安徽省休宁中学2024~2025学年高一下学期期末学业诊断测试数学试卷A[附解析]

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数学
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求．
1. 若向量 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量坐标满足的条件进行判断.
【详解】因为 ，所以 .
故选：C
2. 已知 i 是虚数单位，则复数 （ ）
A. -1 B. i C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘除运算即可求解.
【详解】 .
故选：A
【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
3. 甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先列表得到所有的基本事件的个数及平局对应的基本事件的个数，根据公式可得所求的概率．
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【详解】甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：
甲
锤 剪子 包袱 乙
锤 (锤，锤) (锤，剪子) (锤，包袱)
剪子 (剪子，锤) (剪刀，剪子) (剪子，包袱)
包袱 (包袱，锤) (包袱，剪子) (包袱，包袱)
因为由表格可知，共有 9 种等可能情况．
其中平局的有 3 种：(锤，锤)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)．
设 为“甲和乙平局”，则 ，故选 A．
【点睛】古典概型的概率计算，如果基本事件的总数计算较为繁琐时，那么应该用枚举法或列表法得到所
有的基本事件及随机事件中含有的基本事件．
4. 设 ， 为两个不同的平面，m，n 为两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用直线、平面的位置关系进行判断以及通过举反例进行排除.
【详解】对于 A，若 ， ，则 或 ，故 A 错误；
对于 B，若 ， ， ，则 或 相交，故 B 错误；
对于 C，利用线面垂直的性质定理以及平行的传递性，可知 C 正确；
对于 D，若 ， ， ，当 ， 不一定垂直于 ，
故 D 错误.
故选：C.
5. 在 中，若 ，则
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知条件结合两角和的正切公式求出 ，得 ，解出角 ，可求 的值.
【详解】 中，由 ，
得 ，
又 ，所以 ，则 .
故选：B．
6. 《算数书》竹简于上世纪八十年代湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，
其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周
长 与高 ，计算其体积 的近似公式， ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取 3，
那么，近似公式 相的中当于将圆锥体积公式中的 近似取（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用 表示出圆锥的底面半径，得出圆锥的体积关于 和 的式子 ，令 ，能解
出 的近似值．
【详解】解：设圆锥的底面半径为 ，则圆锥的底面周长 ，
∴ ，
∴ .
令 ，
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解得 .
故选：C
7. 样本 a，3，5，7 的平均数是 b，且 a，b 是方程 x2－5x＋4＝0 的两根，则这个样本的方差是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据平均数和方差的公式可知，
由于一个样本 a,3,5,7 平均数是 b，那么可知 a+3+5+7=4b
同时 a、b 是方程 x2－5x＋4＝0 的两根，则可知 a+b=5,ab=4,那么解方程可知 a=1,b=4，那么可知样本的方差
为 ，故选 C.
考点：本试题考查了数字的平均值和方差的求解．
点评：解决该试题的关键是理解平均值的公式和方差的公式，运用表达式准确的表示和求解，需要细心点．属
于基础题．
8. 若函数 的定义域内存在 ，使得 成立，则称该函数为“完整函数”．
已知 是 上的“完整函数”，则 的取值范围为
（ ）
A. B. C. [3，5] D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角恒等变换可知 ，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为
在 上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围
.
【详解】由题意可得：
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，
即 是 上的“完整函数”，所以存在 ，
使得 成立；
即存在 ，使得 成立；
又因为 ，因此 ，
即 在 上至少存在两个最大值点，
所以 ，解得 ；
当 ，即 时，一定满足题意；
若 ，因为 ， ，所以 ，
又易知 ；
所以只需保证 即可，解得 ，
综上可知 ．
故选：B．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知复数 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 为纯虚数，则
B. 若 为实数，则
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C. 若 在复平面内对应的点在直线 上，则
D. 在复平面内对应的点不可能在第三象限
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断 A、B，根据复数的几何
意义判断 C、D.
【详解】复数 的实部为 ，虚部为 ，
复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，
对于 A：若 为纯虚数，则 ，解得 ，故 A 正确；
对于 B：若 为实数，则 ，解得 ，则 ，故 B 正确；
对于 C：若 在复平面内对应的点在直线 上，
所以 ，解得 或 ，故 C 错误；
对于 D：令 ，即 ，不等式组无解，
所以 在复平面内对应的点不可能在第三象限，故 D 正确.
故选：ABD
10. 如图， 的方格纸（小正方形的边长为 1）中有一个向量 （以图中的格点 为起点，格点 为终
点），则（ ）
A. 分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与 是相反向量的共有 11 个
B. 满足 的格点 共有 3 个
C. 存在格点 ， ，使得
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D. 满足 的格点 共有 4 个
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．
【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与 是相反向量的共有 18 个，故 错，
以 为原点建立平面直角坐标系， ，
设 ，若 ，
所以 ， ， ，且 ， ，
得 ， ， 共三个，故 正确．
当 ， 时，使得 ，故 正确．
若 ，则 ， ， ，且 ， ，
得 ， ， ， 共 4 个，故 正确．
故选： ．
【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．
11. 设 A，B 为两个随机事件，若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则 A，B 相互独立
C. 若 A 与 B 相互独立，则 D. 若 A 与 B 相互独立，则
【答案】BD
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【解析】
【分析】根据并事件 概率的计算公式即可判断 A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即
可判断 BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断 C.
