2025年春人教版九年级数学下册 期末综合测试卷

这是一份2025年春人教版九年级数学下册 期末综合测试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．[2024湖南]如图，该纸杯的主视图是( )

2．[2024安徽]已知反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3．如图，在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是( )
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
4．[2024河北一模]如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段AB的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是( )
A．点C B．点F C．点E D．点G
5．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝4，sin B＝eq \f(4,5)，则菱形的周长是( )
A．10 B．20 C．40 D．28
6．如图，小明在A时测得某树的影长为8 m，B时又测得该树的影长为2 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为( )
A．2 m B．4 m C．6 m D．8 m
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝7，tan B＝eq \f(4,3)，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，若AB′平分∠BAC，则B′C的长为( )
A.eq \f(16,3) B.eq \f(20,3) C.eq \f(28,3) D.eq \f(35,3)
8．[2024郑州期末]如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)；④AD·BC＝DE·AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象经过 Rt△ABC的顶点A，B，∠ACB＝90°，AC∥x轴，延长CA交y轴于点D.若AC＝2，BC＝3，DA＝1，则k的值是( )
A．1 B.eq \f(3,2) C．3 D.eq \f(9,2)
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C为圆心，以大于eq \f(1,2)AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD，以下结论不正确的是( )
A．∠BAD＝72° B．BD＝2AE C.eq \f(CD,CB)＝eq \f(\r(5)－1,2) D．CA2＝CD·CB
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
11．若点A(－1，2)，B(4，m)，C(1，n)都在同一个反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是m________n．(填“＞”“＝”或“＜”)
12．将一个棱长为6 cm的正方体的一个角剪去一个棱长为3 cm的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体主视图的面积为________cm2.
13．[2024广州一模]如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝40 cm，则高AD为________cm.(参考数据：sin 27°≈0.45，cs 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)
14．[2024北京西城区月考]如图，有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝25 cm，BC＝54 cm，CD＝30 cm，且tan B＝tan C＝eq \f(4,3).木匠徐师傅要从这块余料中裁出一个矩形PQMN，其中顶点M，N在边BC上，要使木板余料的利用率最大，则MN的长度为________．
15．如图，▱ABCD中，AC＝2AB，对角线AC，BD交于点O.M，N分别是OA，OD的中点，过点O作EF∥AB，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，MF，MN.下列四个结论：①EO＝eq \f(1,2)CD；②AF＝EF；③S△MON＝S△MOF；④FM⊥BD.其中正确的结论是________(填写序号)．
三、解答题(共75分)
16．(8分)已知函数y＝y1＋y2且y1与x成反比例函数，y2与(x－2)成正比例函数，当x＝1时，y＝－1，当x＝3时，y＝5.求当x＝5时，y的值．
17．(10分)如图是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据图中所示数据计算这个几何体的表面积(结果保留π)．
18．(10分)如图，在每个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系xOy，点A，B，C均在格点上．
(1)请在y轴的右侧画出△A1B1C1，使其与△ABC关于点O成位似图形，且相似比为2：1；
(2)在(1)的条件下，点A1的坐标为________．
19．(10分)[2024南京模拟]如图，在正方形ABCD中，M是BC边的中点，连接AM.
(1)请用尺规作图，在线段AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若AB＝2，求DP的长．
20．(12分)[2024乐山]如图，已知点A(1，m)，B(n，1)在反比例函数y＝eq \f(3,x)(x＞0)的图象上，过点A的一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点C(0，1)．
(1)求m，n的值和一次函数的解析式；
(2)连接AB，求点C到线段AB的距离．
21．(12分)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)：
(1)求线段CE和BC的长度；
(2)求底面矩形ABCD的面积．
22．(13分)在△ABC中，点P在最长边AC上，点Q在射线AB上，连接BP，PQ，若△AQP∽△BCP，则称点P，Q为AC，AB边上的一对“相似点”．
初步运用
(1)如图①，在△ABC中，点P，Q为AC，AB边上的一对“相似点”，证明：△APQ∽△ABC；
(2)如图①，在△ABC中，点P，Q为AC，AB边上的一对“相似点”，若AP＝BC，求eq \f(CP,AP)的值；
拓展提升
(3)如图②，在等腰三角形ABC中，AB＝BC＝12，AC＝18，在线段AC上找出一点P，在射线AB找出一点Q，使点P，Q为AC，AB边上的一对“相似点”．画出图形并求PQ和BQ的长．

答案
一、1.A 2.A 3.B 4.D
5．C 【点拨】∵在Rt△ABE中，sin B＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(4,5)，∴设AE＝4x，则AB＝5x.
