江苏南京东山高级中学南站校区2024~2025学年高一下册期末考试数学试题[学生卷]

这是一份江苏南京东山高级中学南站校区2024~2025学年高一下册期末考试数学试题[学生卷]，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，共40分．
1. 设为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，已知，，，则角的度数为（ ）
A. B. C. 或D.
4. 已知，，若在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A. 60°B. 120°C. 135°D. 150°
5. 设样本数据的均值和方差分别为1和2，若，则的方差为（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 8
6. 已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（ ）

A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分．（双选题选对一个得3分，三选题选对一个得2分；选错得0分）
9. 已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
10. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌.为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛.为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了50名参赛市民的成绩作为样本进行统计（满分:100分），得到如下的频率分布直方图，则（ ）
注:同一组中的数据用该组区间中点值代表.
A. 图中的值为0.004
B. 估计样本中竞赛成绩的众数为70
C. 估计样本中竞赛的平均成绩不超过80分
D. 估计样本中竞赛成绩的第75百分位数为76.75
11. 已知正三棱台，，，下列说法正确的是（ ）

A. 正三棱台体积为
B. 侧棱与底面所成角余弦值为
C. 点A到面的距离为2
D. 三棱台的外接球的表面积为
三、填空题：本大题共3小题，共15分．
12. 已知向量，的夹角为，，，则______.
13. 在中，内角，，所对的边，，满足，则_______，三角形为锐角三角形，则的取值范围是_______.
14. 如图，在长方体中，，，为中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为______.

四、解答题：（本大题共5小题，共77分．）
15. 已知csα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：
（Ⅰ）cs（2α﹣β）的值；
（Ⅱ）β值．
16. 如图，AB是圆O直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且，点D是PA的中点，点F为PC的中点.

（1）求异面直线和所成角的大小；
（2）求二面角的大小.
17. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，其中为的面积.
（1）求角的大小；
（2）设是边的中点，若，求的长.
18. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2.
（1）求四棱锥的体积；
（2）证明：
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
19. 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，则当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立.
（1）请你写出柯西不等式的二元形式；
（2）设P是棱长为正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；
（3）已知无穷正数数列满足：①存在，使得；②对任意正整数，均有.求证：对任意，，恒有.