R，定义域为，
故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误；
故选：B.
4. 集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分不必要条件的定义，分别讨论，和的情况，根据包含关系可求得结果.
【详解】由题知集合是的真子集，由，可得，
由，可得；
当时，，此时，符合题意；
当时，，无解，所以为空集，符合题意；
当时，，此时，符合题意，
综上，实数的取值范围是．
故选：A
5. 若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（ ）
A. 或B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得“，使得”真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可.
【详解】因为“，使得”为假命题，
所以“，使得”为真命题，
即在内有解，即，
因为
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以，解得，
所以实数a的取值范围为．
故选：C.
6. 已知都是正数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】举出反例以及结合基本不等式判断“”和“”的逻辑关系，即得答案.
详解】由题意可知当时，可取，显然不能推出；
当时，且，所以，即，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
7. 若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】正实数x，y满足，利用基本不等式的性质可得，设，即可求出的最小值．
【详解】∵正实数x，y满足，，
∴，当且仅当取等，
设 ，∴，
∴，即，，∴，
故的最小值为2.
故选：A．
8. 对于非空正数集，其所有元素的几何平均数记为，即，若非空正数集B满足下列两个条件：（1）；（2）．则称B为A的一个“稳定子集”．根据以上信息，集合的“稳定子集”有（ ）
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，且集合B至少有2个元素，分类讨论集合B元素个数，结合题意分析求解即可.
【详解】因为，则，
又因为，由题意可知：集合B至少有2个元素，
若集合B有2个元素，则集合B可以为，共2个；
若集合B有3个元素，则集合B可以为，共2个；
若集合B有4个元素，则集合B可以为，共1个；
若集合B有5个元素，则集合B可以为，共1个；
综上所述：集合的“稳定子集”有个.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分．
9. 设全集为，是非空子集，在下列选项中，是的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用韦恩图结合集合运算可判断ABD，举反例可判断C.
【详解】对于A，由韦恩图可知，当时，，故A错误；
对于B，由韦恩图可知，等价于，故B正确；
对于C，当时，取，，，
此时，，满足条件，但不成立，故C错误；
对于D，由韦恩图可知，等价于，故D正确.
故选：BD.

10. （多选）下列说法不正确的是（ ）
A. 已知，若，则组成集合为
B. 不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是
C. 的定义域为，则的定义域为
D. 不等式解集为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，考虑时，，满足要求，可判断A；B选项，考虑时，两种情况讨论可得充要条件为，可判断B；C选项，由，可求定义域判断C；D选项，根据不等式的解集得到且为方程的两个根，由韦达定理得到的关系，计算可判断D.
【详解】A选项，，又，
当时，，满足，当时，，
当时，，满足，当时，，满足，
综上，组成集合，A说法不正确；
B选项，当时，不等式为恒成立，可得对一切实数恒成立，
当时，由对一切实数恒成立，
可得，解得，
综上所述：不等式对一切实数恒成立的充要条件是，
所以不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是，故B正确；
C选项，因为的定义域为，所以，解得，
故的定义域为，C说法不正确；
D选项，不等式解集为-∞,-2∪3,+∞，
则且为方程的两个根，故，
则，故，D说法不正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的取值与有关B. 为定值
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】令，从而化为，不妨设的解集为，可得，由，从而得，且，化简，解得或，又是方程的两个根，利用韦达定理可得，则
，进而求得的取值范围.
【详解】令，
则可化为，
不妨设的解集为，
即，
，即，
故，
又，且，
，且，
，且，
故，
解得，
故选项A错误，选项B正确；
，
，
有解，
，即或，
是方程的两个根，
即是方程的两个根，
故，即，
解得：，
，
故选项C错误，选项D正确.
故答案选：BD.
【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 函数的定义域为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据根式以及分式的性质即可求解.
【详解】的定义域满足且，解得且.
故答案为：
13. 已知不等式的解集为，则的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得是方程的两根，且，利用韦达定理可得，所以等价于，解出不等式的解集即可.
【详解】由题意得是方程的两根，且，
则-1+3=-ba-1×3=ca，可得，
所以，即，
又，所以，即，
即，解得.
所以的解集为.
故答案为：.
14. 已知集合，记非空集合的元素个数为，已知，记实数的所有可能取值构成的集合，则的非空子集的个数是______．
【答案】7
【解析】
【分析】由题意，先得到，再由可得或3，分别分析和的解的个数，得到判别式的条件，从而解出的取值，最后得到的非空子集个数.