∴BE＝3x.
∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝5x.
∴CE＝2x.又∵CE＝4，∴2x＝4.∴x＝2.∴AB＝10.
∴菱形的周长＝10×4＝40.
6．B 【点拨】如图，根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，
ED＝2 m，FD＝8 m.
∴∠E＋∠F＝90°.∵CD⊥EF，∴∠EDC＝∠FDC＝90°.∴∠E＋∠ECD＝90°.
∴∠ECD＝∠F.
∴△EDC∽△CDF.
∴eq \f(ED,CD)＝eq \f(CD,FD)，即eq \f(2,CD)＝eq \f(CD,8).
∴CD＝4 m.
7．B 【点拨】由平移得AB∥A′B′，∴∠BAC＝∠B′EC＝90°，∠BAB′＝∠AB′E，
∠B＝∠A′B′C.
∵tan B＝eq \f(4,3)，∴tan∠EB′C＝tan B＝eq \f(4,3).
∴在Rt△B′EC中，tan∠EB′C＝eq \f(EC,B′E)＝eq \f(4,3).
∴设EC＝4x，则B′E＝3x.
∴B′C＝eq \r(EC2＋B′E2)＝eq \r(（4x）2＋（3x）2)＝5x.
∵AB′平分∠BAC，
∴∠BAB′＝∠B′AC.∴∠AB′E＝∠B′AC.
∴AE＝EB′＝3x.在Rt△ABC中，AB＝7，
∴tan B＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(3x＋4x,7)＝eq \f(4,3)，解得x＝eq \f(4,3).
∴B′C＝5x＝eq \f(20,3).
8．B 【点拨】①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ACB∽△ADE，故①符合题意；
②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意；
③eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD·BC＝DE·AC可得eq \f(AD,AC)＝eq \f(DE,BC)，此时不确定∠ADE是否等于∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故④不符合题意．
故选B.
9．D 【点拨】由题意设B(3，n)，则A(1，3＋n)．
∵反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象经过Rt△ABC的顶点A，B，
∴k＝3n＝1×(3＋n)．
∴n＝eq \f(3,2).∴k＝eq \f(9,2).
10．C 【点拨】∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝eq \f(1,2)(180°－∠BAC)＝eq \f(1,2)(180°－108°)＝36°.
由作图可知，MN为AC的垂直平分线，
∴AD＝CD.∴∠DAC＝∠C＝36°.
∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝108°－36°＝72°.
∴选项A正确，不符合题意．
∵MN为AC的垂直平分线，∴AC＝2AE.
∵AB＝AC，∴AB＝2AE.∵∠DAC＝∠C＝36°，
∴∠BDA＝∠DAC＋∠C＝72°.
∵∠BAD＝72°，∴∠BAD＝∠BDA.
∴AB＝BD.∴BD＝2AE.∴选项B正确，不符合题意．
设CD＝x，CB＝a(x＜a)，
则BD＝CB－CD＝a－x，∴AC＝AB＝BD＝a－x.
∵∠B＝180°－∠BAD－∠BDA＝36°，∠DAC＝36°，
∴∠DAC＝∠B.又∵∠DCA＝∠ACB，
∴△CDA∽△CAB.∴CD：CA＝CA：CB，
即x：(a－x)＝(a－x)：a，
解得x1＝eq \f(3－\r(5),2)a，x2＝eq \f(3＋\r(5),2)a(不符合题意，舍去)．
∴x＝eq \f(3－\r(5),2)a.∴eq \f(x,a)＝eq \f(3－\r(5),2)，即eq \f(CD,CB)＝eq \f(3－\r(5),2).
∴选项C不正确，符合题意．
∵CD：CA＝CA：CB，
∴CA2＝CD·CB.∴选项D正确，不符合题意．故选C.
