广西壮族自治区河池市都安瑶族自治县高级中学2023~2024学年高二下学期期末考试数学试卷[附解析]

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设一组样本数据的方差为，则数据的方差为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为数据的方差是数据的方差的倍，所以所求数据方差为，故选：C．
2．两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，则，解得，所以，故.故选：C.
3．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【解析】易知，因为，令，得，或，
则时，，时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增，故：A
4．甲乙两位游客慕名来到百色旅游，准备分别从凌云浩坤湖、大王岭原始森林、靖西鹅泉和乐业大石围天坑4个景点中随机选择其中一个，记事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑，则条件概率
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，事件：甲和乙选择的景点不同，则（A），
事件：甲和乙选择的景点不同且恰好一人选择乐业大石围天坑，则，
则条件概率．故选：．
5．正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图所示，在正四棱锥中，为的中心，
则底面，为边上的中线，，
所以即为侧棱与底面所成角的平面角，
设正四面体的棱长为，则，在中，，即正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是.故选：C.
6．设是由正数组成的等比数列，为其前项和.已知，，则等于 （ ）

7．在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A．B．C．D．
8．下列说法中正确的是
①设随机变量服从二项分布，则
②已知随机变量服从正态分布且，则
③2023年7月28日第31届成都大学生运动会在成都隆重开幕，将5名大运会志愿者分配到游泳、乒乓球、篮球和排球4个项目进行志愿者服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有180种；
④，．
A．②③B．②③④C．①②④D．①②
【解析】解：对于①，随机变量服从二项分布，，①正确；
对于②，随机变量服从正态分布且，则，
，②正确；
对于③，依题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，
将5名志愿者按分成4组，有种分法，将分得的4组安排到4个项目，有种方法，
所以不同的分配方案共有，③错误；
对于④，，，④正确；
所以说法正确的有①②④．故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，全部对得6分，部分选项对得部分分,答错不得分
9．已知直线l：，圆C：，则下列说法错误的是（ ）
A．若或，则直线l与圆C相切
B．若，则圆C关于直线l对称
C．若圆E：与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则
D．若，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则
【解析】即，圆心，对A，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，则，解得或，故A错误；若圆C关于直线l对称，则直线通过圆心，则有，解得，故B正确；对C，圆C与圆E的方程作差得，即，则，解得，经检验此时圆，满足，则，故C错误；对D，若圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则圆心到直线l的距离，即，即，且，解得，故D正确；故选：AC.
10．已知等比数列的前项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是
A．数列的通项公式
B．
C．数列的通项公式为
D．的取值范围是，
【解析】对A，由可得，∴等比数列的公比，∴.
由是与的等差中项，可得，
即，解得，∴，∴A不正确；
对B，，∴B正确；
对C，，∴C不正确；
对D，
，
∴数列是递增数列，得，∴，∴D正确. 故选：BD.
11．已知函数，，则（ ）
A．当时，函数的极小值点为1
B．当时，函数的递减区间为（，1）
C．若在区间（，1）上单调递增，则
D．若方程有三个实数解，则
【解析】当时，，则，
令，则或，令，则，
所以函数的单调增区间为，减区间为，
所以函数的极小值点为1，故AB正确；
方程有三个实数解，即函数的图象有三个交点，
又，
当时，且，当时，，
如图，作出函数的大致图象，
由图可知，，故D错误
对于C，，
若在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，即，即，
即在区间上恒成立，又因为，
所以，所以，故C错误.故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则 .
【解析】，故答案为：1
13．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该棱锥的体积为______.
【解析】【详解】取中点，连接，，如图，
∵是边长为2的等边三角形，，
∴，，又平面，，
∴平面，
又，，
故，即，
所以.故答案为：1
14．已知抛物线与圆交于，两点，且，直线过的焦点，且与交于，两点，则的最小值为 ．
【解析】解：由抛物线与圆交于，两点，且，
得到第一象限交点在抛物线上，所以，
解得，所以，则，
设直线，与联立得，
设，，，，所以，，
所以，由抛物线的定义，，
所以，
当且仅当，时等号成立．故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【解析】（1）当时，则；
当时，，
经检验满足上式，所以；
（2）依题意，，
则，
所以，
两式相减可得，，
即，
整理可得，
16．设函数.
（1）若曲线在点处与直线相切，求a，b的值；
（2）讨论函数的单调性.
【解析】 【小问1详解】 由题意知，，又
即 ，解得；
【小问2详解】
已知，令，知
当时，，此时函数在单调递增
当时，令或，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，令或，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
17．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
(1)求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
(2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
【解析】（1）由题意可知甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对；猜对，这两种情况不会同时发生.
设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，
由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得
.
（2）甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为，
则的所有可能取值为，
，；
所以；
甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为，
则的所有可能取值为，
，；
所以.
参考答案一：由于，
由于，所以应该按照“”的顺序猜歌名.
参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
其他合理答案均给分.
18．如图，直三棱柱的体积为1，，，．
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值．
【解析】（1）直三棱柱的体积为：，
则，四边形为正方形，
法一：在直棱柱中，面，，
又平面，则，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为，所以，
在正方形中，有，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以．
法二：直棱柱，平面，又，
以为原点，，，所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
，所以．
（2），，，，，
，，设平面的法向量：，
则，取，得，
，，设面的法向量，
则，取，得，
设二面角的大小为，则：
，
因为为锐角，所以二面角余弦值为．
19．已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1.
(1)求点的坐标.
(2)过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点.
（ⅰ）证明：点在定直线上；
（ⅱ）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设是椭圆上一点，则，
因为，
①若，解得（舍去），
②若，解得（舍去）或，
所以点的坐标位.
（2）（ⅰ）设直线，
由，得，所以，
所以，①
由，得或，
易知直线的方程为，②
直线的方程为，③
联立②③，消去，得，④
联立①④，消去，则，
解得，即点在直线上；
（ⅱ）由图可知，，即，所以点在以为直径的圆上，
设，则，所以，即.
故直线的方程为，
直线的方程与椭圆方程联立，得，解得,
所以，所以,故.
歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.5
0.5
获得的奖励基金金额/元
1000
2000
3000