江西省新余市2025届高三下学期二模数学试题（Word版附解析）

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考生注意；
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与本人准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解指数、对数不等式化简集合，再利用交集的定义求解.
【详解】由，得，则；由，得，则，
所以.
故选：B
2. 设复数z满足（其中i为虚数单位），则z在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限
【答案】D
【解析】
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得的坐标得答案．
【详解】解：由，得，
故在复平面上所对应的点的坐标为，在第一象限，
故选：．
3. 已知直线与直线平行，则m的值为（ ）
A. 3B. C. 3或D. 3或4
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线平行的判定得即可求m值，注意验证两直线是否平行，而非重合.
【详解】由题设，，可得或，
当时，、平行，符合题设；
当时，、重合，不合题设；
∴.
故选：B.
4. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】把转化为，从而，结合数列为正数数列可知为是增数列的充要条件．
【详解】由得，故是递增数列，反之也成立，所以为充要条件．选C．
【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） 且 ；
（3）且为等差数列；
（4） 为等差数列.
5. 已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线C的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将圆心坐标代入抛物线的方程可求得，进而可求焦点坐标.
【详解】解：由圆的方程可得圆心，
抛物线恰好经过圆心M，，解得，
抛物线C的方程为，抛物线C的焦点坐标为.
故选：D.
6. 已知函数，则关于的不等式的解集是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由，求得函数的定义域为．再根据函数为奇函数，不等式即．函数在其定义域上单调递增，可得，从而求得不等式的解集．
【详解】由，求得，故函数的定义域为．
再根据函数满足，可得函数为奇函数，
故关于的不等式，即．
再由函数、在的定义域上单调递增，可得函数在其定义域上单调递增，可得，
解得，
故选：A．
【点睛】本题主要考查求函数的定义域、函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．
7. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题的描述，球内切于圆台，画出圆台的轴截面图，根据圆台的侧面积，和上下底面的面积关系求出球的半径，进而即得.
【详解】依据题意，球内切与圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示，
过点作的垂线，垂足为，设球的半径为，则，
设圆台的母线为，即，上、下底面的面积之比为，即，，由圆的切线长定理可知，，
圆台的侧面积为，解得，则，即，
则球的表面积.
故选：A.
8. 若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将恒成立转化为，令，利用导数求出的最大值，可得，又由，求得答案.
【详解】由，对任意恒成立，
即，
令，，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
，即，，
又由切线放缩可知，，
，即，
所以的最大值为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将恒成立参变分离求得，再根据切线放缩得，得解.
二、多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子（其中一部分用该药做了处理）进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8．未填写完整的列联表如下，则（ ）
附：．
A. 这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒
B. 这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒
C. 的观测值约为13.428
D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为该新药有效
【答案】AD
【解析】
【分析】依题意完成列联表，根据列联表计算出，由独立性检验的思想判断即可.
【详解】由题可将列联表补充完整如下：抗病虫害
由上表可知 A 正确，B 错误；
由表可知，
因此根据小概率值 的独立性检验，可以认为该新药有效，故 C 错误，D 正确.
故选：AD
10. 已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（ ）
A. 存在公差为1的等差数列，使得
B. 存在公比为2的等比数列，使得
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项用等差数列求和公式算出表达式，令其等于2025，看解出的首项是否为正整数，不是则不存在．
B选项用等比数列求和公式算出表达式，令其等于2025，看解出的首项是否为正整数，是则存在．
C选项要使最大，前面项应最小，设，后面项依次递增，根据求和公式算出表达式，由解出，进而得到，判断与285大小．
D选项要使最小，前面项应最小，设，后面项依次递增，根据求和公式算出表达式，由解出，进而得到，判断与207大小．
【详解】对于A，设公差为的等差数列的首项为，．
根据等差数列前项和公式可得．
若，则，解得，所以不存在这样的等差数列，A选项错误．
对于B，设公比为的等比数列的首项为，．
根据等比数列前项和公式可得．
若，则，解得，所以存在这样的等比数列，B选项正确．
对于C，已知，因为数列是递增数列且各项均为正整数．
要使尽可能大，则前面的项要尽可能小，设，，，，，．
则．
由，可得，即，解得．
所以，所以成立，C选项正确．
对于D，同样因为，要使尽可能小，则前面的项要尽可能小，设，，，，．
由前面计算可知，解得，所以，所以成立，D选项正确．
故选：BCD
11. 已知，，，，，，记．当，，，，中含个6时，所有不同值的个数记为．下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 对于任意奇数
D. 对于任意整数
【答案】AC
【解析】
【分析】对于选项A，当时写出，由，中不含6，根据题意即可求得；对于选项B，当时写出，由，，，中含有个6，可得，，解不等式即可；对于选项C，，设，，由二项式定理求解即可；对于选项D，构造二项分布，利用均值求解即可.
【详解】当，，故，A正确；
当，，，
当时，，解得，B错误；
，设，，则，
于，C正确；
因为，构造二项分布，则，
因此，D错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：本题考查计数原理、二项式定理、二项分布的均值；根据题意利用计数原理得到，根据二项式定理和二项分布求解.
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____.
【答案】##
【解析】
【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可
【详解】由题意得，且
所以
当时，取得最小值为，
故答案为：
13. 函数=的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角恒等变换的公式，化简函数，再结合最小正周期的计算公式，即可求解.
【详解】由函数
，
当时，即时，函数取得最小值.
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数的最小正周期的求解，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】设四个顶点为，根据得到截面方程即可求解.
【详解】建立正四面体的顶点坐标，
设四个顶点为，
每条棱长均为，设动点，
，
，
，
，
，
，
因为，
所以，即所有满足条件的点构成的平面为平面（平面），

