华东师大版（2024）八年级上册（2024）第10章 数的开方10.1 平方根和立方根2. 立方根精品复习练习题

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题型一、求一个数的立方根
1．（24-25·山西大同·期中）的立方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题关键．
根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：，
的立方根是．
故选：A．
2．（24-25·广西贺州·期中）一个数的立方等于，则这个数是（ ）
A．B．C．D．64
【答案】B
【分析】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的概念是解本题的关键．
利用立方根的定义计算，即可确定出这个数．
【详解】解：一个数的立方等于，
∴这个数是，
故选：B．
3．（23-24九年级下·广东惠州·开学考试）8的立方根是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：，
8的立方根是2．
故答案为：2．
4．（24-25·湖南怀化·阶段练习）的立方根是 ；的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平方根、立方根的计算．
根据平方根、立方根的定义计算即可．
【详解】解：∵，
∴的立方根是；
∵
∴的平方根是．
故答案为．
5．（24-25·全国·课后作业）求下列各数的立方根：
(1)；
(2)0.008；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．
利用立方根的定义即可得到结果．
【详解】（1）因为，
所以；
（2）因为，
所以；
（3）因为，
所以；
6．（24-25·全国·课后作业）求下列各数的立方根：
(1)；
(2)343；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)7
(3)
(4)
【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．
利用立方根的定义即可得到结果．
【详解】（1）解：，
（2）因为，
所以；
（3）因为，
所以；
（4）因为，
所以
题型二、开立方的化简
7．（24-25·全国·课后作业）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了立方根的求解，注意计算的准确性即可．
（1）利用立方根的定义即可求解；
（2）利用立方根的定义即可求解；
（3）根据即可求解；
【详解】（1）解： 因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 .
（3）因为 ，
所以 .
8．（24-25·全国·课后作业）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了立方根的求解，注意计算的准确性即可．
（1）利用立方根的定义即可求解；
（2）根据即可求解；
（3）利用立方根的定义即可求解；
【详解】（1）解： 因为 ，所以 .
（2）
（3）因为 ，
所以 .
题型三、立方根的理解
9．（24-25·广西防城港·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．1的立方根是1B．的立方根是
C．的立方根是D．125的立方根是
【答案】D
【分析】本题考查立方根的概念及求一个数的立方根，需根据各选项逐一判断正误．
【详解】解：A. 1的立方根是1，故正确；
B. 的立方根是；故正确；
C. 的立方根是；故正确；
D. 125的立方根是；故错误；
故选：D．
10．（24-25·广东江门·期中）若，则（ ）
A．0.6B．0.06C．0.006D．0.0006
【答案】A
【分析】本题考查立方根，理解一个数缩小1000倍，则它的立方根缩小10倍是得出正确答案的关键．
根据立方根的定义，一个数缩小1000倍，则它的立方根就缩小10倍，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选A
11．（24-25·湖北武汉·期中）一个数的平方根与这个数的立方根相等，这个数是（ ）
A．1B．C．0D．1或0
【答案】C
【分析】本题考查了平方根，立方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据平方根与立方根的定义，可知0的平方根等于0的立方根，解答即可．
【详解】解：根据平方根与立方根的定义，可知0的平方根等于0的立方根，
故选：C．
12．（2025·广东江门·一模）下列语句正确的是（ ）
A．负数没有立方根B．的立方根是
C．立方根等于本身的数只有D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可．
【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根，
∴选项A不符合题意；
∵64的立方根是4，
∴选项B不符合题意；
∵立方根等于本身的数有和0，
∴选项C不符合题意；
∴，
∴选项D符合题意，
故选：D．
题型四、已知立方根求这个数
13．（2025·贵州贵阳·二模）实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，则（ ）
A．B．7C．23D．48
【答案】C
【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根、代数式求值等知识，理解并掌握立方根和算术平方根的定义是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义确定的值，然后代入求值即可．
【详解】解：∵实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，
∴，
∴．
故选：C．
14．（24-25·广西贵港·期中）若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（ ）
A．2B． C．1D．
【答案】C
【分析】本题主要考查立方根、平方根，先根据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵是数的立方根，是数的一个平方根，
∴，
则，
故选：C．
15．（24-25八年级上·四川成都·期中）若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了立方根的性质，准确分析计算是解题的关键．根据立方根的定义计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
题型五、解方程
16．（24-25·湖北孝感·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】本题考查利用立方根和平方根求方程；
（1）利用立方根的概念解方程即可；
（2）根据平方根的概念解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
