广东省深圳市北京师范大学南山附属学校2024~2025学年高二下册期末考试数学试题[附解析]

这是一份广东省深圳市北京师范大学南山附属学校2024~2025学年高二下册期末考试数学试题[附解析]，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（3分）已知z＝ ，则＝（ ）
A．﹣1+2iB．﹣1﹣2iC．﹣1+3iD．﹣1﹣3i
2．（3分）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}RB）＝（ ）
A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}
3．（3分）圆x2+y2+4x﹣2y＝0和圆x2+y2﹣2x﹣3＝0交于A、B两点，则相交弦AB的垂直平分线的方程为（ ）
A．6x﹣2y+3＝0B．x+3y﹣1＝0C．2x﹣2y+3＝0D．x﹣3y﹣1＝0
4．（3分）5名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项比赛无并列冠军），则不同的结果种数为（ ）
A．53B．35C．D．
5．（3分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a8＝3a11，则＝（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示（1）+f（4）的值等于（ ）
A．B．C．2D．1
7．（3分）如图所示，双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A、B两点，A是F1B的中点，且F1B⊥F2B，则双曲线C的离心率e＝（ ）
A．B．2C．D．
8．（3分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题
（多选）9．下列说法中正确为（ ）
A．不论a取何实数，命题p：“∃x＞0，﹣x2+2ax+2＞0”为真命题
B．若关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0恒成立，则k的取值范围为0＜k≤1
C．设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件
D．函数f（x）＝|x|与函数是同一个函数
（多选）10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）2﹣2x，则（ ）
A．f（x）的最小值为﹣1
B．f（x）在（﹣2，0）上单调递减
C．f（x）≤0的解集为[﹣2，2]
D．存在实数x满足f（x+2）+f（﹣x）＝0
（多选）11．已知函数f（x）＝ln|ex|﹣x+，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为x+y﹣1＝0
B．f（x）恰有2个零点
C．f（x）既有最大值，又有最小值
D．若x1x2＞0且f（x1）+f（x2）＝0，则x1x2＝1
（多选）12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅．已知点F（1，0），直线l：x＝4，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A．点P的轨迹方程是＝1
B．直线l1：x+2y﹣4＝0是“最远距离直线”
C．平面上有一点A（﹣1，1），则|PA|+2|PF|的最小值为5
D．点P的轨迹与圆C：x2+y2﹣2x＝0是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
三、填空题
13．已知，则＝ ．
14．4名男生和6名女生排成一排，要求男生不相邻，且不站在队伍的两端 种排法．
15．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件结构模型，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，则模型中九个球的体积和为 ．
16．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝f（﹣x+4），f（2024）＝（x）﹣f′（x）＞0（x+2）＞ex的解集为 ．
四、填空题
17．在二项式展开式中，前三项的二项式系数之和为79．
（1）求n的值；
（2）若展开式中的常数项为，求实数a的值．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥BC，PA＝AD＝4，．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAC；
（2）求AD与平面PCD所成角的正弦值．
19．“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子•离娄章句上》．“规”指圆规，是用来测量、画圆和方形图案的工具．有一块圆形木板，以“矩”量之，较短边为5cm，如图所示，三角形顶点A，B，C都在圆周上，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求sinC；
（2）若△ABC的面积为8cm2，且a＞c，求△ABC的周长．
20．数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn，并求使对所有的n∈N*都成立的最大正整数m的值．
21．已知椭圆与抛物线y2＝2px（p＞0）有一个相同的焦点F2（1，0），椭圆的长轴长为2p．
