福建厦门2024~2025学年高一下册期末质量检测数学试题[含解析]

这是一份福建厦门2024~2025学年高一下册期末质量检测数学试题[含解析]，共23页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，的内角，，的对边分别是，，，如图，复数的共轭复数为，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，是两个不共线的向量，且，，若，，三点共线，则实数（ ）
A．B．C．1D．4
3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 533 224 344 151 254 424 142
435 414 335 132 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为（ ）
A．0.4B．0.45C．0.55D．0.6
4．厦门地铁1号线从镇海路站到文灶站有4个站点．甲、乙同时从镇海路站上车，假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的，则甲乙在不同站点下车的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．B．1C．2D．4
6．为庆祝建党100周年，某校组织“心中歌儿献给党”歌咏比赛，已知5位评委按百分制分别给出某参赛班级的评分．可以判断出一定有出现100分的是（ ）
A．平均数为97，中位数为95B．平均数为98，众数为98
C．中位数为95，众数为98D．中位数为96，极差为8
7．的内角，，的对边分别是，，．已知，，边上的中线长度为，则（ ）
A．B．C．2D．
8．如图（1）平行六面体容器盛有高度为的水，，．固定容器底而一边于地而上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过，，，四点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．某学生为了解甲、乙两城市的气温情况，收集并整理了两城市2020年月平均气温的相关数据，得到折线图（如图），则（ ）
A．甲城市有3个月的月平均气温低于0℃
B．甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值大
C．甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低
D．甲城市月平均气温的方差比乙城市月平均气温的方差小
10．复数的共轭复数为，则（ ）
A．与在复平面内对应的点关于实轴对称
B．在复平面内对应的点在虚轴上
C．若，则在复平面内对应的点在实轴上
D．若，则在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，半径为1的圆
11．如图是长方体的平面展开图，，，，则在该长方体中（ ）
A．，，，四点共面
B．直线与直线平行
C．直线与平面的距离为3
D．三棱锥外接球的表面积为
12．已知向量，在向量上的投影向量为，则（ ）
A．
B．与方向相同的单位向量为或
C．的最小值为0
D．的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知是关于的方程的一个根，则实数______．
14．为了解学生一学期参与志愿者活动的情况，学校随机调查了10名学生，统计其参加活动的时长（单位：小时），得到以下数据：8，9，11，11，12，13，14，16，17，22，则该组数据的75%分位数为______．
15．若平面上的三个力，，，作用于同一点，且处于平衡状态．已知，，且与的夹角为，则与的夹角为______．
16．厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼由裙楼相连，外观形似风帆，并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素．小明计划测量双子塔A塔的高度，他在家测得塔尖的仰角为26.3°，再到正上方距家42米的天台上，测得塔尖仰角为22.3°，塔底俯角为10.8°．则塔的高度约为 米．（精确到个位）
参考数据：sin4°≈0.07，sin33.1°≈0.55，sin63.7°≈0.90，sin79.2°≈0.98．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
如图，在平行四边形中，点在上，且，点是的中点．
（1）设，，用，表示，；
（2）已知，求证：．
18．（12分）
如图，在长方体木料ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2AA1＝2，E为棱A1B1的中点，要过点E和棱BC将木料锯开．
（1）在木料表面画出符合要求的线，写出作图过程并说明理由；
（2）写出切割后体积较大的几何体的名称，并求出它的体积．
19．（12分）
甲、乙两人进行投篮比赛，约定赛制如下：
选定投篮位置，并在同一位置连续投篮三次，站在3分线外每次投中得3分，站在3分线内每次投中得2分，总得分高者胜出．
假设乙同学在3分线内投篮，每次投中概率为0.7，在3分线外投篮，每次投中概率为0.4．用Y表示乙投中，N表示乙未投中，假设每次能否投中是独立的．
（1）观察乙的投篮情况，根据树状图填写样本点，并写出样本空间；
（2）已知甲三次总得分为4分，若乙想赢得比赛，你建议他位置选在3分线内还是3分线外，为什么？
20．（12分）
某校有高中生2000人，其中男女生比例约为5：4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：
