江苏无锡普通高中2024~2025学年高二下册期末调研考试数学试题[含解析]

这是一份江苏无锡普通高中2024~2025学年高二下册期末调研考试数学试题[含解析]，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值不等式进行化简，利用集合的交集计算得出结果；
【详解】集合，
由于等价于，即，故集合.
所以.
故选：D.
2. “两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等反之不成立即可判断出结论．
【详解】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等反之不成立．
“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】本题考查了两个三角形全等与两个三角形面积相等之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3. 平面内有A，B，C，D共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（ ）
A. 4B. 6C. 12D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】简单的组合数问题，列举或运用组合数均可.
【详解】线段为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6条.
故选：B.
4. 一个小球做简谐运动，其运动方程为，其中（单位：m）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：s）为运动时间，则小球在时的瞬时速度为（单位：）（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的物理意义，即可求解瞬时速度.
详解】，当时，，
所以小球在时的瞬时速度为.
故选：A
5. 已知随机变量，且，，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
【答案】A
【解析】
【分析】利用正态密度曲线的对称性，即可求解.
【详解】由正态密度曲线的对称性可知，，，
所以.
故选：A
6. 设随机变量的概率分布列如下，且，则的方差（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据已知条件求出，然后求出，再根据方差公式可求得结果.
【详解】由题意得，解得，
所以，
所以.
故选：C
7. 函数在区间上存在最大值与最小值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求函数导数，并由最值确定函数在区间的单调性，再利用数形结合确定实数的取值范围.
【详解】，得或，
因为区间的端点是开区间，所以函数在区间上存在最大值和最小值，
只能是极值点处取得最大值和最小值，
的变化情况如下表，
当，得或，
当，得，或，
则，得.
故选：B
8. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用全概率公式结合条件可得，然后利用和事件的概率公式和条件概率公式结合条件逐项分析即得.
【详解】因为，，，
所以，，
又，
即，解得，故A错误；
因为，所以，故B错误；
，故C错误；
因为，所以，
所以，故D正确.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据特殊值法，以及作差法，不等式的性质，判断选项.
【详解】A.若，此时，故A错误；
B.若，则，则，故B正确；
C. ，，所以，
即，故C错误；
D. 若，则，则，故D正确；
故选：BD
10. 已知，，，则下列结论成立的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】考查二项式定理展开式，只需结合选项特征，合理采用赋值法即可.
【详解】对于A，由已知有，所以，即，A错误；
对于B，令，得，令，得.
两式相加并除以2，可得，B正确；
对于C，令即得，C正确；
对于D，在原式两边同时求导得，再令，可知，D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小值为
B. 若方程有2个不同的解，则
C. 不等式对成立
D. 当时，若不等式恒成立，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，只需求导研究函数性质即可；对B，数形结合作出函数图象即可；对C，构造函数证其最小值非负即可；对D，整体换元，参变分离解决恒成立问题.
【详解】对A，，所以，，，，
所以在单调递减，在上单调递增，
所以最小值为，A正确；
对B，根据A中的单调性分析，结合翻折变换，又，可绘制图象如下，由图可知若有两个不同的解，则，B错误；
对C，令，所以，
令，，
易知，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又时，，，
所以，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，C正确；
对D，即恒成立，令，，即恒成立，
，所以，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，又，所以，D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：
(1)方程的根的个数问题，可转化为对应图象交点个数问题；
(2)恒成立问题，可转化为最值问题，注意参变分离技巧的使用
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】对函数求导，代入得，根据点斜式写出切线方程；
【详解】函数，
，
则曲线在点处的切线方程，
即.
故答案为：.
13. 某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______.（用数字作答）
【答案】30
【解析】
【分析】排列组合中的分配问题，可以按照人数分配分类讨论解决.
【详解】情形一，分组人数为1，1，3.
此时，甲乙在3人组，再添一人共种方法，所以此时方法数为.
情形二，分组人数为1，2，2.
此时，甲乙两人为单独一组，丙丁各在一组，戊与丙一组，或戊与丁一组，所以此时方法数为.所以，共30种方法.
故答案为：30.
14. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次散子，最终得分为X，则随机变量X的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n分的概率为，则当取最大值时n的值为______.
【答案】 ①. ## ②. 82或84
【解析】
【分析】（1）根据的取值求出相应的概率即可；
（2）记得1分的次数为，得3分的次数为，则总分为，进而由利用独立重复实验的概率可得，当取最大值时，要满足，从而利用组合数的性质即可求解.
【详解】得1分的概率为，得3分的概率为，
的可能取值为，，，
，
则随机变量的期望是；
记得1分的次数为，则得3分的次数为，
因此抛掷50次骰子，所得总分为，
次数得n分的概率为，若取最大，则，
，可得，
因为，所以，或，
当时，，
当时，，
故答案为：①；②或.
【点睛】关键点睛：解题的关键点是需要熟练应用独立重复事件的性质、在二项式中求系数最大（小）的项的方法.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若“，都有成立”为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据求出集合，然后求出集合,最后求出；
（2）先把题目条件转化成，然后根据和分类讨论.