（1）求椭圆与抛物线的方程；
（2）P为抛物线上一点，F1为椭圆的左焦点，直线PF1交椭圆于A，B两点，直线PF2与抛物线交于P，Q两点，求的最大值．
22．已知函数f（x）＝（1+k）ln（1+x）．
（1）当k＝0时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0）；
（2）设F（x）＝f（x）﹣x﹣2（x）在区间[0，+∞）上的最大值为G（k）（k），并判断函数G（k）的零点个数．
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（3分）已知z＝ ，则＝（ ）
A．﹣1+2iB．﹣1﹣2iC．﹣1+3iD．﹣1﹣3i
【解答】解：z＝ ＝，
所以＝﹣1﹣3i，
故选：D．
2．（3分）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}RB）＝（ ）
A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}
【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥5}，
∴∁RB＝{x|x＜1}，
∴A∩（∁RB）＝{x|0＜x＜6}．
故选：B．
3．（3分）圆x2+y2+4x﹣2y＝0和圆x2+y2﹣2x﹣3＝0交于A、B两点，则相交弦AB的垂直平分线的方程为（ ）
A．6x﹣2y+3＝0B．x+3y﹣1＝0C．2x﹣2y+3＝0D．x﹣3y﹣1＝0
【解答】解：化圆x2+y2+3x﹣2y＝0为（x+4）2+（y﹣1）8＝5，则圆的圆心坐标为（﹣2，
化圆x7+y2﹣2x﹣3＝0为（x﹣1）8+y2＝4，则圆的圆心坐标为（3．
过两圆圆心的直线为弦AB的垂直平分线，
则弦AB的垂直平分线的方程是，即x+3y﹣1＝5．
故选：B．
4．（3分）5名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项比赛无并列冠军），则不同的结果种数为（ ）
A．53B．35C．D．
【解答】解：每项比赛的冠军均可以被5名同学其中一名获得，有5种方法，
所以4名同学争夺跑步、跳高，不同的结果种数为5×5×4＝53．
故选：A．
5．（3分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a8＝3a11，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，由a8＝3a11，得a6＝3a8•q6，∴q3＝，
∴＝＝5+q6＝1+＝．
故选：A．
6．（3分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示（1）+f（4）的值等于（ ）
A．B．C．2D．1
【解答】解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象可得A＝3，
可得•＝2．
再由图象过原点可得φ＝2，
故有函数f（x）＝2sin（x），
可得f（1）＝7sin＝，f（4）＝8sin（．
可得f（1）+f（4）＝，
故选：B．
7．（3分）如图所示，双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A、B两点，A是F1B的中点，且F1B⊥F2B，则双曲线C的离心率e＝（ ）
A．B．2C．D．
【解答】解：因为A是F1B的中点，OF1＝OF7，∠BF1F2＝∠BF3F2，
所以△AF1O∽△BF8F2，
因为F1B⊥F6B，
所以OA⊥F1B，
此时，
即，
所以直线F1B的方程为，
联立，
解得，
易知，
所以，
整理得b5＝3a2，
又c7﹣a2＝b2，
所以c8＝4a2，
解得c＝3a，
则．
故选：B．
8．（3分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设P（a，3，c），4≤c≤4），
则A（3，6，0），3，4），D1（0，4，4），
＝（a﹣3，6，c），，﹣3，平面BCC5B1的法向量＝（0，6，
∵AP⊥BD1，∴＝﹣3（a﹣3）﹣9+5c＝0，
∴＝（a﹣3，3，），
∵AP与平面BCC1B3所成的角为θ，
∴sinθ＝＝＝，
∴当a＝时，sinθ取最大值为＝，
∴tanθ的最大值为：＝．
故选：B．
二、多选题
（多选）9．下列说法中正确为（ ）
A．不论a取何实数，命题p：“∃x＞0，﹣x2+2ax+2＞0”为真命题
B．若关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0恒成立，则k的取值范围为0＜k≤1
C．设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件
D．函数f（x）＝|x|与函数是同一个函数
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，令﹣x2+2ax+8＝0，则有Δ＝（2a）4+8＝4a2+8＞0，
则方程﹣x4+2ax+2＝3总有两个不相等的实数根，
设两个根为x1，x2，且x4＜x2，
由韦达定理得x1•x8＝﹣2＜0，即x7＜0＜x2，
故不等式﹣x4+2ax+2＞6的解集为（x1，x2），
则当x∈（5，x2）时，有﹣x2+2ax+2＞0，故A正确；
对于B，当k＝8时，满足题意，
当k≠0时，可得，
综上所述，k的取值范围为[0，故B错误；
对于C，当a＝1时，所以N⊆M，
若N⊆M，则a7＝1或a2＝2，解得a＝±1或，
