福建省厦门市2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题（解析版）

这是一份福建省厦门市2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，，所以.
故选：C.
2. 命题：，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】，的否定是：，.
故选：D.
3. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，，
，
当且仅当即时，等号成立，所以.
故选：A.
4. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据幂函数的图象与性质知，图象在第一象限单调递增，
且，所以为偶函数，图象关于轴对称.
故选：B.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，等价于，即，
若，等价于，
可知等价于，
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：A.
6. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，
因为在定义域上单调递增，所以，
又在定义域上单调递增，所以，所以，
即，所以，所以.
故选：C.
7. 设，且，若函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，函数的值域为，
函数的值域为，
所以时，函数的值域为，
又因为函数的值域为R，
所以，解得，
当时，函数的值域为，
函数的值域为，
所以时，函数的值域为，与题意矛盾，
综上所述，a的取值范围是.
故选：C.
8. 设函数，，若曲线与恰有3个交点，则（ ）
A. B. 1C. 或1D. 2
【答案】B
【解析】易知函数，均为偶函数，除对称轴处以外两偶函数图象的交点成对出现，
由曲线与恰有3个交点可知，，
即，解得或1．
当时，，，由图象分析可知恰有1个交点，不符合题意；
当，，，由图象分析可知符合题意．
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，由单调递增可知：正确；
对于B，取，显然不成立，错误；
对于C：因，所以正确，
对于D：由，
因为，，
所以，所以，正确.
故选：ACD.
10. 已知，分别为第一、第三象限角，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】已知为第一象限角，且，
则，所以，
同理为第三象限角，则，
所以，，C正确，D错误，
，A错误；
，B正确.
故选：BC.
11. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为B. 在区间单调递增
C. 的图象关于对称D.
【答案】ABD
【解析】选项A：的定义域为，选项A正确；
选项B：当时，，
因为在区间单调递增，
根据复合函数单调性，所以在区间单调递增，选项B正确；
选项C：，
所以的图象关于点对称，选项C错误；
选项D：由C可知，
所以，即，
因为，所以，
当时，，
因为在为增函数且恒成立，
所以在区间单调递增，所以，
即，选项D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. __________．
【答案】
【解析】.
13. 设，若，则__________．
【答案】
【解析】，
即，即，
又，所以，解得：.
14. 如图所示，齿轮A和齿轮B相互啮合（齿的尺寸忽略不计），其半径之比为，当时，齿轮A上的点和齿轮B上的点均与坐标原点重合．当两齿轮旋转时，和在相同时间内运动的弧长相等，则，运动的角速度之比为__________．若，则关于t的一个函数解析式为__________．
【答案】（或2） （答案不唯一）
【解析】因为做圆周运动的质点在单位时间t内运动经过的弧长，且和在相同时间内运动的弧长相等，所以和在运动的角速度之比等于运动半径之比的倒数，即，
所以周期之比为二者的旋转方向相反．
设，由可知．
又因为的值域为，所以齿轮A的半径为1，的取值范围为．
所以，解得．
当时，，得，所以．．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象；
（2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标．
解：（1）
（2）易知，
令，解得，
所以的单调递增区间为．
令，解得，
所以对称中心的坐标为.
16. 如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，某城镇位于的正东方向，且与的距离为．甲乘坐小船从小岛前往小镇，先到达海岸线上的点处（其中，之间的距离为），再从出发步行到达该城镇．已知小船的平均速度为，甲的步行速度为．
（1）当，时，求甲从小岛到城镇所用时间；
（2）若，求甲从小岛到城镇所需的最短时间与相应的，．
解：（1）由题意知，小岛距离上岸点的距离，
小岛开往上岸点所需的时间，
上岸点到城镇的距离，
上岸点到城镇所需的时间，
故甲从小岛到城镇所需的时间为．
（2）小岛开往上岸点所需的时间，
上岸点到城镇所需的时间，
记甲从小岛到城镇所需的时间，其中，
所以，
整理得，，
当且仅当，此时，，．
答：当，时，小岛到城镇所需时间最短，为3小时．
17. 设函数，其中，且．
（1）当时，求的零点个数；
（2）若在区间和内均存在零点，写出一个满足题意的a（结果保留两位小数），并说明理由．
参考数据：…．
解：（1）时，，
因为，，
所以，由零点存在定理，在区间存在一个零点，
因为和均在单调递增，
所以在单调递增，
所以函数恰有一个零点．
（2）当时，由（1）可知，是增函数，
至多有一个零点，不符合题意；
当时，，，
，，
当时有，，符合题意；
此时，，解得，，
因为，（或也可）
且，
所以a的可能值为0.71，或0.72，或0.73，或0.74．
18. 已知函数．
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）解不等式；
（3）当时，若关于x的方程有解，证明：．
解：（1）是奇函数，下面给出证明：
的定义域为R，
因为，
所以奇函数.
（2），且，
则，
因为，所以，，
所以，所以是R上的减函数，
等价于，
即，
因为是R上的减函数，所以，
整理得，解得.
（3）因为，所以，所以，
设，可得，
所以，所以，
当时，，无解，不符合题意；
当时，整理可得，，
设，，
因为，
所以为奇函数，只需考虑，
①若，则，
因为在单调递减，
所以在单调递减，
②若，则，则在单调递减，
若，则，所以，
由双勾函数的单调性可得在单调递减，
所以当时，在单调递减，
又，所以，即，即，
所以．
19. 定义的“区间长度”为，设函数的定义域为．
（1）当时，求关于x的不等式解集的“区间长度”；
（2）已知，设关于x不等式解集的“区间长度”为I．
（ⅰ）若，求t；
（ⅱ）求I的最大值．
解：（1）当时，，
由解得或，
因，可解得：，或，
所以不等式解集的“区间长度”为．
（2）（ⅰ）因为，，由，解得或，
设的两个根为，，其中，且，
同理，设的两个根为，，其中，
且，
所以，
又，所以，
所以，即，
，即，解得或，
所以或．
（ⅱ）方法1：由（ⅰ）可得，，
则，
因为，，
所以，
所以，即，
所以，或（舍），
所以，
所以，
因为，，所以，
由可知，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，I的最大值为．
方法2：由（ⅰ）可得，，
，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，，所以，
由可知，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，I的最大值为．