而为正方体的顶点（如图所示），且该正方体的中心为原点，
由对称性可得棱交于，棱交于，棱交于，棱交于，
截面四边形的顶点为，
在平面上形成一个菨形，其对角线的长度为，故面积为2.
故答案为：.
四、解答题；本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%．
（1）在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望；
（2）设输入问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为
（2）
【解析】
【分析】（1）由题知X的所有取值为1，2，3，4，求出对应的概率，可得其分布列与数学期望；
（2）利用全概率公式表示出回答被采纳的概率，结合条件代入可得关于的方程，解方程即可.
【小问1详解】
由题可知X的所有取值为1，2，3，4，
，
，
，
，
故X的分布列为：
则．
【小问2详解】
记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采纳”为事件C，
由已知得，，，，，，
所以由全概率公式得，
解得．
16. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，活动弹子在上移动.

（1）求证：直线平面；
（2）为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明见解析.
（2）.
【解析】
【分析】（1）在平面内，过点作，交于点，连接.由已知可证明.进而根据线面平行以及面面平行的判定定理得出平面平面.然后即可根据面面平行的性质，得出证明；
（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，求出，以及平面的一个法向量.设线面角为，根据向量表示出.分以及结合基本不等式，即可得出答案.
【小问1详解】
在平面内，过点作，交于点，连接，