方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．
方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．
（1）根据图表信息，求n，q并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）
（2）计算方案二中总样本的均值及方差；
（3）计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？
21．（12分）
如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，四边形ABCD是正方形．
（1）直线AC与平面PBD是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；
（2）若二面角P﹣CD﹣B的平面角为60°，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
22．（12分）
在①；②；
③中选个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题．
问题：设钝角的内角，，的对边分别为，，．为的面积，______．
（1）求；
（2）若点为的外心，的面积为，求与的面积之和的最大值．
参考答案
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知（1+i）z＝2i，则复数z＝（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
解：（1+i）z＝2i，
可得z＝＝＝1+i．
故选：A．
2．已知，是两个不共线的向量，且，，若A，B，C三点共线，则实数λ＝（ ）
A．﹣4B．﹣1C．1D．4
解：∵，是两个不共线的向量，且，，
A，B，C三点共线，
∴，即＝﹣2t，
∴，解得实数λ＝﹣4．
故选：A．
3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 533 224 344 151 254 424 142
435 414 335 132 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为（ ）
A．0.4B．0.45C．0.55D．0.6
解：在20组随机数中，三位数字中有数字1的即可，
故共有9个随机数中含有数字1，
所以一年内至少有1台设备需要维修的概率为．
故选：B．
4．厦门地铁1号线从镇海路站到文灶站有4个站点．甲、乙同时从镇海路站上车，假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的，则甲乙在不同站点下车的概率为（ ）
A．B．C．D．
解：令事件A为甲乙在相同站点下车，则P（A）＝×+×+×＝，
所以P（）＝1﹣P（A）＝1﹣＝．
故选：C．
5．已知圆锥的侧面展开图是一个面积为2π的半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．B．1C．2D．4
解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
根据侧面展开图是面积为2π的半圆，
所以，
解得l＝2，r＝1，
所以圆锥的底面半径为1．
故选：B．
6．为庆祝建党100周年，某校组织“心中歌儿献给党”歌咏比赛，已知5位评委按百分制分别给出某参赛班级的评分．可以判断出一定有出现100分的是（ ）
A．平均数为97，中位数为95
B．平均数为98，众数为98
C．中位数为95，众数为98
D．中位数为96，极差为8
解：对于A，平均数为97，中位数为95，假设前两个数最大取95可推出后两个数都是100，∴选A；
对于BCD中的数据都不能判断最高分是多少，∴不选BCD．
故选：A．
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知csB＝，c＝2a，AC边上的中线长度为m，则＝（ ）
A．B．C．1D．
解：因为csB＝，c＝2a，AC边上的中线长度为m，
所以在△ABC中，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，可得b2＝a2+4a2﹣2a•2a•＝2a2，可得b＝a，
又因为cs∠ADB＝﹣cs∠BDC，
所以由余弦定理可得＝﹣，整理可得m＝a，
所以＝＝1．
故选：C．
8．如图（1）平行六面体容器ABCD﹣A1B1C1D1盛有高度为h的水，AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°．固定容器底面一边BC于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过A，B1，C1，D四点，则h的值为（ ）
A．B．C．D．
解：作A1E⊥AD于点E，A1F⊥AB于点F，
因为∠A1AD＝∠A1AB＝60°，
则A1E＝A1F＝AA1•sin60°＝2×，
AE＝AF＝AA1•cs60°＝2×，
又∠EAF＝∠BAD＝60°，所以△AEF为正三角形，
则EF＝AE＝1，
取EF的中点G，连接AG，A1G，
则AG⊥EF，A1G⊥EF，EG＝FG＝＝，
又AG∩A1G＝G，
所以EF⊥平面AA1G，
则AG＝，
A1G＝，
由余弦定理可得，＝，
则＝，
作A1H⊥AG于H，
因为EF⊥平面AA1G，A1H⊂平面AA1G，
所以RF⊥A1H，又AG∩EF＝G，则A1H⊥平面ABCD，