二、11.＞ 【点拨】∵点A(－1，2)，B(4，m)，C(1，n)都在同一个反比例函数的图象上，
∴(－1)×2＝4m＝n，解得m＝－eq \f(1,2)，n＝－2.
∵－2＜－eq \f(1,2)，∴m＞n.
12．36
13．10.2 【点拨】∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝40 cm，
∴BD＝eq \f(1,2)BC＝20 cm.
在Rt△ABD中，∠ABC＝27°，
∴AD＝BD·tan 27°≈20×0.51＝10.2(cm)．
14．27 cm 【点拨】如图，延长BA，CD交于点E，在AB上取点Q，过点Q作QP∥BC，过点E作EH⊥BC于点H，交PQ于点F，分别过Q，P作QM⊥BC，PN⊥BC，交BC于M，N，则四边形PQMN为矩形．
∵tan B＝tan C，
∴∠B＝∠C.∴EB＝EC.
又∵BC＝54 cm，且EH⊥BC，
∴BH＝CH＝eq \f(1,2)BC＝27 cm.
∵在Rt△EBH中，tan B＝eq \f(EH,BH)＝eq \f(4,3)，
∴EH＝36 cm.
设PN＝x cm，矩形PQMN的面积为S cm2，
则易得EF＝(36－x)cm.
∵PQ∥BC，∴△EQP∽△EBC.∴eq \f(QP,BC)＝eq \f(EF,EH)，
即eq \f(QP,54)＝eq \f(36－x,36).
∴QP＝(54－1.5x)cm.
∴S＝PN·PQ＝x(54－1.5x)＝－eq \f(3,2)x2＋54x＝－eq \f(3,2)(x－18)2＋486.∵－eq \f(3,2)＜0，
∴当x＝18时，矩形面积最大，此时MN＝QP＝27 cm.
15．①③④ 【点拨】如图．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CO＝AO＝eq \f(1,2)AC，AB＝CD.
∴∠1＝∠2.
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)．∴EO＝FO＝eq \f(1,2)EF.
∵AC＝2AB，
即AB＝eq \f(1,2)AC，
∴AB＝AO.
∴∠3＝∠4.
∵EF∥AB，AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，∠3＝∠5.
∴EF＝AB，∠4＝∠5.
∴EF＝CD.
∴EO＝eq \f(1,2)CD.故结论①正确；
由前面知FO＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)AO.
∵M是OA的中点，∴MO＝eq \f(1,2)AO.∴FO＝MO.
根据等腰三角形“三线合一”可知FM⊥BD，故结论④正确；
如图，过点B作BP∥AC，与EF的延长线交于点P，
则四边形ABPO是平行四边形，∠2＝∠6.
∴BP＝AO＝CO.
∵∠BFP＝∠CFO，
∴△BPF≌△COF(AAS)．∴BF＝CF.∴F是BC的中点．
同理点E也是AD的中点．
如图，连接ME，NE，根据中位线定理和平行四边形的性质可知，S△MON＝eq \f(1,4)S△OAD＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)S▱ABCD＝eq \f(1,16)S▱ABCD，
设△MOF的边MO上的高为h，则
S△MOF＝eq \f(1,2)MO·h＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)AO·h＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)AC·h＝eq \f(1,4)S△ACF＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)S▱ABCD＝eq \f(1,16)S▱ABCD，
∴S△MON＝S△MOF，故结论③正确；
如果AF＝EF，那么AF＝AB＝AO＝eq \f(1,2)AC，题中没有给出相应的条件，故结论②不正确．故答案为①③④.
三、16.【解】设y1＝eq \f(k1,x)，y2＝k2(x－2)．
根据题意得y＝eq \f(k1,x)＋k2(x－2)，
把x＝1，y＝－1，x＝3，y＝5分别代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1－k2＝－1，,\f(k1,3)＋k2＝5，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝3，,k2＝4，))∴y＝eq \f(3,x)＋4x－8.
∴当x＝5时，y＝eq \f(3,5)＋4×5－8＝eq \f(63,5).
