广西河池市都安瑶族自治县高级中学2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试题

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单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，答对得满分，答错不得分）
1．复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．B．C．2D．
2．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为，抽出的女运动员平均身高为，估计该田径队运动员的平均身高是（ ）
A．B．C．D．
3．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表，若以上两组数据的方差中较小的一个为，则的值为（ ）
B．
C．1D．2
4．在一次随机试验中，事件A，B，C彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（ ）
A．A与C是互斥事件，也是对立事件 B．与B是互斥事件，也是对立事件
C．与B是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件
5．设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，且，则边上的高等于（ ）
A．B．C．1D．
8．如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
二.多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部答对得满分，部分答对得部分分，答错不得分）
9．若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值为-2 B．乙组样本数据的方差为36
C．两组样本数据的样本中位数一定相同 D．两组样本数据的样本极差不同
10．在平面直角坐标系中，已知点，，，则（ ）
A．
B．是直角三角形
C．以OA，OB为邻边的平行四边形的顶点的坐标为
D．与垂直的单位向量的坐标为或
11．已知三棱锥中，，分别是的中点，是棱上（除端点外）的动点，下列选项正确的是（ ）
A．直线与是异面直线；
B．当时，三棱锥体积为；
C．的最小值为；
D．三棱锥外接球的表面积.
三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，答对得满分，答错不得分）
12．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是______.
13．平行四边形中，，，，为中点，点在对角线上，且，若，则_______
14．在棱长为1的正方体中，过对角线的一个平面交，于点，交于点，得四边形，给出下列结论：
①四边形有可能为梯形；
②四边形有可能为菱形；
③四边形在底面内的投影一定是正方形；
④四边形有可能垂直于平面；
⑤四边形面积的最小值为.
其中正确的是_______________（请写出所有正确结论的序号）.
四.解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：
(1)应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；
(2)已知该地区有,两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租型车，高一级学生都租型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租型车的概率.
16．已知向量，．
(1)若，求．
(2)若向量，，求与夹角的余弦值．

17．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．
(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式．
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值．
（3）根据(2)中求得的数据a＝0.001 5，b＝0.002 0，计算用电量的75%分位数．
18．已知的三个内角的对边分别为.
(1)若，求证：；
(2)若，且的面积，求角.
19．如图所示正四棱锥S-ABCD，，，P为侧棱SD上的点，且，求：(1)正四棱锥S-ABCD的表面积；
(2)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
7
6
7
8
7
乙班
5
7
6
8
9
参考答案：
1-5BBBDD 6-8CAB 9．ABD 10．ABD 11．ACD
13．2次都中靶 14． 15．②③④⑤ 16．
8、由已知可推得，，，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果.
由已知，，，，所以.
由已知是的中点，所以，，.
所以，，所以，.
11．对A、是平面内直线BA外一点，是平面外一点，两点连线与是异面直线，故A正确；对B，将三棱锥放入长方体中，如图，因为，所以，所以，
设长方体的长、宽、高分别为，
则，即，解得，
显然三棱锥体积等于长方体体积减去长方体角上4个相同的三棱锥的体积，
，所以，故B错误；
对D，因为三棱锥外接球即为长方体的外接球，所以外接球半径，所以外接球的表面积，故D正确；
对C，将三棱锥侧面展开在一个平面上，连接，交于,
如图，由余弦定理，，
,
所以，,所以，在中，,
所以，即当P点运动到M点时，的最小值为，故C正确.
12．当点P在BD上时，因为，所以，故A正确；当点P在BD上时，，
所以，故B正确；
因为P在边长为2的正方形ABCD（含边）内，且，所以，则，故C错误；若P，Q在线段BD上，且，如图建立平面直角坐标系，设，则，，
∴
∴当时，有最小值为1，故D正确.
16．解：设该阳马的外接球与内切球的半径分别与，因为底面为长方形，且底面，所以两两垂直，故如图，补全四棱锥所在的长方体，则，即.
又，
，
所以.
所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为.
17．（1）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为，
高二学生的人数为:；
（2）记抽取的2名高一学生为，3名高二的学生为， 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：，(a2,b1), (a2,b2), (a2,b3), (b1,b2), (b1,b3), (b2,b3)，共10种可能；其中至少有1人在市场体验过程中租型车的有，共9种，故所求的概率
18．（1）因为，，所以，．由，可得，即4(m＋2)－6＝0，解得， 所以，故．
（2）依题意得因为，所以3(2m－2)＋2×9＝0，解得m＝－2，
则，，所以，
故与夹角的余弦值为．
19．
20．解:（1）证明：在图1中，连接，由已知得，∵，且，四边形为菱形，连接交于点，，在中，.∴．.在图2中，，∵，∴.由题意知，，且，∴平面，又平面，平面平面；
（2）如图，取AD的中点N，连接FN，和BD，设B到平面的距离为h，在直角梯形中，FN为中位线，则，，由（1）得平面，平面，∴，又，得平面，又平面，∴，且.在三棱锥中，，
即，∴.即点B到平面的距离为.
21．（1），，
（2）在中，，由余弦定理知：，
，
，而，，.
22．（1）正四棱锥S-ABCD中，，则侧面的高，
所以正四棱锥S-ABCD的表面积.
（2）在侧棱SC上存在一点E，使平面PAC，满足，
理由如下：取SD中点为Q，因为，则，过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，BE.在中有，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，由，则，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，而，故面面PAC，又面，则平面PAC，此时.