所以点A1到平面ABCD的距离为d＝A1H＝AA1•sin∠A1AG＝，
故平面A1B1C1D1到平面ABCD的距离为d＝，
由题意可知，所盛水的体积为平行六面体容器ABCD﹣A1B1C1D1的一半，
所以h＝．
故选：B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．某学生为了解甲、乙两城市的气温情况，收集并整理了两城市2020年月平均气温的相关数据，得到折线图（如图），则（ ）
A．甲城市有3个月的月平均气温低于0℃
B．甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值大
C．甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低
D．甲城市月平均气温的方差比乙城市月平均气温的方差小
解：由折线图可得，甲城市在1月，2月，12月的月平均气温低于0℃，故A选项正确，
甲，乙城市都在7月取得月平均气温的最大值，甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值小，故B选项错误，
由折线图可知，乙城市的月平均折线图均在甲城市的月平均折线图的上方，甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低，故C选项正确，
由折线图可知，甲城市月平均气温比乙城市月平均气温波动大，甲城市月平均气温的方差比乙城市月平均气温的方差大，故D选项错误．
故选：AC．
10．复数z的共轭复数为，则（ ）
A．z与在复平面内对应的点关于实轴对称
B．z在复平面内对应的点在虚轴上
C．若|z﹣1|＝|z+1|，则在复平面内对应的点在实轴上
D．若||＝1，则z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，半径为1的圆
解：对于A，由共轭复数的定义可知，z与在复平面内对应的点关于实轴对称，故选项A正确；
对于B，设z＝a+bi，则z＝a2+b2为实数，故选项B错误；
对于C，|z﹣1|＝|z+1|表示点Z对应的点到A（1，0），B（﹣1，0）的距离相等，
则点Z在过线段AB中点的直线上，
所以在复平面内对应的点也在过线段AB中点的直线上，故选项C错误；
对于D，由复数模的几何意义可知，若||＝1，
则z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，半径为1的圆，故选项D正确．
故选：AD．
11．如图是长方体的平面展开图，AB＝3，BE＝2，BC＝4，则在该长方体中（ ）
A．B，C，F，G四点共面
B．直线AE与直线GC平行
C．直线BH与平面ACG的距离为3
D．三棱锥B﹣DFH外接球的表面积为29π
解：由长方体的平面展开图，还原长方体FEBA﹣GHCD，则FG∥BC，
所以B，C，F，G四点共面，故选项A正确；
由图可知，直线AE与直线CG为异面直线，不平行，故选项B错误；
因为BH∥平面AGH，
所以点B到平面AGH的距离即为直线BH到平面AGH的距离d，
由等体积法VH﹣ACG＝VA﹣CGH，
则，
因为在△CGH中，CG＝，AC＝5，AG＝，
所以，
又，
所以＝，故选项C错误；
因为三棱锥B﹣DFH的外接球即为长方体的外接球，
所以2R＝，
则三棱锥B﹣DFH的外接球的表面积为29π，故选项D正确．
故选：AD．
12．已知向量，在向量上的投影向量为，则（ ）
A．
B．与方向相同的单位向量为或
C．的最小值为0
D．的最小值为
解：由已知可得，所以设，
选项A：因为，
，
所以，故A正确，
选项B：因为|＝，所以与方向相同的单位向量为或，故B正确，
选项C：因为，
所以
＝20λ2﹣20λ＝20（）2﹣5，
所以当时，的最小值为﹣5，故C错误，
选项D：因为||2＝（4﹣2λ）2+（3﹣4λ）2＝20（λ﹣1）2+5，
所以当λ＝1时，||的最小值为，故D正确，
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知1+i是关于x的一元二次方程x2+px+2＝0（其中p∈R）的一个根，则p＝ ﹣2 ．
解：∵1+i是关于x的一元二次方程x2+px+2＝0（其中p∈R）的一个根，
∴由实系数一元二次方程虚根成对原理可得，1﹣i是一元二次方程x2+px+2＝0的另一根，
则﹣p＝（1+i）+（1﹣i）＝2，∴p＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．为了解学生一学期参与志愿者活动的情况，学校随机调查了10名学生，统计其参加活动的时长（单位：小时），得到以下数据：8，9，11，11，12，13，14，16，17，22，则该组数据的75%分位数为 16 ．
解：10×75%＝7.5，其比邻整数为8，找到第8个数为16，
故答案为：16．
15．若平面上的三个力，，，作用于同一点，且处于平衡状态．已知，，且与的夹角为，则与的夹角为 ．
解：根据题意，设与的夹角为θ，
三个力，，，作用于同一点，且处于平衡状态．则++＝，
变形可得：+＝﹣，则有|+|2＝|﹣|2，即||2＝2+2+2•＝1，则||＝1，
又由++＝，则+＝﹣，
则有|+|2＝|﹣|2，即2+2+2•＝2，变形可得csθ＝﹣，
又由0≤θ≤π，则θ＝，
故答案为：．
16．厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼由裙楼相连，外观形似风帆，并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素．小明计划测量双子塔A塔的高度，他在家测得塔尖的仰角为26.3°，再到正上方距家42米的天台上，测得塔尖仰角为22.3°，塔底俯角为10.8°．则塔的高度约为 30 米．（精确到个位）
