黑龙江省哈九中2024级（2027届）高一下学期6月月考 数学试题（含答案）

这是一份黑龙江省哈九中2024级（2027届）高一下学期6月月考 数学试题（含答案），文件包含数学试卷黑龙江名校黑吉辽蒙卷高一黑龙江省哈九中2024级2027届高一下学期6月月考618-619docx、数学试卷答案黑龙江名校黑吉辽蒙卷高一黑龙江省哈九中2024级2027届高一下学期6月月考618-619docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
12.6 13.120 14.28π
15. (1) · ·BD⊥AC,BD⊥A4BD⊥ 平面ACC₁A₁, 平面BDE⊥ 平面ACC₁A
( 2 ) 由 ( 1 ) 知 ，OE//AD₁,
所以∠DEO为异面直线AD₁与DE 所成角或其补角，
正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，AD=3,
由勾股定理得 DB=√AD²+DB²=3√2,AD₁=√AD²+D₁D²=5, CD₁=√CD²+D₁D²=5
在△DEO中，
由余弦定理，得
故异面直线AD₁ 与 DE 所成角的余弦值
(3)因为正方形ABCD, 所 以CO⊥BD, 又在正四棱柱 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，DD₁⊥平面 ABCD,
因为COc 平面ABCD, 所以DD₁⊥CO,
因为 DD₁ ∩BD=D,DD,BDc 平面 D₁DB, 所以 CO1 平面 D₁DB,
16 . (1)由a csC+ √3a sin C-b-c=0
得sin AcsC+ √3 sin Asin C-sin B-sinC=0 其中sin B=sin(A+C)=sin AcsC+cs Asin C
化简得 √3sin AsinC-cs AsinC-sin C=0
又sinC≠0 得 √3sin A-cs A=1.
因为A 是三角形的内角，所以
( 2 ) 由 得bc=8,
由余弦定,得 b²+c²-8=bc,
得(b+c)²=3bc+8=32, 得 b+c=4√2,
所以△ABC 的周长为a+b+c=2 √2+4 √2=6 √2.
(3) )所以 由余弦定理得a²+b²-bc=4
)∵b²+c²≥2bc ∴bc≤4当b=c 是取等号，∴AD≤√3 此时三角形ABC 为等边三角形
17. (1)因为PA⊥ 底面ABCD,ABc 底面ABCD, 所以PA⊥AB, 又因为AD⊥AB,ADOAP=A,AD,APc 平面PAD,
所以AB⊥平面PAD, 即AB为平面PAD 的一个法向量，
如图以点A 为原点， AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴，V 轴，z 轴，建立空间直角坐标
系，
可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,3),
由E 为棱PC 的 中 点 ，
向量 AB=(1,0,0), 故 BE·AB=0,BE ⊥AB, 又BE4 平面 PAD, 所以 BE// 平面 PAD;
(2)因为BD=(-1,2,0), 设平面BDE 的法向量为n=(x,y,z),
则 令y=3 得x=6,z=-2, 取n=(6,3,-2),
又AC=(2,2,0), 则
所以直线AC 与平面BDE 所成角的正弦值为
(3)又平面PAD 的法向量m=AB=(1,0,0),
所以平面PAD 与平面BDE 所成角的正弦值为
18. (1)证明：因为 AD//BC, 且M 为 AD 的中点，所以 MD//BC,
又因为 ,所以MD=BC, 所以四边形BCDM 为平行四边形， 所以 BM//CD.
又因为CDc 平面CDE,BM 女平面CDE, 所以BM //平面CDE.
同 理 ，MD//EF, 且 ,所以四边形MDEF 为平行四边形，则DE//MF.
又DEc 平面CDE,MF 女平面CDE, 所以MF// 平面CDE.
又BM,MFc 平面BMF, 且BM∩MF=M, 所以平面BMF// 平面CDE.
(2)(i) 取MD的中点G, 连接EG,CG, 过点M 作MP⊥AD 交EF 于点P, 取 BC 的 中 点N, 连接MN.
因为四边形ABCD与四边形ADEF 均为等腰梯形，且AD=4,EF=BC=AB=2,ED=√ 10, 所以 EG⊥AD,CG⊥AD,MNIAD,EG=3,CG= √3.
在△GCE 中 ，EC=2 √3, 所以CG²+GE²=CE², 所 以CG⊥GE.
所以二面角E-AD-C 为直二面角，所以平面ADEF1 平面ABCD.
又平面ADEF∩ 平面ABCD=AD,MPc 平面ADEF, 所以 MP⊥ 平面 ABCD.
因为 MNc 平面 ABCD, 所以 MP⊥MN, 所 以 MP,MN,AD 两两垂直故以 M 为坐标原点，
MN,MD,MP 所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则M(0,0,0),A(0,-2,0),B(√3,-1,0),E(0,1,3),F(0,-1,3), 所以AB=(√3,1,0),AE=(0,3,3),AF=(0,1,3).
因为点Q 是线段AE 上的动点，所以设AQ=λAE=(0,32,32)(0≤λ≤1), 所以 MQ=MA+AQ=(0,-2,0)+(0,32,3λ)=(0,3λ-2,32).
假设存在点Q 使得MQ 与AF 垂直，则MQ⊥AF,
所以MQ ·AF=0×0+1×(3λ-2)+3×3λ=0, 即6λ - 1=0,解得 故当MQ⊥AF 时，点Q 为线段AE 上靠近点A 的六等分点.
(ii) 设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),
则
令x= √3, 则 y=-3,z=3,
所以平面ABE的一个法向量为n=(√3,-3,3). 由 (i) 知 ，MQ=(0,3λ-2,32)(0≤λ≤1).
设直线MQ 与平面ABE 所成角为θ,
则
易知当 时，直线MQ 与平面ABE所成角的正弦值取得最大值，最大值为
19. (1)正六棱台的上表面面积 ,下表面面积
正六棱台的体积为
(2)根据图4,该几何体在距底面距离h 处的横截面积为r²-h², 阴影部分面积为h²。底
面边长和高为r 的正四棱锥在距底面距离h 处的横截面积与阴影部分相等。
根据祖暄原理，它的体积和某个四棱锥的体积相加等于棱长为r 的正方体的体积
(3)两个球的公共部分为两个底面半径为 的球冠
R
每个球冠的体积等同于一个底面半径为R, 高 的圆柱中间挖去一个上下底面半径分
别为R 和 R, 高为R 的的圆台的组合体体积，
即