02高中数学计算专项练

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1．已知圆,,若斜率为的直线l与圆C相交于不同的两点，求的取值范围.
【答案】
【分析】根据直线和圆相交求得m范围，联立直线和圆的方程，可得根与系数的关系，表示出的表达式，代入根与系数的关系化简，结合二次函数性质，即可求得答案.
【详解】设直线l的方程为，
由题意直线l与圆C相交于不同两点，故，解得﹒
联立，
消去y得，设
则，，

，
由于，∴ ，
故的取值范围是．
2．已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点．求四边形面积的最小值.
【答案】
【分析】连接，设点坐标为，则，问题转化为求的最小值，再由勾股定理得到当最小时，取最小值，利用距离公式及二次函数的性质计算可得.
【详解】圆即圆，所以圆心，半径，
连接，由点在直线上，可设点坐标为，
所以，
因为，所以当最小时，取最小值．
因为．
所以当时，．所以，
即四边形面积的最小值为．
3．已知椭圆，直线与椭圆有两个不同的交点，，设直线的方程为，先用m表示，再求其最大值．
【答案】，
【分析】设，的坐标，联立直线与椭圆的方程求出两根之和及两根之积，代入弦长公式可得弦长的表达式，进而求出的最大值．
【详解】设，，
联立，整理可得，
由，可得，即，
所以，，
所以弦长
，
所以，此时．
4．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于两点，交直线于点R，求的最小值
【答案】16
【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，表示出的表达式，并化简，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由抛物线可知焦点，
由题意可知直线的斜率一定存在，且不为0，设为，
令，则，则
联立，则，
设，则，
则，
又，所以

，
当且仅当，即时取等号，
即的最小值为16.
5．已知椭圆：，A为椭圆的下顶点，设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，当时，求的取值范围.
【答案】
【分析】联立直线和椭圆的方程，由判别式大于0可得，以及可得根与系数的关系，根据，可得，结合根与系数的关系化简可得，解不等式即可求得答案.
【详解】由题设，联立，得，
由题设知，即①，
设，则，
因为为弦的中点，
∴，从而，
又由题意知,，
∴，
∵，则，即②，
把②代入①得，解得，又，
故的取值范围是.
6．已知椭圆的右焦点，过的直线（不与轴重合）与椭圆相交于两点，是坐标原点，线段的中点在直线上，求面积的最大值．
【答案】
【分析】联立直线与椭圆方程，消去得到，再利用韦达定理和弦长公式，求出弦长，再利用条件求到直线的距离，从而得，再利用函数的单调性，求出面积的最大值.
【详解】易知，设直线的方程为，，，，
则，消去，整理得，
所以，，
由弦长公式，得到
因为线段的中点在直线上，
所以到直线的距离即为到直线的距离，
所以到直线的距离，
，
令()，
令，，
因为，所以在区间上恒成立，
即在区间上单调递减，
所以，当即，即时，的最大值为．
7．已知椭圆C的方程为，且直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求OMN面积的最大值．
【答案】1
【分析】根据直线l：y＝kx＋m，与圆O：x2＋y2＝1相切，得到m2＝1＋k2，由直线与椭圆方程联立，由弦长公式得到|MN|，再由S＝|MN|×1求解.
【详解】解：圆O的圆心为坐标原点，半径r＝1，由直线l：y＝kx＋m，
即kx－y＋m＝0与圆O：x2＋y2＝1相切，
则，故有m2＝1＋k2.①
由
消去y得（4k2＋1）x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|x1－x2|2＝（x1＋x2）2－4x1x2
＝－4×＝.②
将①代入②，得|x1－x2|2＝，
故|x1－x2|.
所以|MN|＝|x1－x2|＝·＝.
故△OMN的面积S＝|MN|×1＝.
令t＝4k2＋1（t≥1），则k2＝，代入上式，
得S＝2·＝·
＝· ＝· ，
所以当t＝3，即4k2＋1＝3，解得k＝±时，S取得最大值，且最大值为×＝1.
8．已知椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点．若，，求的最小值（是坐标原点）．
【答案】
【分析】设，由向量的共线可得，结合点在椭圆上，可推出，从而可求得到直线的距离，即得答案.
【详解】由题意知，故点在椭圆外，
故，设，
由，，即，，
得且，
又都在椭圆上，所以，则，
两式作差，得
把代入式，得，
又由，得
所以，
所以到直线的距离，
经检验，此时直线，方程为，
联立解得，此时垂足在椭圆内部，符合题意，
所以的最小值为.
9．已知双曲线：，若点在曲线上，点，分别在双曲线的两渐近线、上，且点在第一象限，点在第四象限，若，，求面积的最大值.
【答案】
【分析】设，坐标，并将的面积用，坐标表示，根据和双曲线方程，将，坐标用表示，代入的面积，由的范围求出面积的最大值即可.
【详解】由已知，双曲线：的两渐近线：，：，
设，，（），
∴，，
又∵渐近线：的斜率，∴的倾斜角，即，
∴，
∴的面积，
设，则，，
若，则，
∴，解得，
∵点在曲线上，∴，
化简，整理得，
∴，
令，则，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
又∵，，，
∴当时，的最大值为，
∴当时，面积的最大值.
【点睛】本题的解题思想：将影响面积的多个变量（点坐标，点坐标，实数），由已知条件转化为单变量，再由的取值范围，求解三角形面积的最大值即可.
10．已知分别为椭圆的左、右焦点，过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于A，B两点过且与垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
【答案】．
【分析】由题设条件知：，的方程分别设为，，联立方程组，利用弦长公式求出，，再利用得出面积，然后利用基本不等式求出面积的最小值.
【详解】由直线不与坐标轴垂直，可设直线的方程为，，
设，
由，整理得，
则有，，
故，
又由直线的方程为，设，，
联立方程组，整理得，
则有，，
则，
所以四边形的面积：
，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
综上，四边形ACBD面积的最小值为.