参考数据：sin4°≈0.07，sin33.1°≈0.55，sin63.7°≈0.90，sin79.2°≈0.98．
解：设塔高CD，AB＝42，∠CAE＝26.3°，∠CBF＝22.3°，∠FBD＝10.8°，
所以∠ABC＝112.3°，∠BAC＝63.7°，所以∠ACB＝4°
在△ABC中，由正弦定理：＝，即＝，
所以sin4°≈0.07，sin63.7°≈0.90，
所以BC＝540，
在△BCD中，∠BDC＝90°﹣10.8°＝79.2°，∠CBD＝22.3°+10.8°＝33.1°，
由正弦定理可得：＝，
即＝，解得：CD≈30.3，
故答案为：30．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE＝2BE，点F是BC的中点．
（1）设，，用，表示，；
（2）已知ED⊥EF，求证：．
解：（1）因为AE＝2BE，则，
所以，
＝；
（2）证明：因为ED⊥EF，所以，
即（）＝，
即|，所以AB＝．
18．如图，在长方体木料ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2AA1＝2，E为棱A1B1的中点，要过点E和棱BC将木料锯开．
（1）在木料表面画出符合要求的线，写出作图过程并说明理由；
（2）写出切割后体积较大的几何体的名称，并求出它的体积．
解：（1）因为BC∥面A1B1C1D1，所以过直线BC及点E的平面，与平面A1B1C1D1的交线EF，EF必平行BC，
故在面A1B1C1D1，内作EF∥BC交D1C1于点F，故过点E和棱BC将木料锯开，故锯子所经过的平面与长方体表面的交线围成四边形EFCB．
（2）切割后体积较大的几何体的名称为四棱锥ABEA1﹣DCFD1，，它的体积V＝S•AD＝（1+2）×1×1＝．
19．甲、乙两人进行投篮比赛，约定赛制如下：
选定投篮位置，并在同一位置连续投篮三次，站在3分线外每次投中得3分，站在3分线内每次投中得2分，总得分高者胜出．
假设乙同学在3分线内投篮，每次投中概率为0.7，在3分线外投篮，每次投中概率为0.4．用Y表示乙投中，N表示乙未投中，假设每次能否投中是独立的．
（1）观察乙的投篮情况，根据树状图填写样本点，并写出样本空间；
（2）已知甲三次总得分为4分，若乙想赢得比赛，你建议他位置选在3分线内还是3分线外，为什么？
解：（1）由树状图如图，
样本空间Ω＝{NNN，NNY，NYN，NYY，YNN，YNY，YYN，YYY}；
（2）记A＝“乙在3分线外赢得比赛“，
则P（A）＝P（NYY∪YNY∪YYN∪YYY）＝0.6×0.4×0.4+0.4×0.6×0.4+0.4×0.4×0.6+0.4×0.4×0.4＝0.352；
记B＝“乙在3分线内赢得比赛“，
P（B）＝P（YYY）＝0.7×0.7×0.7＝0.343，
所以P（B）＜P（A），
所以建议乙的位置选在3分线外．
20．某校有高中生2000人，其中男女生比例约为5：4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：
方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．
方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．
（1）根据图表信息，求n，q并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）
（2）计算方案二中总样本的均值及方差；
（3）计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？
解：（1）因为身高在区间[185，195）的频率为0.008×10＝0.08，频数4，
所以n＝＝50，
故m＝0.008×10×50＝4，p＝0.04×10×50＝20，q＝50﹣4﹣20﹣6﹣4＝16，
所以身高在区间[165，175）的频率为＝0.32，在区间[175，185）的频率为＝0.12，
由此可补充完整频率分布直方图：
由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：
150×0.008×10+160×0.04×10+170×0.032×10+180×0.012×10+190×0.008×10＝12+64+54.4+21.6+15.2＝167.2cm；
（2）把男生样本记为x1，x2，...，x25，其均值记为，方差记为；
把女生样本记为y1，y2，...，y25，其均值记为，方差记为，
则总样本均值＝+＝＝165，
又因为，
所以＝2（﹣）＝0，
同理可得，
所以总样本方差s2＝[]
＝[+]
＝{25[+（）²]+25[+（）²]}
＝{25[16+（170﹣165）²]+25[20+（160﹣165）²]}
＝43；
（3）两种方案总样本均值的差为167.2﹣165＝2.2．
用方案二总样本均值作为总体均值的估计不合适，原因为：没有按照等比例进行分层抽样，每个个体被抽到的可能性不同，因此样本的代表性比较差．
21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，四边形ABCD是正方形．
（1）直线AC与平面PBD是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；
（2）若二面角P﹣CD﹣B的平面角为60°，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
解：（1）直线AC与平面PBD不垂直.
