河南省豫北名校2023~2024学年高二下册期末学业质量监测数学试题[附解析]

这是一份河南省豫北名校2023~2024学年高二下册期末学业质量监测数学试题[附解析]，共10页。试卷主要包含了6827，P≈0，439>10，…………，635等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知随机变量X∼N(90,10​2)，则P(X≥80)≈
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.9973.
A．0.97725B．0.84135C．0.7786D．0.34135
2．已知函数f(x)=f​′(2)x​2−1x−1，则f​′(2)=
A．25B．14C．−13D．−3
3．已知(ax+1x)​8展开式中第6项的系数为56，则实数a=
A．4B．3C．2D．1
4．已知随机变量X的分布列为
设Y=3X−2，则E(Y)=
A．12B．16C．−16D．−12
5．某博物馆新增包括A,B在内的8件文物，其中5件是清朝的，3件是唐朝的，且A,B都是清朝的.现将这些文物摆成一排，要求A,B必须相邻，但唐朝的文物不得相邻，则所有不同的摆法种数为
A．1440B．2160C．2880D．3050
6．已知随机变量X∼B(3,p)，若12≤p0，不等式xe​x−ax≥alnx恒成立，则实数a的取值范围为
A．[1,e]B．(0,1e]C．(0,e]D．(1e,1]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药.为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子（其中一部分用该药做了处理）进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8.未填写完整的2×2列联表如下，则
附：χ​2=n(ad−bc)​2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
A．这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒
B．这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒
C．χ​2的观测值约为13.428
D．根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为该新药有效
10．现有包括小王、小李在内的5名大四学生准备实习，每名学生从甲、乙、丙3家公司中任选一家公司，则下列结论正确的是
A．共有243种不同的选择方案
B．若小王、小李都不去甲公司实习，则共有110种不同的选择方案
C．若小王、小李去不同的公司实习，则共有162种不同的选择方案
D．若只有1名学生去甲公司实习，乙、丙两公司均有2名学生实习，则共有36种不同的选择方案
11．已知函数f(x)=−ax−b2x​2−c3x​3(a≠0)的定义域为(0,+∞)，且x=c是f(x)的一个极值点，则下列结论正确的是
A．方程ax​2+bx+c=0的判别式Δ>0B．ac+b=−1
C．若a0且ac>1，则x=c是f(x)的极小值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知变量x,y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为y=0.85x+a，据此模型预测，当x=10时y的值为 .
13．已知函数f(x)=x​22−4lnx在区间(a−1,a+4)上有定义，且在此区间上有极值点，则实数a的取值范围是 .
14．甲盒中装有6个红球和2个黑球，乙盒中装有3个红球和5个黑球，这些球除颜色外完全相同.先从甲、乙两个盒子中随机选1个盒子，再从该盒子中随机取出1个球，若摸出的球是黑球，则选中的盒子为甲盒的概率是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
已知(3x+4)​5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)​2+…+a5(x+1)​5.
（Ⅰ）求a0−a1+a2−a3+a4−a5的值；
（Ⅱ）求a2+a3+a4+a5的值.
16．（15分）
某植物科学研究所的最新研究表明：某种乔木类植物在沙漠中很难生存，主要原因是沙漠水土流失严重，土壤中的养料和水分相对贫瘠且该乔木类植物根系不发达.实验组调配出含钙、钾两种促进植物根系生长的生长液，将该种乔木类植物的幼苗放置在合适的环境下且每天加入等量的生长液进行培养，并记录前5天该乔木类幼苗的高度y(cm)与天数x的数据，如下表所示：
（Ⅰ）若该实验小组通过作散点图发现x与y之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程y=bx+a.
（Ⅱ）一般认为当该乔木类幼苗高度不小于45cm时即可移栽到自然条件下进行种植.若在不加生长液的条件下培养，该乔木类幼苗达到移栽标准的最短培养时间一般为18天，利用（Ⅰ）中的回归方程预测加了生长液后最短培养时间比不加生长液时缩短了多少天.
参考公式：在经验回归方程y=bx+a中，b=∑ni=1xiyi−nxy∑ni=1xi2−nx2，a=y−bx.
参考数据：∑5i=1xiyi=227.
17．（15分）
已知函数f(x)=x[1+(lnx)​2]−ax​22，a∈R.
（Ⅰ）若a=2，求f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）若f(x)在[1,+∞)上单调递减，求a的取值范围.
