湖北省襄阳市高中2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷

这是一份湖北省襄阳市高中2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷，共8页。试卷主要包含了答题前，请将自己的姓名，选择题的作答，非选择题作答，考试结束后，请将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,E,F 分别是 BC,AD 的中点,
则??·??的值为()
2
a2B.1a2
C.1a2D. 3a2
44
折纸艺术是我国民间的传统文化, 将一矩形 OABC 纸片放在平面直角坐标系中,O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使点 O 落在线段 BC 上,设折痕所在直线的斜率为 k,则 k 的
设抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 l,P 是抛物线上位于第一象限内的一点,过点 P 作 l
的垂线,垂足为点 Q,若直线 QF 的倾斜角为 120°,则|PF|=()
A.3B.6
C.9D.12
取值范围是(
)
A.[0,1]
B.[0,2]
C.[-1,0]
D.[-2,0]
直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段,目前受到了广大消费者的追捧,针对这种现状,某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入,若该公司今年投入的资金为 2 000 万元,并在此基础上,以后每年的资金投入均比上一年增长 12%,则该公司需经过年其
投入资金开始超过 7 000 万元。()
(参考数据:lg 1.12≈0.049,lg 2≈0.301,lg 7≈0.845)
A.14B.13
C.12D.11
若函数 f(x)=1?4 + ??3 + 9x2-b(a,b∈R)仅在 x=0 处有极值,则 a 的取值范围为()
42
A.[-2,2]B.[-1,1]
C.[2,6]D.[-1,4]
有 5 名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数为()
A.120B.60
C.40D.30
经大量病例调查发现,某病毒检测试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量,对检测结果的准确性有一定影响。已知国外某地该病毒感染率为 0.5%,在感染该病毒的条件下,标本检出阳性的概率为 99%。若该地全员参加该病毒检测,则该地某市民感染该病毒且标
某科研型企业,每年都对应聘入围的大学生进行体检,其中一项重要指标就是身高与体重比,其中每年入围的大学生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)基本都具有线性相关关系,根据今年的一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,50),用最小二乘法建立的经验回归方程为?=0.83x-85.71,则下列结论中不正确的是()
y 与 x 正相关
本检出阳性的概率为(
)
% %
5%
5%
经验回归直线过点(?,?)
若应聘大学生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.83 kg
若某应聘大学生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 55.39 kg
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
如图,在直三棱柱 ABC⁃A1B1C1 中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D 是 AC 的中点,则下列结论正确的是()
B1C∥平面 A1BD
平面 A1BD⊥平面 AA1C1C
11
直线 B C 到平面 A BD 的距离是 10
10
1
点 A 到直线 BC 的距离是 113
3
已知函数 f(x)=ex,则下列结论正确的是()
曲线 y=f(x)的切线斜率可以是 1
曲线 y=f(x)的切线斜率可以是-1
过点(0,1)且与曲线 y=f(x)相切的直线有且只有 1 条 D.过点(0,0)且与曲线 y=f(x)相切的直线有且只有 2 条
炎炎夏日,许多城市发出高温预警,凉爽的某市成为众多游客旅游的热门选择。为了解来某市旅游的游客旅行方式与年龄是否有关,随机调查了 100 名游客,得到如下表格。
零假设 H0:旅行方式与年龄没有关联,则下列说法中,正确的有
小于 40 岁
不小于 40 岁
自由行
38
19
附: 2 ?(??−??)2
χ =(?+?)(?+?)(?+?)(?+?),其中 n=a+b+c+d。
()
50
在选择自由行的游客中随机抽取一名,其小于 40 岁的概率为19
5
在选择自由行的游客中按年龄分层随机抽样抽取 6 人,再从中随机选取 2 人做进一步的访谈,则 2 人中至少有 1 人不小于 40 岁的概率为3
根据 α=0.01 的独立性检验,推断旅行方式与年龄没有关联,且犯错误概率不超过 0.01
根据 α=0.05 的独立性检验,推断旅行方式与年龄有关联,且犯错误概率不超过 0.05
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
直线 5x+4y-1=0 交椭圆 C:?2 + ?2=1(a>b>0)于 M,N 两点,设线段 MN 的中点为 P,直线
?2?2
4
OP 的斜率等于5,O 为坐标原点,则椭圆 C 的离心率为。
π
在等差数列{an}中,若 a7=2,则 sin 2a1+cs a1+sin 2a13+cs a13=。
某旅行团查看出游当天的天气情况,某天气预报软件预测出游当天在
12:00~13:00,13:00~14:00,14:00~15:00 这 3 个时间段内降雨的概率分别为 0.5,0.4,0.6,则该旅行团出游当天在 12:00~15:00 时间段内降雨的概率为。(用数字作答)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分
15.（本小题满分 15 分）
已知点 P(1,2),圆 C:x2+y2-6y=0。
若直线 l 过点 P 且在两坐标轴上截距之和等于 0,求直线 l 的方程;(7 分)
设 A 是圆 C 上的动点,求??·??(O 为坐标原点)的取值范围。(8 分)
跟团游
20
23
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
16.（本小题满分 15 分）
已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上一点,B 为准线 l 上一点,?? = 2??,|AB|=9。
求 C 的方程;(7 分)
M,N,E(x0,-2)是 C 上的三点,若 kEM+kEN=1,求点 E 到直线 MN 距离的最大值。(8 分)
17.（本小题满分 15 分）
已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,a1=2,Sn+1=Sn+4an-3,记 bn=lg2(an-1)+3。
求数列{bn}的通项公式;(7 分)
已知 c =(-1)n+1· ??+1 ,记数列{c }的前 n 项和为 T ,求证:T ≥ 2 。(8 分)
n????+1n
nn 21
18.（本小题满分 16 分）
已知函数 f(x)=ln x-ax(a∈R)。
讨论 f(x)的单调性;(8 分)
若 f(x)有最大值 M,且 M≤-a,求 a 的值。(8 分)
19.（本小题满分 16 分）
某大学生志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学。在这 10 名同学中,3 名同学来自数学学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院。现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)。
求选出的 3 名同学是来自互不相同的学院的概率; (8 分)
设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列及期望。 (8 分)
高二数学试题答案
一、选择题：
二、选择题：
9.答案：ABD10.答案：AC11.答案：BD
三、填空题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
C
A
B
A
D
5
12.答案：3
13.答案：014.答案：0.88
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分
15.（本小题满分 15 分）
解(1)当截距均为 0,即直线过原点时,设直线 l 的方程为 y=kx,代入 P(1,2),解得 k=2,故直线 l
??
