衡阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份衡阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为( )
A.B.C.D.
2．定义在R上的函数为偶函数,,,,则( )
A.B.C. D.
3．下表是某服装销售公司2021年度各类服装营业收入占比和净利润占比统计表：
下列判断中不正确的是( )
A.该公司2021年度鞋类销售亏损
B.该公司2021年度净利润主要由衣服裤子类销售提供
C.该公司2021年度帽子围巾类营业收入和净利润相同
D.清除鞋类销售数据后,该公司2021年度衣服裤子类销售净利润占比将会降低
4．已知甲袋中有4个白球､x个红球,乙袋中有2个白球､4个红球,各个球的大小与质地相同.现从甲､乙两袋中依次不放回地各取2个球,若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等,则( )
A.2B.4C.6或2D.8或4
5．已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点,则实数m的取值范围是( ).
A..B.C.D.
6．平面内有向量,,满足,,则的最小值是( )
A.2B.C.D.
7．在四棱锥中,,,,且,,则直线与平面所成角的正弦值的最大值为( )
A.B.C.D.
8．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减.记满足条件的所有的值的和为S，则S的值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题中,真命题是( )
A.,使得
B.
C.幂函数在上为减函数,则m的值为-1
D.,是的充分不必要条件
10．设正数x,y满足,则下列说法正确的是( )
A.的最大值为1B.的最小值为-1
C.的最小值为D.的最小值为
11．已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球O,则下列说法正确的是( )
A.球O的体积为
B.球O内接圆柱的侧面积的最大值为
C.球O在正方体外部的体积小于
D.球O在正方体外部的面积大于
三、填空题
12．若,,则____________.
13．已知某圆台的体积为,其上底面和下底面的面积分别为,,且该圆台两个底面的圆周都在球O的球面上,则球O的表面积为______________.
14．已知函数若在区间D上的最大值存在,记该最大值为,则满足等式的实数a的取值集合是_______________.
四、解答题
15．已知向量,.
(1)若,求的值;
(2)若,,求的值.
16．如图,在四棱台中,底面ABCD是菱形, , ,,,
(1)求证：直线平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市"知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩（满分100分,成绩均为不低于40分的整数）分成六段：,,…,,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)求样本成绩的上四分位数;
(3)已知落在的平均成绩是54,方差是7,落在的平均成绩为66,方差是4,求两组成绩的总平均数和总方差.
18．如图,在四棱锥中,底面是正方形,平面,且,E为线段上的动点.
(1)若E为的中点,求三棱锥的体积;
(2)若,问上是否存在点M,使得平面？若存在,请指明点M的位置;若不存在,请说明理由;
(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸（单位：）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
经计算得,,,其中为抽取的第i个零件的尺寸,.
(1)求的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
（i）从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查？
（ii）请利用已经学过的方差公式：来证明方差第二公式.
（iii）在之外的数据称为离群值,试剔除离群值,并利用（ii）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）
附：样本的相关系数,.
参考答案
1．答案：B
解析：因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为.
故选：B.
2．答案：C
解析：由题意,函数为偶函数,则有,即,
变形可得,必有,所以,
可得函数在上单调递减,
又由,
因为,所以,即.
故选：C.
3．答案：C
解析：对选项A：鞋类净利润占比为负数,表示亏损,正确;
对选项B：该公司2021年度净利润主要由衣服裤子类销售提供,正确;
对选项C：帽子围巾类营业收入和净利润占比相同,不是金额相同,错误;
对选项D：清除鞋类销售数据后,净利润增加,服裤子类销售净利润占比将会降低,正确.
故选：C.
4．答案：C
解析：设事件A为“从甲袋中取出的2个球的颜色不相同”,事件B为“从乙袋中取出的2个球的颜色不相同”,
则,
所以,解得或.
故选：C.
5．答案：D
解析：由题意得,,解得,故,
因为,所以当时,.
由,解得,,即,,
因为,所以,
所以.
因为在区间上有唯一零点,
所以在区间有一个根,
即与的图像在只有一个交点,
当时,,
故由正弦函数图像可得或,
解得或,
故选：D.
6．答案：B
解析：,则有,如图,,,,
,,
延长至D,使得,
,,则有,得,
.
当B,E,D三点共线且E在线段上时,的最小值是.
故选：B
7．答案：C
解析：取AD中点O,连接PO、BO、CO,设CO与BD交于F,连接PF,
在等腰梯形ABCD中,由且,
故四边形DOCB为菱形,所以,又,且F为BD的中点,
所以,又,所以平面PCO,,
连接AC交BO于G,连接PG,同理可得平面PBO,所以,
因为,相交,所以平面ABCD,
过O作交PF于H,由平面PCO,
故,又,所以平面PBD,
设,,故,又,
故点A到平面PBD的距离,
设直线PA与平面PBD所成角的大小为,
则
当且仅当即时取等号,
故直线PA与平面PBD所成角的正弦值的最大值为,
故选：C.
8．答案：A
解析：由题意知：或,，
或，或,
在上单调递减， ，.
①当时，取知，此时，
当时，满足在上单调递减，
符合，取时，，此时，
当时，满足在上单调递减，
符合，当时，，舍去，当时，也舍去，
②当时，取知此时，
当时，，此时在上单调递增，舍去，当时，，舍去，当时，也舍去，
综上：或2，.