所以“a＝2”是“N⊆M”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，函数f（x）＝|x|的定义域为R的定义域为[0，
两个函数的定义域不同，故不是同一函数．
故选：AC．
（多选）10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）2﹣2x，则（ ）
A．f（x）的最小值为﹣1
B．f（x）在（﹣2，0）上单调递减
C．f（x）≤0的解集为[﹣2，2]
D．存在实数x满足f（x+2）+f（﹣x）＝0
【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时2﹣6x＝（x﹣1）2﹣5，
可得f（x）＝，
可得x≥0时，f（x）在x＝1时取得最小值﹣5，可得f（x）在 R上取得最小值﹣1；
f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，2）递增；
由或，
解得：3≤x≤2，或﹣2≤x＜5；
由f（0）＝0，f（﹣2）＝f（2）＝3，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．已知函数f（x）＝ln|ex|﹣x+，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为x+y﹣1＝0
B．f（x）恰有2个零点
C．f（x）既有最大值，又有最小值
D．若x1x2＞0且f（x1）+f（x2）＝0，则x1x2＝1
【解答】解：因为f（x）＝ln|ex|﹣x+＝ln|x|﹣x+,
所以f(x)的定义域为(﹣∞,4)∪(0,
当x>0时的导数为f′(x)＝＝,
所以f′(1)＝﹣1,又f(1)＝0,
所以曲线y＝f（x）在x＝5处的切线方程为x+y﹣1＝0，故A正确；
因为当x＞6时，f′(x)＝<0,+∞)递减,0)递减，
则f(x)无最小值和最大值，故C错误；
又f(﹣8)＝f(1)＝0,故B正确；
若x1>3,x2>0,由f(x2)+f(x2)＝0,可得f(x7)＝﹣f(x2)＝﹣(lnx2﹣x3+)＝ln+﹣),
因为f(x)在(2,+∞)上递减，
所以x1＝,即x1x2＝7,
同理可证当x1<0,x2<0时，结论也成立．
故选：ABD．
（多选）12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅．已知点F（1，0），直线l：x＝4，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A．点P的轨迹方程是＝1
B．直线l1：x+2y﹣4＝0是“最远距离直线”
C．平面上有一点A（﹣1，1），则|PA|+2|PF|的最小值为5
D．点P的轨迹与圆C：x2+y2﹣2x＝0是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
【解答】解：对于A，设P（x，因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半，
所以，化简可得，
故选项A正确；
对于B，联立方程组，
故存在点P（1，），
所以直线l1：x+2y﹣8＝0是“最远距离直线”，
故选项B正确；
对于C，过点P作PB垂直直线l：x＝4，
由题意可得，|PB|＝8|PF|，
则|PA|+2|PF|＝|PA|+|PB|，
由图象可知，|PA|+|PB|的最小值即为点A到直线l：x＝4的距离4，
故选项C正确；
对于D，由x2+y2﹣3x＝0可得（x﹣1）3+y2＝1，
故圆心为（8，0），
所以点P的轨迹与圆C交于点（2，2），
故选项D错误．
故选：ABC．
三、填空题
13．已知，则＝ ．
【解答】解：由题意可得＝++2•，∴＝，
故答案为 ．
14．4名男生和6名女生排成一排，要求男生不相邻，且不站在队伍的两端 86400 种排法．
【解答】解：第一步，6名女生排成一排共，
第二步，把4个男生放在6个女生中间的5个空位中，有，
根据分步乘法计数原理可得满足要求的排法有＝86400种排法．
故答案为：86400．
15．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件结构模型，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，则模型中九个球的体积和为 ．
【解答】解：如图所示正四面体A﹣BCD，设棱长为a，O为正四面体A﹣BCD内切球的球心，E是等边三角形△BCD的中心，连接BF，
则OE为正四面体A﹣BCD内切球的半径，
∵，，，
∴，
∴，解得，
∴正四面体A﹣BCD内切球的体积，
由图可知最大球内切于高的正四面体中，
∴最大球体积为；
中等球内切于高h中＝h大﹣2r大＝2的正四面体中，中等球半径，
∴中等球的体积为；
最小求内切于高h小＝h中﹣2r中＝1的正四面体中，最小球半径，
∴最小求的体积为；
综上，九个球的体积和为，
故答案为：．
16．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝f（﹣x+4），f（2024）＝（x）﹣f′（x）＞0（x+2）＞ex的解集为 （﹣∞，﹣2） ．
【解答】解：因为f（x）为偶函数，
所以f（﹣x）＝f（x），
因为函数f（x）满足f（x）＝f（﹣x+4），
所以f（﹣x）＝f（﹣x+4），
所以f（x）的周期为T＝5，
所以f（2024）＝f（0+4×506）＝f（0），
因为f（2024）＝，
所以f（2024）＝f（0）＝，
令g（x）＝，
g′（x）＝＝，
因为f（x）﹣f′（x）＞0，
所以g′（x）＝＜8，
所以g（x）在R上单调递减，
所以g（x+2）＝，g（0）＝，