17．【解】(1)由三视图得这个几何体为圆锥．
(2)圆锥的表面积＝π×(4÷2)2＋π×(4÷2)×6＝16π(cm2)．
18．【解】(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)(2，4)
19．【解】(1)如图，点P即为所求．
(2)如图．∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝BC＝AD＝2.
∵M是BC边的中点，∴BM＝eq \f(1,2)BC＝1.
∴AM＝eq \r(AB2＋BM2)＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5).
∵△DPA∽△ABM，∴eq \f(PD,AB)＝eq \f(AD,AM).
∴eq \f(PD,2)＝eq \f(2,\r(5)).
∴PD＝eq \f(4\r(5),5).
20．【解】(1)∵点A(1，m)，B(n，1)在反比例函数y＝eq \f(3,x)(x＞0)的图象上，
∴m＝3，n＝3.
∵一次函数y＝kx＋b过点A(1，3)，C(0，1)，
∴代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋b＝3，,b＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝2，,b＝1.))
∴一次函数的解析式为y＝2x＋1.
(2)如图，连接BC.过点A作AD⊥BC，垂足为点D，过点C作CE⊥AB，
垂足为点E.
∵C(0，1)，B(3，1)，
∴BC∥x 轴，BC＝3.
∵A(1，3)，B(3，1)，AD⊥BC，
∴易得D(1，1)，AD＝2，DB＝2.
∴在Rt△ADB中，
AB＝eq \r(AD2＋BD2)＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2).
又∵S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AD＝eq \f(1,2)AB·CE，
即eq \f(1,2)×3×2＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×CE，
∴CE＝eq \f(3\r(2),2)，即点C到线段AB的距离为eq \f(3\r(2),2).
21．【解】(1)∵GH⊥CE，EF的长为4 m，∠CFG＝60.3°，
∴tan∠CFE＝tan 60.3°＝eq \f(CE,EF)≈1.75.
∴CE≈7 m.
∵∠BFG＝45°，∠BEF＝90°，
∴∠EBF＝45°＝∠BFG.
∴BE＝EF＝4 m.
∴CB＝CE－BE≈3 m.
(2)过点A作AM⊥GH于点M，如图所示．
易得四边形AMEB为矩形，
∴AM＝BE＝4 m，AB＝ME.
∵∠AFG＝21.8°，
∴tan∠AFG＝tan 21.8°＝eq \f(AM,MF)≈0.40.
∴MF≈10 m.
∴AB＝ME≈10－4＝6(m)．
∴底面矩形ABCD的面积约为3×6＝18(m2)．
22．(1)【证明】易知△AQP∽△BCP，
∴∠AQP＝∠ACB.
又∵∠A＝∠A，
∴△APQ∽△ABC.
(2)【解】易知△AQP∽△BCP，
∴∠CBP＝∠A.
又∵∠C＝∠C，
∴△BPC∽△ABC.
∴eq \f(CP,BC)＝eq \f(BC,AC).
设CP＝x，AP＝BC＝y.
∴eq \f(x,y)＝eq \f(y,x＋y)，解得x＝eq \f(\r(5)－1,2)y(负值已舍去)．
∴eq \f(CP,AP)＝eq \f(x,y)＝eq \f(\r(5)－1,2).
(3)【解】如图，过点B作∠CBP＝∠A，使BP交AC于点P；过点P作∠APQ＝∠BPC，使PQ交AB的延长线于点Q.
易知△AQP∽△BCP∽△ACB，
∴∠Q＝∠C，eq \f(CP,BC)＝eq \f(BC,AC)，eq \f(AP,AB)＝eq \f(AQ,AC)，
即eq \f(CP,12)＝eq \f(12,18)，eq \f(18－CP,12)＝eq \f(AQ,18).
∴CP＝8，AQ＝15.
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C.
∴∠A＝∠Q.
∴PQ＝PA＝AC－CP＝18－8＝10，BQ＝AQ－AB＝15－12＝3. 活动主题
测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具
皮尺、测角仪、计算器等
活动过程
【模型抽象】
某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：
【测绘过程与数据信息】
①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4 m；
③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；
④用计算器计算得：sin 60.3°≈0.87，cs 60.3°≈0.50，tan 60.3°≈1.75，sin 21.8°≈0.37，cs 21.8°≈0.93，tan 21.8°≈0.40.