【详解】A，若 ，则 ，A 错误；
B ，因为 ，则 ，B 正确；
C，因为 A 与 B 相互独立，则 也相互独立，
则 ，C 错误；
D，若 A 与 B 相互独立，则 也相互独立，
则 ，D 正确.
故选：BD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知向量 ， ，若 与 垂直，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示求参数，再由模长的坐标运算求 .
【详解】由题设 ，则 ，即 ，
又 ，则 .
故答案为：
13. 如图，点 是海上的一个钻井平台，甲船､乙船､丙船分别位于点 三个位置，甲船在乙船的正北
方向，丙船在乙船的正东方向，且 海里， 海里，若 海里，则
丙船到钻井平台的距离为__________海里．
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【答案】
【解析】
【分析】先应用正弦定理得出 ，再应用余弦定理求边长即可.
【详解】设 ，则 ，
在 中，由正弦定理可得 ，可得 ，所以 ，
则 ，所以 海里， ，
在 中，由余弦定理得
，
即丙船到钻井平台的距离为 海里．
故答案为： .
14. 甲､乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为 ，若只有 1 人击中，则飞碟被击落的概率为 0.2
，若 2 人击中，则飞碟被击落的概率为 0.6，那么飞碟被击落的概率为__________.
【答案】0.34
【解析】
【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算得解.
【详解】设甲，乙两人击中飞碟为事件 ，依题意， ， 相互独立，
所以所求事件概率为
.
故答案为：0.34
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数 ，i 为虚数单位.
（1）求 ；
（2）若复数 z 是关于 x 的方程 的一个根，求实数 m，n 的值；并把代数式 分解成
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一次因式的积.
【答案】（1） ；
（2） ， .
【解析】
【分析】（1）应用复数的除法和加法化简复数，再写出其共轭复数；
（2） 是 的两个根，应用根与系数关系求参数，再对代数式作因式分解.
【小问 1 详解】
由题设 ，则 ；
【小问 2 详解】
由题设 是 的两个根，则 ，故 ，
所以 .
16. 已知 是同一平面内的三个向量，其中 .
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 ，且 ，求 与 的夹角θ的余弦值.
【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】（1）设 ，由 ，和 ，列出方程组，求得 的值，即可求解；
（2）由 ，求得 ，结合夹角公式，即可求解.
【详解】（1）设 ，因为 ，所以 ， ①
又因为 ，所以 ， ②
由①②联立，解得 或
（2）由已知 ，可得 ，
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又由 ， ，解得 ，所以 .
【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及平面向量的数量积的坐标运算的应用，意在考查运算
与求解能力，属于基础题.
17. 的内角 的对边分别为 ， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)用正弦定理转化，结合正弦差角公式即可求解.(2)结合第一问的结论和余弦定理求得 的余弦值，
代入面积公式求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
则 .
又 ，所以 ，
故 ，即 .
【小问 2 详解】
由（1）可知， .
因为 ，所以 ，
则 ，
故 的面积 .
18. （1）已知 ， ，求 的值；
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（2）已知 ， ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）由 结合 求出 ，再利用三角函数恒等变换公式和同
角三角函数的关系对式子化简，从而可求得结果；
（2）先由 求出 ，从而可求出 ，再由 求出 的值，
而 ，展开化简可得 ，再结合其范围可求得结果
【详解】解：（1）因为 ，
所以 ，
因为 ，
整理得 ，
解得 或 （舍 ，
，
，
；
（2）因为 ， ，
所以 ，
故 ， ，
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因为 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
，
因为 ，
所以 ．
19. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 D，E 分别为棱 BC，
的中点，点 F 是线段 CE 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 DF 与平面 ABF 所成角的正弦值；
（3）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）只需分别证明 ， ，结合线面垂直的判定定理即可得解；
（2）首先通过分析可说明 是直线 DF 与平面 ABF 所成角，进一步通过解三角形即可得解；
（3）由二面角的定义分析说明 为二面角 F-AD-C 的平面角，再通过解三角形即可得解.
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【小问 1 详解】
在直三棱柱 中， 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
在矩形 中， ， ，点 E 是棱 的中点，
所以 ，所以 是等边三角形，
又点 F 是线段 CE 的中点，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ．
【小问 2 详解】
在平面 BCE 内，过点 D 作 BF 的垂线，垂足为 H，如图所示．
由（1）知 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 是直线 DF 与平面 ABF 所成角．
在 中， ， ，所以 ，
又点 D 为棱 BC 的中点，所以 ．
因为 平面 ，又 平面 ，所以 ，
所以 ， ．
中，由余弦定理得 ，
所以 ，即直线 DF 与平面 ABF 所成角的正弦值为 ．
【小问 3 详解】
在平面 内，过点 F 作 AC 垂线，垂足为 O，在平面 ABC 内，过 O 作 AD 的垂线，垂足为 G，连
接 FG，如图所示．
因为 平面 ，又 平面 ，所以 ，
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又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ， ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，又 ，
所以 为二面角 的平面角．
在 中， ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又易得 ， ，所以 ，
由等面积法可知 ．
在 中， ， ， ，所以 ，
所以 ，即二面角 的余弦值为 ．
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