故选：A.
9．答案：CD
解析：对于A,由指数函数值域可知,对于,恒成立,所以A是假命题;
对于B,取特殊值,则,所以B是假命题;
对于C,由幂函数性质可得,解得或;
又在上为减函数,所以,即可得,即C为真命题;
对于D,显然,能推出;而时,可使,,此时推不出,,
所以,是的充分不必要条件,即D是真命题;
故选：CD.
10．答案：BCD
解析：对于A：因为,所以,当且仅当时取等号,
所以,当且仅当时取等号,
所以的最大值为,故A错误;
对于B：因为,所以,所以,
所以,当且仅当时取等号,
由对数函数单调性可知,
所以的最小值为-1,故B正确;
对于C：因为,
当且仅当,即时取等号,故C正确;
对于D：因为
,
当且仅当,即时等号,故D正确;
故选：BCD.
11．答案：BCD
解析：A.依题意,得棱切球的半径为,则球O的体积为,错误
B.记球O的内接圆柱的底面半径为r,则内接圆柱的高为：,
则内接圆柱的侧面积为：,
等号成立时,故球O的内接圆柱的侧面积最大值为：,正确
C.球O在正方体外部的体积小于球O体积与正方体内切球体积之差,
即,正确
D.球O在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积.
每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积,
则内接圆锥的底面半径为,高为,得圆锥的母线长为：,
得内接圆锥的侧面积为：,
所以6个球冠的表面积大于,正确
故选：BCD.
12．答案：
解析：由,可得,
又,所以,即,
则,解得,
所以.
故答案为：.
13．答案：
解析：设该圆台的高为h,则,解得.
设圆台上、下底面半径为,,所以,,解得：,,
当圆台的上、下底面在球心的两侧时,
设球心O到下底面的距离为t,球O的半径为R,
则,所以,解得,
则,故球O的表面积为.
当圆台的上、下底面在球心的同侧时,
设球心O到下底面的距离为x,球O的半径为R,
则,所以,解得：,不符合题意.
故答案为：.
14．答案：
解析：依题意可知,在区间上有最大值必然为,且,所以在区间上的最大值为.
(1)若在处取最大值,即,解得,此时,所以适合题意;
(2)若在处取最大值,即,解得,此时,所以适合题意.
综上可知,a的取值集合是.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,,,
所以,即,,
所以
,故.
(2)因为,,所以,
因为,所以,
化简得,即,
因为,,
所以联立,解得,,
所以。
16．答案：(1)证明见解析;
(2)
解析：(1)连接,交于O,
因为,,,
所以,故
又因为O为菱形对角线交点,即是线段的中点,所以
又四边形为菱形,故
而,所以平面
方法二：因为,
所以点在平面内的射影O在为的平分线,
又四边形为菱形,故为的平分线,则直线
故平面平面,而平面平面,
又四边形为菱形,故
所以平面
(2)延长,,,交于点P,平面即为平面,平面即平面
由(1)得平面平面,平面平面,
所以过做,则平面,故即为直线与平面所成角（若研究直线与平面所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变）
因为四棱台中,所以,
由菱形有,且,所以,
作,因为,则,,所以,
则,,,
故.
法二：延长,,,交于点P,
平面即为平面,平面即平面,
设直线与平面所成角为,
过P作,垂足为G,因为,所以
建系,以,为x,y轴,作z轴,
,,,
,,
设平面的法向量为,
则,
所以,
所以
17．答案：(1)0.03
(2)84
(3)总平均数是62,总方差是37.
解析：(1)每组小矩形的面积之和为1,
,
.
(2)成绩落在内的频率为,
落在内的频率为,
设第75百分位数为m,
由,得,故第75百分位数为84;
(3)由图可知,成绩在的市民人数为,
成绩在的市民人数为,
故.
所以两组市民成绩的总平均数是62,
,
所以两组市民成绩的总平均数是62,总方差是37.
18．答案：(1)
(2)存在,AB的中点M
(3)
解析：(1)因为E为的中点,所以点E与点P到平面的距离之比为,
故.
(2)存在,取AB的中点,连接DM交AC于点G,连接EG,
则EG为面AEC与面PMD的交线.
易得,
在三角形中,,所以,所以平面EAC,
即存在点M,且当M为AB中点时,平面.
(3)过点P作,因为,
所以,面面,
因为面,所以,又,,
所以面,
又因为,所以面,,,
所以是面与面所成锐二面角的平面角,
因为是等腰直角三角形,所以.
19．答案：(1);可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小
(2)（i）从这一天抽检的结果看,需对当天的生产过程进行检查;（ii）证明见解析;（iii）均值;标准差
解析：(1)由题可得,
,
所以,
则,所以可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小
(2)（i）由题可得,,
因为第13个零件的尺寸为,,
所以从这一天抽检的结果看,需对当天的生产过程进行检查;
（ii）由于
,证毕.
（iii）剔除离群值后,剩下的数据平均值为,
所以剔除离群值后,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为,
剔除离群值后,,
所以剔除离群值后,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差.
衣服裤子类
鞋类
帽子围巾类
其他类
营业收入占比
净利润占比
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95