的方程为 2x-y=0;当截距均不为 0 时,设直线 l 的方程为? + −?=1,代入 P(1,2),解得 a=-1,故直线
l 的方程为 x-y+1=0。综上所述,所求直线 l 的方程为 2x-y=0 或 x-y+1=0。
? = ? + 2?,
(2)解法一:设 A(x,y),满足 x2+y2-6y=0,设 s=??·??=x+2y。由 ?2 + ?2−6? = 0,
5
得 5y2-2(2s+3)y+s2=0,Δ=4(2s+3)2-20s2≥0,即 s2-12s-9≤0,解得 6-3
≤ ? ≤ 6 + 3 5。
所以??·??的取值范围为[6-3 5,6+3 5]。
16.（本小题满分 15 分）
1??
解(1)因为?? = 2??,所以|AF|=3|AB|=3,由?? = 2??,xB=-2,xF=2,可得 xA=p,由抛物线的定义可
,
知?,解得 p=2。则 C 的方程为 y2=4x。
|AF|=p+2=3
(2)因为 E(x0,-2)在抛物线 C 上,所以 x0=1,设直线 MN 的方程为 x=ty+n,M(x1,y1),N(x2,y2),
22?1+2?1+24
将 x=ty+n 代入 y =4x,得 y -4ty-4n=0,则 y +y =4t,y y =-4n,k== ?2=,
121 2
EM ?1−1
1 −1
4
?1−2
,
4
同理 k =k
44
+k =+
=4(?1+?2)−16
16?−16
=
=1,整理得,n=-6t+5,则直线 MN
EN ?2−2 EM
EN ?1−2?2−2
?1?2−2(?1+?2)+4
−4?−8?+4
的方程为 x=ty-6t+5,所以直线 MN 过定点 T(5,6)。当 ET⊥MN 时,点 E 到直线 MN 的距离最大,
(5−1)2 + (6 + 2)2
且最大距离为|ET|=
= 4 5,经检验符合题意。
17.（本小题满分 15 分）
解(1)由 Sn+1=Sn+4an-3,得 Sn+1-Sn=4an-3。所以 an+1=4an-3,则 an+1-1=4(an-1),又 a1-1=2-1=1,
所以数列{an-1}是以 1 为首项,4 为公比的等比数列,所以 an-1=4n-1=22n-2(n∈N*)。
因为 bn=lg2(an-1)+3,所以 bn=lg222n-2+3=2n+1(n∈N*)。
1
2?+1
··=
(2)证明:因为 c =(-1)n+1 ??+1 ,所以 c =(-1)n+12?+2 (-1)n+1·1
1
2?+3
+,
n????+1n
(2?+1)(2?+3)2
所以 T =c +c +c +…+c =1
1 +
−
+
+
+
−… + (−1)?+1·
+,
n123
n 2 3
1
5
1
5
1
7
1
7
1
9
1
2?+1
1
2?+3
1 1
2 3
当 n 为奇数时,Tn=
+
> > 。当 n 为偶数时,Tn=
−
,因为 Tn 递增,
1
2?+3
12
621
1 1
2 3
1
2?+3
1
7
22
所以 T ≥T =1 × 1 −= 。综上,T ≥。
n2 2
321
n 21
18.（本小题满分 16 分）
1
?
解(1)由已知得 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=−? =
1−??
?
(x>0),当 a≤0 时,f'(x)>0 恒成立,
1
?
f(x)在(0,+∞)上单调递增;当 a>0 时,x∈ 0,时,f'(x)>0,f(x)
1
?
在 0,上单调递增,x∈ 1 , + ∞ 时,f'(x)0 时,f(x)在0,
减。
(2)由(1)知 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无最大值,
上单调递增,在 1 , + ∞ 上单调递
1
?
?
1
?
当 a>0 时,f(x)max=f=-ln a-1,即 M=-ln a-1,由 M≤-a,得-ln a-1≤-a,即 a-ln a-1≤0。
?
?
令 g(a)=a-ln a-1(a>0),则 g'(a)=1-1 = ?−1,当 a∈(0,1)时,g'(a)