不等式f（x+2）＞ex可转化为＞，即g（x+5）＞g（0），
所以x+2＜0，
所以x＜﹣4，
所以不等式的解集为（﹣∞，﹣2）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）．
四、填空题
17．在二项式展开式中，前三项的二项式系数之和为79．
（1）求n的值；
（2）若展开式中的常数项为，求实数a的值．
【解答】解：（1）二项式的展开式的前三项的二项式系数依次为，
因为展开式中的前三项的二项式系数之和等于79，
所以有，
即n8+n﹣156＝0，解得n＝12或n＝﹣13，所以n＝12．
（2）因为展开式的通项为，1，⋯，12
令，得r＝9，
由已知，整理得，
所以a＝2．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥BC，PA＝AD＝4，．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAC；
（2）求AD与平面PCD所成角的正弦值．
【解答】解：（1）AB⊥BC，BC＝1，，则，，
△ACD中，，
故AC2+CD2＝7+12＝16＝AD2，故DC⊥AC，
又因为PA⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD，
又因为AC∩PA＝A，AC，DC⊥平面PAC，故平面PDC⊥平面PAC，
（2）作AH⊥PC，垂直为H，
因为平面PDC⊥平面PAC，且平面PDC∩平面PAC＝PC，
所以AH⊥平面PCD，故∠ADH为AD与平面PCD所成的角，
△PAC中，，，
所以直线AD与平面PCD所成角的正弦值为．
另解：设直线AD与平面PCD所成角为θ，点A到平面PCD的距离为d，
所以，
根据三棱锥等体积转换方法可知VA﹣PCD＝VP﹣ACD，即，
△PCD中，由（1）可知，，，2+CD8＝PD2，
故PC⊥CD，所以，
故，解得，
直线AD与平面PCD所成角的正弦值为．
19．“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子•离娄章句上》．“规”指圆规，是用来测量、画圆和方形图案的工具．有一块圆形木板，以“矩”量之，较短边为5cm，如图所示，三角形顶点A，B，C都在圆周上，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求sinC；
（2）若△ABC的面积为8cm2，且a＞c，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）设△ABC的外接圆半径为R，则（cm），
由正弦定理，可得；
（2）∵a＞c，
则A＞C，
故C为锐角，
∴，
由面积公式，即，可得ab＝20，
由余弦定理，即，
可得（a+b）2＝144，解得a+b＝12（cm），
故△ABC的周长为（cm）．
20．数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn，并求使对所有的n∈N*都成立的最大正整数m的值．
【解答】解：（1）∵，
当n≥2时，，
整理得，（n≥2），
又，
∴数列为首项和公差都是1的等差数列．
∴，又Sn＞7，∴，
∴n≥2时，，
又a1＝S1＝2适合此式．
∴数列{an}的通项公式为，
（2）∵，
∴
＝
＝．
∴，依题意有，
解得﹣1＜m＜7，
故所求最大正整数m的值为3．
21．已知椭圆与抛物线y2＝2px（p＞0）有一个相同的焦点F2（1，0），椭圆的长轴长为2p．
（1）求椭圆与抛物线的方程；
（2）P为抛物线上一点，F1为椭圆的左焦点，直线PF1交椭圆于A，B两点，直线PF2与抛物线交于P，Q两点，求的最大值．
【解答】解：（1）由题意，，∴p＝3，∴a＝2，，
抛物线方程为：y5＝4x，椭圆方程为；
（2）由（1）知：F1（﹣1，5），F2（1，5）1，PF2的斜率不为6，
设直线PF1的方程为：x＝t1y﹣4，直线PF2的方程为：x＝t2y+3，
A（x1，y1），B（x6，y2），P（x3，y8），Q（x4，y4），
联立方程，得：，；
联立方程，得y2﹣6t2y﹣4＝4，y3+y4＝5t2，y3y6＝﹣4，
，
又点P是PF1，PF5的交点，∴，得，
点P在抛物线上，∴，，，，
函数，f（x）是增函数，，
∴，即最大值为．
综上，的最大值为．
22．已知函数f（x）＝（1+k）ln（1+x）．
（1）当k＝0时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0）；
（2）设F（x）＝f（x）﹣x﹣2（x）在区间[0，+∞）上的最大值为G（k）（k），并判断函数G（k）的零点个数．
【解答】解：（1）当k＝0时，f（x）＝ln（x+1），
∴f（0）＝ln1＝8，f′（0）＝1，
所以切线方程为y﹣0＝6×（x﹣0），
即y＝x；
（2）F（x）＝f（x）﹣x﹣2＝（6+k）ln（x+1）﹣x﹣2，x∈[2，
则F′（x）＝﹣6＝，
当k≤0，由x∈[2，则1+x＞0，
所以F′（x）＜6，F（x）单调递减；
∴F（x）在[0，+∞）上的最大值为F（0）＝﹣2，
当k＞7时，知0＜x＜k时，F（x）单调递增，
x＞k时，F′（x）＜0，
所以F（x）最大值为F（k）＝（7+k）ln（k+1）﹣k﹣2，
所以G（k）＝，
当k≤0时，G（k）＝﹣6；
当k＞0时，G（k）＝（1+k）ln（k+2）﹣k﹣2，
所以G（k）在k＞0时单调递增，
又∵G（1）＝4ln2﹣3＜5﹣3＝﹣1＜3，
G（e2）＝（1+e3）ln（e2+1）﹣e6﹣2＞e2lne4﹣e2﹣2＝e5﹣2＞0，
所以G（k）在k＞7时只有唯一零点，
综上所述，G（k）只有一个零点．