福建福州第四中学2024~2025学年高一下册期末检测数学试题[含解析]

这是一份福建福州第四中学2024~2025学年高一下册期末检测数学试题[含解析]，共24页。试卷主要包含了 设，则“”是“”的， 在复平面内，复数对应的点位于， 中，，点是的中点，设，，则， 若，，且，则的最小值为， 下列说法正确是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：（每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意图中阴影部分表示，再根据交集、补集的定义计算可得；
【详解】解：因为，，
所以，
所以.
故选：C
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合关系判断充分不必要条件即可.
【详解】解：解不等式得，
因为是的真子集，
所以，“”是“”的充分不必要条件
故选：A
3. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义判断可得出结论.
【详解】，在复平面内所对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
4. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆的半径为，利用勾股定理求出，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得；
【详解】解：设圆的半径为，则，，
由勾股定理可得，即，
解得，所以，，
所以，因此.
故选：B
5. 中，，点是的中点，设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量得线性运算及平面向量基本定理结合图形即可得出答案.
【详解】解：因为，点是中点，
则
.
故选：D.
6. 设m、n是两条不同直线，α、β是两个不同的平面．命题，且ρ是命题q的必要条件，则q可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知，若p是命题q的必要条件，则，逐一分析选项，判断直线的位置关系.
【详解】由题意可知，若p是命题q的必要条件，则，
A.若满足，则平行，相交，异面都有可能，所以不正确；
B.若满足，则平行或异面，所以不正确；
C.若满足，只能推出两直线平行，故正确；
D.若满足，则平行，相交，异面都有可能，故不正确.
故选：C
【点睛】本题考查线线，线面，面面的位置关系，以及必要条件的判断，意在考查空间想象能力，定理的灵活应用，属于基础题型.
7. 若，，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】解：因为，，且，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以，的最小值为.
故选：B
8. 平面内不同的三点O，A，B满足，若，的最小值为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，，，作关于的对称点，如图根据向量的线性运算化简题中的等式，利用点关于直线的对称性可得，结合余弦定理可得出，利用二倍角的余弦公式求出，最后根据即可求解.
【详解】解：由题意得：
如图所示：
设，则点在线段OB上运动
故
设
，即
作关于的对称点，设
，即
在中，，，
由余弦定理可得：，解得：
故选：C
二､多选题：（每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分）
9. 下列说法正确是（ ）
A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体
被抽到的概率是0.1
B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32
【答案】AC
【解析】
【分析】分别利用古典概型的计算公式，方差和标准差的计算公式及其百分位数的定义求解即可.
【详解】对于选项,个体被抽到的概率为，故该选项正确；
对于选项，，解得，
则方差为，故该选项错误；
对于选项,数据27，12，14，30，14，17，19，23从小到大排列为，12，14，14，17，19，23，27，30，
由于%，其中第6个数为23，故该选项正确；
对于选项,设数据，，…，的均值为，
则数据，，…，的均值为，
因为数据，，…，的标准差为，
所以数据，，…，的标准差为
，故该选项错误；
故选：AC.
10. 对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A.
B. 若是锐角三角形，则不等式恒成立
C. 若，则是等腰三角形
D. 若，，，则的面积为或
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，由正弦定理与两角和的正弦公式判断，对于B，由正弦函数性质判断，对于C，由正弦函数性质判断，对于D，由正弦定理与面积公式判断
【详解】对于A，在中，，由正弦定理化简得，故A正确，
对于B，是锐角三角形，则，得，
故B错误，
对于C，若，则或，是等腰三角形或直角三角形，故C错误，
对于D，由正弦定理知，得，，，或，故D正确，
故选：AD
11. 函数部分图象如图所示,对不同,,若，都有，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
由三角函数对称性得，结合化简得出，利用五点作图法得出的值，即可得出答案.
【详解】由三角函数的最大值可知
设，则，由对称性可知，则
解得
则，结合，即，则
由五点作图法可知：，所以
所以
故选：BC
【点睛】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于中档题.
