福建省宁德市2024-2025学年高一下学期6月期末质量检测数学试题(学生版+教师版）

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（满分：150分 时间：120分钟）
注意事项：
1．答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．答题结束后，学生必须将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 6D. －6
2. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线和平面，，则下列命题中正确的是（ ）
A 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
4. 某学习小组共5名同学，某次模拟考试的数学成绩平均分为100．已知其中4名同学的成绩分别为96，98，102，104，则这5名同学成绩的第80百分位数是（ ）
A. 98B. 102C. 103D. 104
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数的最大值为2，则（ ）
A. B. 的图象关于直线对称
C. 的最小正周期为D. 方程在上有4个解
11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（ ）
A. 直线与所成角的正切值为
B. 用平面截该正方体，所得截面周长为
C. 若平面，则长度取值范围为
D. 若，则动点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某校为了解学生的学习情况，采用比例分配的分层随机抽样的方法，从高一1000人、高二1200人、高三1400人中抽取若干人进行问卷调查，若高二被抽取30人，则高三被抽取_____人．
13. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为_____．
14. 如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过点，且，那么当底面水平放置时，水面高为_____；若侧面水平放置时，容器内的水形成的几何体的所有顶点在同一个球面上，该球的表面积为_____．
四、解答题：本题共5小题；共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 2025年“五一”假期，全国国内出游3.14亿人次，同比增长6.4%，这一数据反映了民众出行意愿高涨，折射出我国内需市场的活力．某景点为提升服务水平，对部分游客发起满意度调查，满意度采用百分制，统计结果绘制成如下频率分布直方图．
（1）求图中值，并估计满意度得分在75分及以上所占的百分比；
（2）估计满意度得分的中位数和平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）．
16. 如图，在平行四边形中，已知，，，是的中点，与交于点，设，．
（1）用，表示向量，；
（2）求的余弦值．
17. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若对任意，都有，求实数的取值范围．
18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，侧面是正三角形，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的余弦值；
（3）若是的中点，线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．现有一张等腰直角卡片，，，用该卡片可以裁剪出扇形、三角形、矩形等各种形状．

（1）如图1，以为圆心，为半径的扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的体积；
（2），，分别是边，，上三个点．
①如图2，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求证：是的中点；
②如图3，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，记的面积为，求的最小值．