或．
17．（24-25·黑龙江绥化·期中）求下列各式中的x的值：
(1)．
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键．
（1）利用平方根的定义解方程即可得解；
（2）利用立方根的定义解方程即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
18．（24-25·辽宁大连·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了运用平方根、立方根的性质解方程的方法，解题关键在于掌握平方根与立方根的概念．
（1）先移项，再利用直接开平方法，求解即可；
（2）直接用开立方方法求解即可．
【详解】（1）解：，
方程整理得：，
开方得：，
∴或；
（2）解：，
方程整理得：，
开方得：，
∴．
题型一、立方根与算术平方根、平方根的综合
19．（24-25·广东江门·阶段练习）已知的立方根是4，是9的算术平方根．
(1)求a，b的值．
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了立方根定义和算术平方根定义，理解立方根和算术平方根定义是解题的关键．
（1）根据立方根定义和算术平方根定义列方程求解即可；
（2）将值代入，再求平方根即可．
【详解】（1）解： 的立方根是4，是9的算术平方根，
，
解得，；
（2）将代入得，，
．
20．（24-25·福建福州·期中）已知实数的立方根是2，的平方根是，求的算术平方根．
【答案】
【分析】本题主要考查立方根和平方根的定义，需注意平方根的结果有正负但平方后均为非负数．解题关键在于正确建立方程并代入求解，最后通过算术平方根的定义得出结果．首先根据立方根的定义解出x的值，再利用平方根的定义建立方程解出y的值．最后代入求出的算术平方根．
【详解】解：实数的立方根是，根据立方根定义可得：
，解得：，
又的平方根是，根据平方根定义可得：
，将代入上式：
，化简得：，
解得：，
将和代入表达式：
，
的算术平方根为．
21．（24-25·安徽六安·期中）已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了平方根的意义，立方根的意义，解一元一次方程，解题关键是正确求出相关字母的值．
（1）根据一个正数有两个平方，它们互相反数，列出关于的方程求解求出，再根据立方根的意义求得，然后求出的范围，从而可求得c的值；
（2）先求出的值，再求出它的平方根．
【详解】（1）解：∵一个正数x的两个平方根分别为和，
∴，
∴；
∵的立方根是，
∴，
∴；
∵，c是的整数部分，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
22．（23-24·广东云浮·期末）已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，；
(2)．
【分析】本题考查平方根和立方根的综合问题，求无理数的整数部分等知识，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
（1）先用的立方根是，求出a，结合的算术平方根是2求出b，由c是的整数部分求出c即可；
（2）将（1）中的结论代入中求值，继而求出它的平方根．
【详解】（1）解： 的立方根是，
，
．
的算术平方根是2，
，
，
．，
∵，
∴，
又∵c是的整数部分，
．
综上所述：，，；
（2），，，
，
，
的平方根是．
题型二、立方根与实际问题
23．（24-25·全国·课后作业）如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长是多少？
【答案】
【分析】本题主要考查了立方根的实际应用．根据立方根的性质解答即可求解．
【详解】解：∵它的体积为，
∴它的棱长是．
24．（24-25·陕西西安·期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式列等式，求体积的立方根即可．
【详解】解：设康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为，
由题意得：，
解得：，
∴康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为．
故答案为：6．
25．（24-25·陕西安康·期中）师傅打算把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根的实际应用，先求出长方体铁块的体积，即得正方体铁块的体积，再根据立方根的定义即可求出立方体铁块的棱长，理解题意是解题的关键．
【详解】解：长方体铁块的体积为，
∵长方体铁块锻造成一个立方体铁块，
∴正方体铁块的体积为，
∴立方体铁块的棱长是，
故答案为：．
26．（24-25·全国·课后作业）将这两个正方体按如图所示的方式叠放在一起．已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，则小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为 ．
【答案】7
【分析】此题主要考查了利用立方根的性质解决实际问题，利用正方体的体积公式，由立方根的定义分别求出大正方体和小正方体的棱长，再相加即可求解．
【详解】解：由题图可知，小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为大正方体的棱长和小正方体棱长的和，大正方体的棱长为，小正方体的棱长为，
所以小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为．
故答案为：7．
题型三、立方根的性质的综合应用
27．（23-24·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分．
(1)求的值；
(2)若是的小数部分，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平方根，立方根概念，
（1）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值，代入计算即可得出答案；
（2）先得出的值，即可得出结果；
【详解】（1）∵的算术平方根是2，
∴，解得：
∵的立方根是2
∴，解得：
∵是的整数部分，而，
∴，
∴；
（2）由（1）可知，的整数部分是，
∵是的小数部分，
∴，
∴，
∴的平方根是．
28．（23-24·安徽合肥·期中）已知的立方根是，的算术平方根是3．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】不同考查了立方根的定义，算术平方根的定义，求一个数的平方根，解二元一次方程组等知识．
（1）根据立方根、算术平方根的定义得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解；
（2）先求出，即可求出的平方根为．
【详解】（1）解：由题意得，
解得；
（2）解：，
∵4的平方根为，
∴的平方根为．
29．（24-25·江西南昌·期中）若，则的值为 ．
【答案】2或或
【分析】本题考查立方根的性质，解题的关键是根据立方根等于它本身的数的特点来建立方程求解．