证明如下：
分别取AD、AB的中点M、N，连接PM，PN，MN，
∵PA＝PD，∴PM⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PM⊥平面ABCD，
又∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PM，
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，且MN∥BD，
∴AC⊥MN，
又∵MN∩PM＝M，∴AC⊥平面PMN，
∵过同一点P只能作唯一平面PMN垂直于AC，
∴直线AC与平面PBD不垂直．
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴CD⊥平面PAD，
又∵AD、PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，CD⊥AD，
∴二面角P﹣CD﹣B的平面角为∠PDA＝60°，
设AB＝a，∴Rt△PDC的面积为S＝×PD×CD＝，
Rt△BCD的面积为×BC×CD＝，
取AD的中点M，连接PM，∵PA＝PD，∴PM⊥AD，
由（1）知，PM⊥平面ABCD，
设点B到平面PCD的距离为h，
∵VP﹣BCD＝VB﹣PCD，即×S△BCD×PM＝×S△PCD×h，
得h＝PM＝，
∵PB＝，∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．
22．在①c（acsB﹣bcsA）＝a2﹣1；②bcsA+abcsB＝c；③4SsinB＝cs（A﹣C）+csB中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题．
问题：设钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．S为△ABC的面积，_______．
（1）求b；
（2）若点O为△ABC的外心，△OAC的面积为，求△OAB与△OBC的面积之和的最大值．
解：（1）选①，因为c（acsB﹣bcsA）＝a2﹣1，
所以c （a•﹣b•）＝a2﹣1，
所以a2﹣b2＝a2﹣1，
所以b＝1．
选②，由bcsA+abcsB＝c，得sinBcsA+bsinAcsB＝sinC，
因为sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
所以bsinAcsB＝sinAcsB，
所以b＝1，或B＝，
因为△ABC是钝角三角形，所以B≠，
所以b＝1．
选③，因为4SsinB＝cs（A﹣C）+csB，
所以4×acsin2B＝cs（A﹣C）﹣cs（A+C），
所以2acsin2B＝2sinAsinC，所以2b2ac＝2ac，
所以b＝1．
（2）设△ABC的外接圆的半径为R，
因为△OAC的面积为，所以＝，所以R＝1，
所以△OAC为等边三角形，所以∠AOC＝60°，
法一：①因为A或C为钝角时，△OAB与△OBC的面积之和的最大值相同，
所以不妨设A为钝角，如图（1），
设∠BOA＝θ，则∠BOC＝60°+θ，
所以S△OBC+S△OAB＝[sin（60°+θ）+sinθ]＝（sinθ+csθ）＝sin（θ+30°），
因为θ＝180°﹣2（A﹣60°）＝300°﹣2A，90°＜A＜150°，所以0°＜θ＜120°，
所以当θ＝60°，△OAB与△OBC的面积之和最大值为；
②当B为钝角时，如图（2），设∠BOA＝θ，则∠BOC＝60°﹣θ，
所以S△OBC+S△OAB＝[sin（60°﹣θ）+sinθ]＝（sinθ+csθ）＝sin（θ+60°），
因为0＜θ＜60°，所以当θ＝30°，△OAB与△OBC的面积之和最大值为，
因为，
所以△OAB与△OBC的面积之和最大值为．
法二：①当A或C为钝角时，同法一；
②当B为钝角时，如图（2），
则有△OAB与△OBC的面积之和小于扇形OABC的面积，
因为扇形OABC的面积为，
所以△OAB与△OBC的面积之和小于，
因为＜，所以△OAB与△OBC的面积之和最大值为．
法三：设∠BOA＝α，则∠BOC＝β，
所以S△OBC+S△OAB＝（sinα+sinβ）
＝×2sincs＝sincs．
①当A或C为钝角时，|α﹣β|＝60°，如图（1），则cs＝cs30°＝，
不妨设a＜β，则β＝α+60°，得α+β＝2α+60°，
因为α＝180°﹣2（A﹣60°）＝300°﹣2A，90°＜A＜150°，
所以0°＜α＜120°，所以60°＜α+β＜300°，
所以当α+β＝180°时，△OAB与△OBC的面积之和最大值为；
②当B为钝角时，α+β＝60°，如图（2），则sin＝，
所以当α＝β时，△OAB与△OBC的面积之和最大值为，
因为＜，所以△OAB与△OBC的面积之和最大值为．
身高（单位：cm）
[145，155）
[155，165）
[165，175）
[175，185）
[185，195]
频数
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q
6
4
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