【小问1详解】
当时，.
又，
，
.
【小问2详解】
由“，”为真命题，即.
当时，，即，符合题意；
当时，或，即或.
综上所述，实数的取值范围是.
16. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和为64，前3项的系数之和为49.
（1）求实数和的值；
（2）求的展开式中的系数.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二项式系数之和的性质求出，再由展开式的前3项系数之和求出；
（2）利用的展开式的通项公式可得答案
【小问1详解】
所有项的二项式系数之和为64，，.
又前3项系数之和为49，，
解得或，又，.
综上，，；
【小问2详解】
的展开式中第项为，
令，可得，不合题意，所以中不含的项，
令，可得，所以，
令，可得，所以，
的展开式中的系数为.
17. 水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示：
（1）根据题目信息，与哪一个更适合作为销售额y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果，求出销售额y关于时间x的回归方程.（注：数据保留整数）；
（3）为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，X表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量X的分布列和数学期望.
参考公式与数据：，，，，，
样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.
【答案】（1）
（2）
（3）列联表见解析，数学期望为2
【解析】
【分析】（1）根据表中的数据可得关于时间的回归方程类型；
（2）求出，，，可得关于时间的回归方程；
（3）求出的所有可能取值及相应的概率可得答案.
【小问1详解】
根据表中的数据，可得关于时间的变化不是直线型，所以
更适合作为销售额关于时间的回归方程类型；
小问2详解】
，，
，
，
所以，销售额关于时间的回归方程为；
【小问3详解】
的所有可能取值为1，2，3，则，
，.所以，的分布列为
，即的数学期望为2.
18. 为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”.
（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因；
（2）从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；
（3）为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行和两个武术项目的训练考核，、项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，项若为优秀得2分，概率为，项若为优秀得3分，概率为，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为，求为何值时，取得最大值.
附：，其中.
【答案】（1）同学的优秀情况与训练有关，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将列联表完善，计算出卡方，与比较后得到结论；
（2）设出事件，结合组合知识，利用条件概率求出答案；
（3）计算出甲同学一天得分不低于3分的概率，从而得到，，求导后得到单调性，从而确定当时，取得最大值.
【小问1详解】
零假设：假设武术社团同学的武术优秀情况与训练无关.列联表为
.
故根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即同学的优秀情况与训练有关.
【小问2详解】
设“所选4人中恰有3人训练后为优秀”为事件，“所选4人中恰有1人训练前也为优秀”为事件，
事件为所选4人中，有1人训练前优秀，有2人为训练前非优秀，训练后变为优秀，
有1人训练前非优秀，训练后也非优秀，
从（1）中可知，有6人训练前非优秀，训练后变为优秀，有2人训练前非优秀，训练后也非优秀，
则，，
所以.
【小问3详解】
设“甲同学一天得分不低于3分”为事件，有，
则恰有3天每天得分不低于3分的概率
，，
，
当时，，时，，
故在上单调递增，在单调递减.
所以当时，取得最大值.
19. 已知函数，.
（1）证明：当时，；
（2）已知，且在区间上单调递增，求的最小值；
（3）若恰有一个零点，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数求函数最大值，转化为证明函数的最大值小于等于；
（2）首先求函数的解析式，由题意转化为在区间上恒成立，利用参变分离，转化为求解最值问题；
（3）首先求函数的导数，分，和三种情况讨论函数的单调性，以及最值，分析函数的零点个数.
【小问1详解】
证明：当时，，，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
，即.
【小问2详解】
，，
，
由题意知在上单调递增，在上恒成立，
即在上恒成立，，.
下面研究函数，的最大值.令，，，
，
，，，
的最大值为，即，的最大值为，
时，取到最大值.，即的最小值为.
【小问3详解】
，.
①当时，.令得；令得，
在单调递增，上单调递减，
，此时无零点，不符合题意.
②当时，.
令得或；令得，
在和上单调递增，在上单调递减，
又，
当时，，在上无零点.
由（1）知，当时，，即恒成立.
用替换得，即，
，，，
当时，，，
，
存在，使得，又因为，
所以存在，使得，又因为在 上单调递增，
且在无零点，所以是的唯一零点.
③当时，，在上单调递增，
又，有唯一零点，符合题意.
综上，.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是当时，讨论在有1个零点，用到了放缩法，以及零点存在性定理.
0
1
单调递减
单调递增
单调递减
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
时间代码x
1
2
3
4
5
6
销售额y
（单位：万元）
2.0
4.0
5.2
6.1
6.8
7.4
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
训练前
4
7
5
9
5
2
8.5
6
7
5
训练后
8.5
9.5
7.5
9.5
8.5
6
9.5
8.5
9
9
优秀人数
非优秀人数
合计
训练前
训练后
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
优秀人数
非优秀人数
合计
训练前
2
8
10
训练后
8
2
10
合计
10
10
20