精品解析：甘肃嘉峪关市实验中学2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 已知直线经过点，则k的值为（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解决此题的关键．将点代入中，求解即可．
【详解】解：将点代入得，
，
，
故选：A．
2. 平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，则的长为（ ）
A. 5B. 12C. 13D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，过点A作轴于点B，由勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，过点A作轴于点B，
∵点A的坐标为，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
故选：C．
3. 如图，一旗杆在离地面处折断，旗杆顶部距底部，求旗杆原有多长（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据实际情况找出直角三角形是解题关键．
利用勾股定理求得的长，从而求得旗杆折断前的高度．
【详解】解：如图，根据题意，得：在中，，，，
在中，，
，
．
旗杆原有长．
故选：D．
4. 如图，在四边形中，，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键．
连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
故选：C．
5. 如图，在中，于点，于点．若，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握相关知识点是解题关键．
根据平行四边形的性质结合直角三角形的两个锐角互余求解即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
．
故选：B．
6. 任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC=20cm，BD=30cm，则四边形EFGH的周长是（ ）
A. 80cmB. 70cmC. 60cmD. 50cm
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于AC，或BD的一半，进而求四边形周长即可．
【详解】∵E，F，G，H，是四边形ABCD各边中点，
∴HGAC，EFAC，GF=HEBD．
又∵AC=20cm，BD=30cm，
∴四边形EFGH的周长是HG+EF+GF+HE（AC+AC+BD+BD）=AC+BD=50cm．
故选D．
【点睛】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条边与已知的两条对角线的关系．三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又提供了一个重要的依据．
7. 小明从地到地（两地相距40千米）的骑车速度为10千米/小时，则小明离地的距离（千米）与骑车时间（小时）之间的函数解析式（不写自变量的取值范围）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合路程=速度时间列方程即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
故选：C．
【点睛】本题考查利用函数的表示解实际问题，读懂题意，准确利用表达式表示函数关系是解决问题的关键．
8. 正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，然后在此范围内进行判断即可．
【详解】解：∵正比例函数图象经过第二、第四象限，
∴，
∴的值可以为：，
∴选项B符合题意．
故选：B．
9. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（ ）
A. 5B. C. 7D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】∵把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD=DC=5，
∵DE=2，
∴Rt△ADE中，
故选D．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
10. 如图，在矩形中，点从点出发，沿着折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，设的面积为，点的运动时间为，则在点的运动过程中，关于的函数图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查几何图形面积与函数图象的结合，理解几何图形面积的变化情况，掌握函数图象的增减性是解题的关键．
根据题意，分类讨论：当点位于边上时；当点位于边上时；当点位于上时；根据几何图形面积的变化情况确定函数图形的增减性即可求解．
【详解】解：由题意得，当点位于边上时，的面积随着点的运动匀速增加；
当点位于边上时，的高保持不变，
∴的值保持不变；
当点位于上时，的面积随着点的运动匀速减小，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 使二次根式有意义的的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考核知识点：二次根式的意义；解题关键点：理解二次根式的意义，注意被开方数必须大于或等于0．
二次根式有意义的条件为，由此计算即可．
【详解】解：二次根式有意义，则，即．
故答案为：．
12. 已知函数是正比例函数，那么的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．根据正比例函数的定义，可得，且，由此即可求出的值．
【详解】解：函数是正比例函数，
，且，
解得：，
故答案为：．
13. 已知中，是斜边上的中线，若，则__________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BD．
【详解】解：∵BD是斜边AC上的中线，
∴AC=2BD=2×3=6cm，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
14. 点在函数的图象上，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，把点代入一次函数，求出的值即可．
【详解】解：把点代入一次函数，得．
故答案为：．
15. 如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____.