由，得，而，，
则，，，于是，
又，则，而平面，，平面，
因此平面，同理平面，又平面，平面，，
则平面平面，而平面，
所以直线平面.
【小问2详解】
由平面平面，平面平面，，
平面，得平面，又，
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，设，，
，，，
设是平面的法向量，则，取，得，
设与平面所成的角为，则，
当时，；
当时，，
而，当且仅当，即时取等号，则，
因此，，
所以与平面所成角的正弦值的最大值为.
17. 已知点分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不存在时，.
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程；
（3）在（2）的条件下，若点分别为双曲线的左､右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题可得，据此可得离心率；
（2）由（1）可设，然后由题可得，据此可得答案；
（3）设，将直线，直线联立，可得，然后将直线方程和双曲线方程联立，由韦达定理可得，结合，可得，解方程可完成证明.
【小问1详解】
当直线的斜率不存在时，点，所以，
所以，即，所以，即，
所以，即，解得（舍去.
【小问2详解】
由（1）可得，，所以可设，计算可得，点，
该双曲线的一条渐近线的方程为，即，
利用点到直线的距离公式可得，
又，所以，可得，所以
因此，可得该双曲线的方程为.
【小问3详解】
证明：由（2）可知，，设，
则直线，直线，
联立
两式相除可得，所以，
当直线的斜率为0时，不满足题意，所以设直线，
则，
代入可得，
联立整理得，所以
所以，
则
，注意到，
所以，解得，
所以点在直线上.
【点睛】关键点睛：对于所涉点较多的圆锥曲线问题，通常可设点，而不是设点所在的直线.对于表达式中出现非对称式，常利用韦达定理去找到两根之和与两根之积之间的联系，从而化简相关表达式.
18. 已知函数.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）设函数，讨论在区间上的单调性；
（3）若存在两个极值点，，且，证明：.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数几何意义求解；
（2）求导，分，两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；
（3）由（2）结合零点存在性定理可得在和上各有一个零点，，且，是的两个极值点，再将极值点代入导函数中化简结合已知可得，，通过构造函数φt=t2−1t−2lntt>1，证明，即得，得证.
【小问1详解】
当时，，
则，所以，，
所以切线方程为；，即.
【小问2详解】
由，，
当时，，在上单调递增；
当时，令.
当时，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【小问3详解】
由（2）知若存在两个极值点，则，
且gxmax=g−12a=ln−12a>0⇒0>a>−12，
由过原点的切线方程为，则，则，即，
所以，，
∴在和上各有一个零点，，
且时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，单调递减.
∴，是的两个极值点.
fx2x2+fx1x1>0⇒lnx2+ax2+lnx1+ax1>0
⇒lnx1x2+ax1+x2>0⇒a>−lnx1x2x1+x2，
且，
∴−lnx1x2−22x1+x2>−lnx1x2x1+x2⇒lnx1x2>2⇒x1x2>e2，
而，
∴，
令φt=t2−1t−2lntt>1，则φ′t=1+1t2−2t=1t−12>0，
所以在上单调递增，故，
所以，令t=x2x1>1，
可得，即，即，
，
.
19. 如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列.

（1）用表示出的外接圆半径；
（2）当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部；
（3）若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围.
【答案】（1）;
（2）证明见解析； （3）；
【解析】
【分析】（1）根据三角函数定义即可得到其半径表达式；
（2）计算和的表达式，作差得，从而得到的外接圆各点位于的外接圆上或其内部，再反复使用该结论即可；
（3）计算得，利用得到不等式，解出，则得到范围.
【小问1详解】
设的外接圆半径为，由题意知，
，，
又，故.
故的外接圆半径为.
【小问2详解】
设的外心为，外接圆半径为，的中点为，，
则，，.

注意到的中点也为，故的中垂线与中垂线重合.
由题意知，，均在的中垂线上.
而，
，
故.
另一方面，，
故的外接圆内切于的外接圆.
从而的外接圆各点位于的外接圆上或其内部.①
反复使用结论①可得，的外接圆位于外接圆上或其内部.
故各顶点均在外接圆上或其内部.
【小问3详解】
若满足题意，则位于在外接圆上或其内部，故.
由（2）知，
，
由题意，，即，解得.
故.
当，同上可得.
由（2）知，，共线，故，即.
故，故的外接圆位于外接圆上或其内部.
故各顶点均在外接圆上或其内部，故的范围为.
抗病虫害
不抗病虫害
合计
种子经过该药处理
60
种子未经过该药处理
14
合计
100
0.1
0.01
0.005
0.001
2.706
6.635
7879
10.828
抗病虫害
不抗病虫害
合计
种子经过该药处理
60
6
66
种子未经过该药处理
20
14
34
合计
80
20
100
X
1
2
3
4
P