利用立方根等于它本身的数有这一性质，分别令等于，然后求解的值．
【详解】因为立方根等于它本身的数只有，已知，
所以分以下三种情况讨论：
情况一：当时，解得；
情况二：当时，解得；
情况三：当时，解得；
综上，的值为2或或．
故答案为：2或或．
30．（24-25·河南商丘·阶段练习）已知x为有理数，且，则的平方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根、平方根，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合立方根的性质得，解出，再代入，得，再求出的平方根，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根为．
故答案为：
31．（24-25·河南驻马店·阶段练习）已知与互为相反数，求的平方根．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根定义，立方根定义，根据与互为相反数，得出，求出，代入，求出结果即可．
【详解】解：由题可得．
解得．
．
的平方根是，
的平方根是．
题型四、立方根的小数点移动规律
32．（24-25·福建南平·期中）（1）已知，则 ；
（2）已知，，则 ．
【答案】 0.2646 6.69
【分析】本题考查算术平方根，立方根，熟练掌握其性质是解题的关键．
（1）根据算术平方根的性质即可求得答案；
（2）根据立方根的性质即可求得答案．
【详解】解：（1），
，
故答案为：；
（2），
，
故答案为：6.69．
33．（24-25·青海海东·期中）观察．推测：若，则 ．
【答案】0
【分析】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位；立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴
故答案为：．
34．（24-25·广东汕头·期中）（1）填表：
（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______；
（3）根据你发现的规律解答：
①已知，，，则介于哪两个整数之间？
②已知，则______；
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米）
【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮
【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键．
（1）利用立方根的定义填表即可；
（2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解；
（3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解．
【详解】解：（1）填表如下：
（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；
（3）①，
，
介于整数12和13之间；
②，
；
③设正方体的棱长为a米，则，
由②知，
；
，
（平方米），
答：需要大约9.02平方米的铁皮．
题型五、立方根的材料探究问题
35．（24-25·河南焦作·阶段练习）先阅读材料，再解答问题．
__________，__________，
____________________．
__________．
(1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ；
(2)计算的值．
【答案】(1)；；； ；互为相反数
(2)
【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握立方根的性质，是解题的关键：
（1）根据给出的等式，结合立方根的定义，进行求解即可；
（2）先求出立方根再进行加法计算即可．
【详解】（1）解：
，，
．
．
故互为相反数的两个数的立方根的关系为互为相反数；
故答案为：；；； ；互为相反数．
（2）
．
36．（22-23·四川南充·阶段练习）阅读理解，观察下列式子：
①；
②；
③；
④；
…
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立．
(2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键．
（1）用含、的式子表达规律即可得答案；
（2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可．
【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则，
故答案为：．
（2）解：若与的值互为相反数，则，
解得：．
∴
37．（24-25·河南洛阳·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7；
③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)______；
(2)若，则______；
(3)已知，且与互为相反数，求x，y的值．
【答案】(1)
(2)3
(3)，或，
【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键．
（1）根据题目中给定的方法进行求解即可；
（2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可；
（3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可．
【详解】（1）解：因为，，所以是两位数，
因为；猜想的个位数字是9，
接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到；
（2）解：∵，
∴和 互为相反数，
∴，
∴；
故答案为：3．
（3）解：∵，即，
∴或1
解得：或
∵与互为相反数，即，
∴，即，
∴当时，；
当，．
38．（23-24·福建厦门·期末）小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换．
A变换：首先对一个数取立方根，然后取不小于该立方根的最小整数；
B变换：首先对一个非负数取算术平方根，然后减去1．
例如：6经过一次A变换得到2，7经过一次B变换得到．
(1)11经过一次A变换得到的数是______；
(2)m经过一次B变换得到b，若，求m的值；
(3)x经过一次A变换得到a，再经过一次B变换得到1，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查立方根、算术平方根、不等式的相关知识，读懂题目中得变换是解题的关键．
（1）根据A变换的方式进行，要理解不小于三个字的意思；
（2）先求出m经过一次B变换得到，再得到等式求解即可；
（3）根据x经过一次A变换得到a，得到不等式组，再根据经过一次B变换得到1，算出即可求解，
【详解】（1）解：11经过一次A变换，
，
得到的数是，
故答案为：；
（2）解：m经过一次B变换得到b，
，
，
即，
解得：，
；
（3）解：x经过一次A变换得到a，