【详解】对于，有，
所以集合中有两个元素，即，
因为，所以或3，
对于，易知必是方程中的唯一解，
当时，，所以有唯一解，且无解，
则，解得；
当时，若有唯一解，由上述分析可知
无解，不满足题意；
若有两解，则有唯一解，
则，解得或1；
综上，实数的所有可能取值为：，则.
所以的非空子集的个数.
故答案为：7.
【点睛】本题以这一新定义为背景，考查对集合中的元素个数分析的问题，主要考查分类讨论的数学思想.
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记全集，集合或．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用并集的结果，列式求解即可.
（2）利用交集的结果，结合包含关系列式求解即得.
小问1详解】
全集，集合或，
由，得，解得，
所以的取值范围为．
【小问2详解】
由，得，
当，即时，，满足，因此；
当，即时，，而，则或，
解得或，因此或，从而或，
所以的取值范围为或．
16. （1）已知：，．若，求的最大值；
（2）已知，，且，若恒成立，求m的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）依题意利用基本不等式可得，令，再解关于的一元二次不等式，即可求出的最大值，即可得解；
（2）将问题转化为恒成立，求出的最小值，而，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出的最大值.
【详解】（1）因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
令，则，即，解得，
又，所以，即，从而，
由及，，解得，，
故当，时，的最大值为，所以的最大值为．
（2）因为（）恒成立，且，
所以恒成立，
所以恒成立，
因为，，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
所以，所以的最大值为.
17. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某市新建了一座垃圾回收利用工厂，于2023年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元（2023年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元.
（1）写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始盈利（盈利总额为正值）.
（2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额＝盈利总额使用年数）
②当盈利总额达到最大值时，以15万元价格处理该设备.试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由.
【答案】（1）（），第3年开始全年盈利
（2）按方案②处理较合理，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可得与之间的函数关系式，解一元二次不等式即可求解；
（2）分别求出方案①②下该设备的获利额最大值，比较大小即可求解.
【小问1详解】
根据题意：（），
由解得：，，
所以，所以该机床从第3年开始全年盈利.
【小问2详解】
方案①：（当且仅当时取“＝”）,
所以到2029年，年平均盈利达到最大值，该设备可获利万元.
方案②：，所以当时，，
故到2032年，盈利额达最大值，该设备可获利万元.
所以按方案②可获利更多，故按方案②处理较合理.
18. 已知函数，.
（1）若，当时，求的最小值；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）当时，已知，，若，求的取值范围.
【答案】（1）7 （2）答案见解析
（3）.
【解析】
【分析】（1）变形后，利用基本不等式求出最小值；
（2）因式分解，得到，分，和三种情况，得到不等式的解集；
（3）化为，根据，转化为函数不等式恒成立问题，结合二次函数的开口方向，得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
当时，，
当且仅当，即时取等号，
故当时，的最小值为7.
【小问2详解】
由题知，
当，即时，解原不等式得或，
当，即时，解原不等式得或，
当，即时，解原不等式得.
综上，
当时，原不等式解集为或；
当时，原不等式解集为或；
当时，原不等式解集为.
【小问3详解】
不等式可化为，
因为，所以不等式在时恒成立，
又，结合二次函数图象知，，解得.
故的取值范围是.
19. 已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性.
（1）判断集合和集合是否具有“包容”性；
（2）若集合具有“包容”性，求的值；
（3）若集合具有“包容”性，且集合中的元素共有6个，，试确定集合.
【答案】（1）集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性.
（2）
（3），，，或.
【解析】
【分析】（1）根据“包容”性的定义判断集合的“包容”性.
（2）根据集合的“包容”性求的值.
（3）根据集合具有“包容”性，且，再根据，可分析集合中的元素.
【小问1详解】
集合中的，
所以集合不具有“包容”性.
集合中的任何两个相同或不同的元素相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性.
【小问2详解】
若集合具有“包容”性，记，则，
易得，从而必有，
不妨令，则且，
则，且，
①当时，若，得，此时具有包容性；
若，得，舍去；若，无解；
②当时，则，由且，可知无解，
故.
综上，.
【小问3详解】
因为集合中共有6个元素，且，又，且中既有正数也有负数，
不妨设，
其中，
根据题意，
且，
所以，或.
①当时，，
并且由，得，
由，得，
由上可得，并且，
综上可知；
②当时，同理可得.
综上，中有6个元素，且时，符合条件的集合有5个，
分别是，或.
【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证.此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成.