18．（17分）
甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率均为23，比赛采用七局四胜制，即率先取得4局胜利的人最终获胜，且该场比赛结束.
（Ⅰ）求前3局乙恰有2局获胜的概率；
（Ⅱ）求到比赛结束时共比了5局的概率；
（Ⅲ）若乙在前4局中已胜3局，求还需比2局或3局才能结束比赛的概率.
19．（17分）
已知函数f(x)=aln(x+1)−19x3(a∈R).
（Ⅰ）若f(x)在区间(−1,0)上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a>0，函数ℎ(x)=[f(x)+19x3]sinx，且ℎ(x)在[0,π2]的最大值为ln(1+π2)，证明：方程ℎ(x)=12在[0,π]上恰有两个不相等的实数根.
参考数据：ln(1+π2)≈0.944.
【参考答案】
河南省豫北名校2023-2024学年高二下学期期末学业质量监测
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．B
【解析】命题意图 本题考查正态分布.
由题可知P(80≤x≤100)≈0.6827，所以P(x≥80)≈0.5+12×0.6827=0.84135.
2．C
【解析】命题意图 本题考查导数的计算.
由题可知f​′(x)=2f​′(2)x+1(x−1)​2，∴f′(2)=4f′(2)+1，∴f​′(2)=−13.
3．D
【解析】命题意图 本题考查二项式定理.
T6=C85(ax)3(1x)5=56a3x12，∴56a​3=56，a=1.
4．A
【解析】命题意图 本题考查随机变量的分布列和数学期望.
由题可知13+12+m=1，解得m=16，则E(X)=0×13+1×12+2×16=56，所以E(Y)=3E(X)−2=3×56−2=12.
5．C
【解析】命题意图 本题考查排列组合的应用.
先将A,B摆在一起，视为一个元素，然后与其他3件清朝的文物摆成一排，有A2​2A4​4摆法，再将3件唐朝的文物插入清朝的文物形成的5个空中（包括两边），有A3​3种摆法，故所有不同的摆法种数为A2​2A4​4A5​3=2880.
6．B
【解析】命题意图 本题考查二项分布.
由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，所以P(X≥32)=P(X=2)+P(X=3)=C3​2p​2(1−p)+C3​3p​3=3p​2−2p​3.令f(p)=3p​2−2p​3，则f​′(p)=6p−6p​2=6p(1−p)，所以当12≤p0，所以f(p)在[12,1)上单调递增，所以f(12)≤f(p)0，所以ℎ(x)在(0,1]上单调递增，所以ℎ(x)的值域为(0,e]，即a的取值范围为(0,e].
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．AD
【解析】命题意图 本题考查独立性检验
由题可将2×2列联表补充完整如下：
由上表可知A正确，B错误；由表可知χ​2=100×(60×14−20×6)​266×34×80×20≈14.439>10.828，因此根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为该新药有效，故C错误，D正确.
10．AC
【解析】命题意图 本题考查计数原理及排列组合的应用.
对于A，每名学生都有3种选择方案，根据分步乘法计数原理，知共有3​5=243种不同的选择方案，故A正确；
对于B，小王、小李都有2种选择方案，剩下的3名学生均有3种选择方案，根据分步乘法计数原理，知共有2​2×3​3=108种不同的选择方案，故B错误；
对于C，小王、小李共有A3​2=6种选择方案，剩下的3名学生均有3种选择方案，共有6×3​3=162种不同的选择方案，故C正确；
对于D，只有1名学生去甲公司实习，有C5​1种选择方案，乙、丙两公司均有2名学生实习，有C4​2C2​2种选择方案，故共有C5​1C4​2C2​2=30种不同的选择方案，故D错误.
11．ABD
【解析】命题意图 本题考查利用导数研究函数的性质.
对于A，因为f(x)的定义域为(0,+∞)，所以x=c>0，f​′(x)=ax​2+bx​3+cx​4=ax​2+bx+cx​4，由题可知，x=c是方程ax​2+bx+c=0的一个变号实数根，所以方程ax​2+bx+c=0的判别式Δ>0，故A正确；
对于B，因为ac​2+bc+c=0，所以ac+b=−1，故B正确；
对于C，当a0，所以y=ax​2+bx+c的图象开口向下，且与x轴的正半轴只有一个交点，当x∈(0,c)时，f​′(x)>0，当x∈(c,+∞)时，f​′(x)0，即m(x)在[π2,x0)上无零点，…………（15分）
当x∈(x0,π]时，m​′(x)0，m(π)=−12