12. 已知正方体的棱长为2，点E、F分别是棱、的中点，点P在四边形内（包含边界）运动，则下列说法正确的是（ ）
A. 若P是线段的中点，则平面平面
B. 若P在线段上，则异面直线与所成角的范围是
C. 若平面，则点P的轨迹长度为
D. 若平面，则长度的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，先证明，，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理即可判断；对于B，由可将与所成的角转化为与所成的角，结合为正三角形可得与所成角的取值范围；对于C，先利用线面位置关系得到点的轨迹，然后求解即可；对于D，先由线线平行证明线面平行，进而得面面平行，可确定点的轨迹为线段，然后结合勾股定理求解长度的最值即可求解．
【详解】对于A：因为、分别是线段、的中点，
所以，则，
则，所以，
又由平面，所以，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面，
即选项A正确；
对于B：在正方体中，，
所以与所成的角为与所成的角，
连接、，则为正三角形，
所以与所成角的取值范围为，
即选项B错误；
对于C：设平面与直线交于点，
连接、，则为的中点，
分别取、的中点、，
连接、、，由，
所以平面，
同理可得平面，
又因为，
所以平面平面，
又由平面，所以直线平面，
故点的轨迹是线段，易得，
即选项C正确；
对于D：取的中点，的中点，的中点，连接，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面，
连接、，则，又因为，
所以，所以平面，
连接、，由，且，
得，故、、、四点共面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面，
所以点的轨迹为线段，
由知、，连接，，
在中，，
所以，所以，
则，故线段长度的最小值为，
线段长度的最大值为，
所以长度的取值范围是，
即选项D正确．
故选：ACD．
三､填空题：（每题5分，共20分）
13. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】由向量投影的定义和向量共线定理，可得所求向量的坐标．
【详解】向量在向量方向上的投影为，
由于向量在向量方向上的投影向量与共线，且 ，
可得所求向量为，
故答案为：．
14. 五一节放假期间，甲、乙、丙三人来景德镇旅游的概率分别是、、，已知三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来景德镇旅游的概率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用相互独立事件的概率公式求出没有人来景德镇旅游的概率，再利用对立事件的概率公式求解即可
【详解】由题意可得3人中没有人来景德镇旅游的概率为，
所以至少有1人来景德镇旅游的概率为，
故答案为：
15. 设复数z满足条件|z|＝1，那么取最大值时的复数z为__．
【答案】
【解析】
【分析】复数的模转化为距离，|z|＝1是单位圆上的点，是单位圆上点与的距离的最大值，可求解答案．
【详解】解：复数z满足条件|z|＝1，它是复平面上的单位圆，那么表示单位圆上的点到的距离，
要使此距离取最大值的复数z，就是和）（0，0）连线和单位圆在第一象限的交点．
∵点到原点距离是2．单位圆半径是1，此连线与单位圆在第一象限交点是．
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查复数的模的几何意义，复数和复平面内的点的一一对应，三角形相似，数形结合的思想，难度较大．
16. 设函数若存在最小值，a的取值范围___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值再求解即可.
【详解】若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：
四､解答题：（共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 如图，在四棱锥中，平面PAD，且，，M为PC中点．
（1）求证：平面PAD；
（2）求证：平面PCD．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）取PD中点N，连接AN，MN，证明四边形ABMN是平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）根据给定条件，证明，再利用线面垂直的判定推理作答.
【小问1详解】
在四棱锥中，取PD中点N，连接AN，MN，如图，
因M为PC中点，则,，又且，则有，，
即四边形ABMN是平行四边形，有，而平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因平面PAD，平面，则，而，因此，，
又，，平面，
所以平面.
18. 设平面向量，，函数.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若锐角满足，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的坐标运算及三角恒等变换公式化简函数解析式，由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意可得，再利用诱导公式求出，最后利用二倍角公式公式计算可得；
【小问1详解】
解：因为，且，
所以.
当时，，
∴，即函数的值域为.
【小问2详解】
解：因为，
所以，
所以，
∴.
19. 某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取200名，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：）的频率分布直方图如图所示，
（1）以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到0.01）.