，
再经过一次B变换得到1，
，
解得：，
题型六、立方根的新定义问题
39．（24-25·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题．
我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义．
比如：若，则叫的二次方根：
若，则叫的三次方根；
若，则叫的四次方根．
(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____；
(2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____
(3)求的值：．
【答案】(1)
(2)为任意实数
(3)或
【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义．
（1）进行开方运算即可；
（2）根据定义，进行计算即可；
（3）利用四次方根解方程即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）解：∵是一个数的四次方，
，
，
∴若有意义，则的取值范围是；
∵中是一个数的三次方，
∴为任意实数．
故答案为：为任意实数；
（3）解：，
，
，
，
或，
或．
40．（24-25·山东临沂·期中）下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④0.1的算术平方根是0.01，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根及非负性，根据平方根和算术平方根的定义逐项判断解答即可．
【详解】解：①的平方根是，故①错误；
②与相反数，故②正确；
③，则且，解得，，即，故③正确；
0.1的算术平方根是，故④错误；
综上分析可知，正确的是②③，有个，
故选：B．
41．（24-25·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键．
【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数，再取立方根，是有理数，倒回再取的算术平方根为，是无理数，
∴输出的值为，
故选：．
42．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可．
【详解】解：当时，
，
，
，
，
，
…… ,
，
，
，
故选: C．
43．（24-25·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下：
①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ．
【答案】68
【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答．
【详解】解：，
又，
，
∴能确定314432的立方根是个两位数．
314432的个位数是2，
又，
∴能确定314432的立方根的个位数是8．
划去314432后面的三位432得到数314，而，则，
可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6，
因此314432的立方根是68，
故答案为68．
44．（24-25·内蒙古呼和浩特·期中）已知，都是有理数，观察表中的运算，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．先建立二元一次方程组，利用加减消元法可得的值，再代入计算立方根即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
则，
故答案为：3．
45．（24-25·山东德州·期中）综合与实践．
(1)【初步操作】如图1，把两个面积为的小正方形沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形，可得小正方形的对角线长（大正方形的边长）为________；
(2)【类比操作】把长为2、宽为1的两个小长方形沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形（内部空白是一个小正方形），仿照上面的探究方法求小长方形的对角线长；
(3)【计算拓展】若3是的一个平方根，的立方根是2，为图2中小正方形边长的小数部分，请计算的平方根．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，求一个数的平方根，根据立方根和平方根求原数，实数的运算，无理数的估算等等， 熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据正方形面积计算公式求解即可；
（2）大正方形面积等于四个小长方形面积加上中间的小正方形面积，则，解方程即可得到答案；
（3）根据平方根和立方根的定义求出a、b的值，再根据（2）所求求出c的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义可得答案．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为，即小正方形的对角线的长为；
（2）解：由题意得，，
∵，
∴，
∴小长方形的对角线长为；
（3）解：∵3是的一个平方根，的立方根是2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为图2中小正方形边长的小数部分，
∴，
∴，
∴的平方根为．
46．（24-25·北京·期中）小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换：
A变换：首先对实数取算术平方根，减去1；
B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2．
(1)①实数25经过一次变换所得的数是_______；
②实数25经过一次B变换所得的数是_______；
(2)整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______；
(3)实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)①4；②2
(2)1，511
(3)存在，x的值为4或9
【分析】本题考查了实数的运算，涉及算术平方根，立方根，无理数的估算．
（1）①根据题意，列式进行计算即可；②根据题意，列式进行计算即可；
（2）根据立方根的定义列式求解即可；
（3）根据题意，列出x的方程求解即可得出结论．
【详解】（1）解：①根据题意得：，
故答案为：4；
②，
，
不超过的最大整数为2，
故答案为：2；
（2）解：根据题意得：，
，且m是整数，
m的最小值是1；最大值是；
故答案为：1，511；
（3）解：存在，x的值为4或9，
，，
当时，即，
，
当时，，
，
∴当时，，
当时，，
，
所以当时，，
当时，的最小值为，的最小值为3，
，
不存在x值使得，
x的值为4或9时，成立．
a
0.000008
0.008
8
8000
a
0.000008
0.008
8
8000
0.02
0.2
2
20
，的运算
运算的结果
10