【答案】9
【解析】
【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解．
【详解】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为，所以阴影部分的面积9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了矩形是中心对称图形的性质．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
16. 如图，菱形的边长为2，，且为的中点，是对角线上的一动点，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，交于点，连接，的最小值，求出，进而即可求解．
【详解】解：连接，交于点，连接，
∵在菱形中，点A、C关于对称，
∴的最小值，
∵菱形的边长为2，
∴
∵，
∴是等边三角形，
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∴
即的最小值．
故答案为：
【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称—最短路线，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
三、解答题
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先逐项化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先算乘除，再合并同类二次根式即可；
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
18. 已知一次函数的图象经过点．
（1）分别求的值；
（2）在所给平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
（3）若，则的取值范围是______（直接写结果）．
【答案】（1）
（2）图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，正确的求出函数解析式，画出函数图象，是解题的关键：
（1）待定系数法进行求解即可；
（2）秒点，连线画出函数图象即可；
（3）求出时的的值，利用图象法确定取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象经过点，
∴，解得：；
小问2详解】
如图，直线即为所求；
【小问3详解】
由（1）知：，
∴当时，，解得：；
当时，，解得：，
由图象可知：当，；
故答案为：．
19. 如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，四边形的顶点均在格点上．
（1）通过计算判断的形状；
（2）求点到的距离．
【答案】（1）等腰三角形
（2）
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出、的长，即可得的形状；
（2）利用勾股定理求出、、的长，进而可得是直角三角形，通过两种方式表示的面积即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得，，，，
，
是等腰三角形；
【小问2详解】
由题意得，，，，
，
，
是直角三角形，
设点到的距离为，
，
，
则点到的距离为．
20. 如图，一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米．
（1）此时梯子顶端A离地面多少米？
（2）若梯子顶端A下滑米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）直接利用勾股定理求出长即可得到答案；
（2）在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得，在中，米，米，，
∴米，
∴梯子顶端A离地面米；
【小问2详解】
解：在中，米，米，，
∴米，
∴米，
∴梯子底端B将向左滑动米到D．
21. 为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我校校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识解决下列问题：
（1）求证：；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
（1）先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答；
（2）根据四边形的面积的面积的面积进行计算，即可解答．
【小问1详解】
证明：∵，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
【小问2详解】
解：四边形的面积的面积的面积
．
22. 如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】根据中位线定理得，，结合已知证明是等腰三角形，从而可得答案．
【详解】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点，
∴，分别是与的中位线，
∴，，
∵，
∴，
故等腰三角形，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
23. 若与成正比例，且当时，．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若点在该函数的图象上，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求函数解析式，求自变量的值：
（1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可；
（2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可．
【小问1详解】
解：设，
把时，代入得：，
解得，
，即；
小问2详解】
解：把代入得，
解得．
24. 如图，四边形中，、相交于点，是的中点，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，则的面积是______．
【答案】（1）见解析 （2）24
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）首先结合平行线的性质证明，再利用“”证明，易得，然后根据“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证明结论即可；
（2）首先证明四边形是菱形，然后根据菱形面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，，，，
∴四边形是菱形，
∴的面积．
故答案为：24．
25. 在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B（0，4）两点，且点C(2，2）在直线l上．
（1）求直线l的解析式；
（2）求△AOB的面积；
【答案】（1）直线l的表达式为y=－x＋4；（2）△AOB的面积是8.
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法设一次函数的解析式，再将B、C坐标代入即可；
(2)先利用一次函数的解析式求出A点坐标，再计算面积即可.
【详解】解：（1）设直线l的解析式为：y＝kx＋b
B、C在直线l上，将B、C两点坐标代入得
解得
则直线l解析式为：y＝-x＋4.
（2）当y=0时，解得x=4
∴A点坐标为（4，0）
∴OA=4，
∵B点坐标为（0，4）
∴OB=4，
∴S△AOB=
【点睛】此题考查的是待定系数法求一次函数的解析式和坐标求面积.
26. 如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．

（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）△BEF是等边三角形．理由见解析
【解析】
【分析】（1）先判定△ABD与△BCD都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BDE=∠C=60°，再求出DE=CF，然后利用“边边角”证明两三角形全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE=CF，全等三角形对应角相等可得∠DBE=∠CBF，然后求出∠EBF=60°，再根据等边三角形的判定得解，利用旋转变换解答．
【详解】（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，
∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2，
∴△ABD与△BCD都是等边三角形，
∴∠BDE＝∠C＝60°，
∵AE+CF＝2，
∴CF＝2﹣AE，
又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE，
∴DE＝CF，
在△BDE和△BCF中，
，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
（2）解：△BEF是等边三角形．理由如下：
由（1）可知△BDE≌△BCF，
∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，
∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF．
故答案为（1）见解析；（2）△BEF是等边三角形．理由见解析．
【点睛】本题考查菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是了解菱形的性质．
27. 如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为．
（1）求点G的坐标，并求直线的解析式；
（2）若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围．
（3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）G的坐标为，直线的解析式为；（2）；（3）P的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）由图形折叠的不变性可得OG的长度，从而可求NG的长度，可得G的坐标；利用待定系数法代入G的坐标，可得直线的解析式；
（2）结合图形，分别求出直线过点M、A时n的值，可得n的取值范围；
（3）依据等腰三角形性质的定义，将两腰相等的情况分为三类，分别求解即可．
【详解】解：（1）由折叠的性质可知，，
由勾股定理得，，
∴点G的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，得，
∴直线的解析式为；
（2）∵直线平行于直线，
，即直线的解析式为，
当直线经过点时，，
解得，，
当直线经过点时，，
解得，，
∴直线与长方形有公共点时，，
（3）①当时，
若点P在原点左侧，点P的坐标为，
若点P在原点右侧，点P的坐标为，
②当时，
，
，
，
∴点P的坐标为，
③当时，
可得，
在中，，即，
解得，，点P的坐标为，
综上所述，以为顶点的三角形为等腰三角形时，
点P的坐标为或或或．
【点睛】本题利用图形折叠的不变性，考查了一次函数解析式的求法及一次函数图像的平移，同时考查了等要三角形的定义及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握考查内容并利用数形结合的思想求解．