（2）如果计划对参与主题教育活动时间在内的党员干部给予奖励，且在，内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一､二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率.（需写出该事件的样本空间）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据频率分布直方图的面积和为1求解，再设中位数为，根据中位数的右边概率和为0.5求解即可；
（2）先根据分层抽样的性质分别求得在，内的抽取的人数，再列举出所有的基本事件及满足条件的事件，再求出这2人均是二等奖的概率．
【小问1详解】
由已知可得，．
设中位数为，因为，，故.
则，得．
【小问2详解】
按照分层抽样的方法从内选取的人数为，
从内选取的人数为．
记二等奖的4人分别为，，，，一等奖的1人为，
事件为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”．
从这5人中随机抽取2人的基本事件为，，，，，，，，，，共10种，
其中2人均是二等奖的情况有，，，，，，共6种，
由古典概型的概率计算公式得．
20. 已知，
（1）若函数满足，求实数的值；
（2）（i）在（1）的条件下，判断函数在上是否有零点，并说明理由：
（ii）若函数在R上有零点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）有零点，证明见解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义,由，采用比较系数法,可解出a=1；
（2）（i）先判断出函数单调递增，利用零点存在定理即可求得；（ii）把题意转化为方程有根，求出在R上的值域，即可求得.
【小问1详解】
因为，所以.
而，所以，解得：.
【小问2详解】
（i）由（1）可得：.
因为在上为减函数，所以在上为减函数，
所以在上为增函数，所以在上为增函数.
又，
所以在上有唯一的零点0.
（ii）.
函数在R上有零点，即方程有根.
因为在R上为减函数，，所以.
由此可得：若函数在R上有零点，则的取值范围为.
【点睛】（1）函数奇偶性的应用:①一般用或;②有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或.
（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.
21. 在△ABC中，D为BC上一点，AD=CD，BA=7，BC=8．
(1)若B=60°，求△ABC外接圆的半径R；
(2)设，若，求△ABC面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）在△ABC中由余弦定理得，然后再根据正弦定理可求得外接圆的半径．（2）由条件可得，故得，设BD=，则DC=8，DA=8，在△ABD中由余弦定理得，进而，再由正弦定理得，于是可求得三角形的面积．
【详解】(1) 在△ABC中，由余弦定理得，
所以，
由正弦定理得，
所以．
故△ABC外接圆的半径R为．
(2)由AD=CD，得∠DCA=∠DAC，
所以．
由，
得．
设BD=，则DC=8，DA=8.
在△ABD中，，
由余弦定理得，
得．
所以BD=3，DA=5，
由正弦定理得，即，
所以．
所以．
故．
【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时要弄清所求结论和条件的联系，然后再利用正弦定理或余弦定理进行转化求解，逐步探求得到所需的条件，进而达到求解的目的．
22. 如图在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，.E､F､G､H分别是线段､､､上的动点，且四边形为平行四边形.
（1）求证：平面；
（2）设二面角的平面角为，求在区间变化的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；
（3）设，且平面平面，则当为何值时，多面体的体积恰好为？
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先通过线面平行的判定定理，证得平面，通过线面平行的性质定理，证得，由此证得平面；
（2）画出为、时的投影，由此判断出线段在平面上的投影所扫过的平面区域，进而求得区域的面积；
（3）先求得三棱锥面积为，通过分割的方法，得到，分别求得与的关系式，再由列方程，解方程求得的值.
【小问1详解】
证明：∵四边形为平行四边形，∴．
而面，面，∴面．而面，面面，
∴∥．而面，面，
∴∥平面．
【小问2详解】
∵，∴在平面上的投影满足，即在线段的中垂线上．
如图所示，将补成边长为的正，
当二面角为角时，即点在平面上，此时为，
当二面角为角时，此时为中点，
故在平面上的投影所扫过的平面区域为，而，
故线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积为；
【小问3详解】
取中点，连接OD，则，
又平面平面，平面平面，面，
则平面，平面．
所以，
是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，，所以，，根据勾股定理，∴．
所以．
而多面体的体积恰好为，即多面体的体积恰为四面体体积的一半．
连接．设F到面AEH的距离为，C到面ABD的距离为 ，A到面DGH的距离为，A到面BCD的距离为，
，
∴．
，
∴．
∴，
∴，整理：，即，
解得：（舍去）．