江苏省部分高中2024~2025学年高一下学期期末迎考数学试卷（PDF+解析）

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江苏省2024—2025学年高一下学期期末迎考卷
数 学
注意事项：
1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2. 答题前，考生务必将班级、姓名、学号填写在密封线内．
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知复数z＝ eq \f(i,1－i)， eq \x\t(z)是z的共轭复数，则 eq \x\t(z)的虚部为( )
A. － eq \f(1,2)i B. － eq \f(1,2) C. eq \f(1,2)i D. eq \f(1,2)
2. 在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则最大角的余弦值为( )
A. － eq \f(1,4) B. － eq \f(2,3) C. － eq \f(1,3) D. eq \f(1,4)
3. 某生活超市2025年第一季度各区域营业收入占比和净利润占比统计如下表所示：
已知该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%(营业利润率是净利润占营业收入的百分比)，下列结论不正确的是( )
A. 本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区
B. 本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区
C. 本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%
D. 本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区
4. 若 eq \f(cs α,sin α－cs α)＝2，则tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A. － eq \f(3,5) B. － eq \f(1,3) C. eq \f(1,7) D. eq \f(1,5)
5. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n B. 若m∥n，m∥α，则n∥α
C. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n D. 若β⊥α，γ⊥α，则β∥γ
6. 若O为△ABC所在平面内任一点，且满足( eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→)))·( eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))－2 eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形状为( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
7. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝AB＝AA1，∠BAC＝120°，D，E，F分别是棱B1C1，BC，A1C1的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为( )
(第7题)
A. eq \f(7,10) B. eq \f(1,2) C. eq \f(3,10) D. eq \f(\r(3),2)
8. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且 eq \(AM,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))，若λ＋μ＝ eq \f(1,2)，则 eq \(MB,\s\up6(→))· eq \(MC,\s\up6(→))的最小值为( )
A. eq \f(1,2) B. － eq \f(1,2) C. － eq \f(1,4) D. eq \f(1,4)
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9. 某射击场中，甲、乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 eq \f(3,4)， eq \f(1,2).记事件A为“两人都击中”，事件B为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，则下列说法正确的是( )
A. 事件A与C是互斥事件 B. 事件B与C是对立事件
C. 事件A与B相互独立 D. P(A∪B)＝ eq \f(7,8)
10. 设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有( )
A. 若(1＋i)z＝－i，则|z|＝1
B. 对任意复数z1，z2，有 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1z2))＝|z1|· eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z2))
C. 对任意复数z1，z2，有 eq \x\t(z1·z2)＝ eq \x\t(z1)· eq \x\t(z2)
D. 在复平面内，若M＝{z||z－2|≤2}，则集合M所构成区域的面积为6π
11. 在△ABC中，已知∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，且D为BC边上一点，则下列说法正确的是( )
A. △ABC的外接圆半径R＝ eq \f(\r(21),3) B. 若AD是BC边上的高，则AD＝ eq \f(2\r(21),7)
C. 若AD是∠A的平分线，则AD＝ eq \f(6\r(3),5) D. 若 eq \(BD,\s\up6(→))＝2 eq \(DC,\s\up6(→))，则AD＝ eq \f(\r(37),3)
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))＝ eq \f(3,5)，θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，则sin θ＝________．
13. 某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是________.
14. 已知圆锥的轴截面面积为9 eq \r(3)，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥外接球的表面积为________．
四、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－3).
(1) 求向量a在向量b上的投影向量；
(2) 若向量ma－b与a＋2b的夹角为钝角，求m的取值范围．
16. (15分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].
(1) 求频率分布直方图中a的值；
(2) 估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数(保留一位小数)；
(3) 从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60)的概率．
(第16题)
17. (15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b cs C＋c cs B＝2a cs A.
(1) 求角A的大小；
(2) 若△ABC的面积是 eq \f(3\r(3),4)，a＝2，求△ABC的周长；
(3) 若△ABC为锐角三角形，求sin B＋sin C的取值范围．
18. (17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为正方形，E，F分别为AD，PC的中点，设平面PCD∩平面PBE＝l.
(1) 求证：BC⊥DF；
(2) 求证：DF∥l；
(3) 若PD⊥CD，二面角P-BC-D的大小为30°，求PB与底面ABCD所成角的正弦值．
(第18题)
19. (17分)如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是边DC，BC上的两点，AB＝6，AD＝4.
(1) 如果P，Q分别是边DC，BC的中点，求 eq \(AP,\s\up6(→))· eq \(AQ,\s\up6(→))的值．
(2) 若∠PAQ＝ eq \f(π,4)，求△PAQ的面积S△PAQ的最小值．
(3) 若 eq \(DP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(PC,\s\up6(→))，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得∠THQ最大．若存在，求BH的长；若不存在，请说明理由．
(第19题)
生鲜区
熟食区
乳制品区
日用品区
其他区
营业收入占比
48.6%
15.8%
20.1%
10.8%
4.7%
净利润占比
65.8%
－4.3%
16.5%
20.2%
1.8%