【数学】湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高二上学期11月期中考试试题（解析版）

这是一份【数学】湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高二上学期11月期中考试试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共8小题，每小题5分，总分40分）
1. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
故选：D
2. “”是“直线与直线垂直”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为直线与直线垂直，
等价于，即，
所以“”是“直线与直线垂直”的充要条件.
故选：A.
3. 已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】无论椭圆焦点位于轴或轴，根据点,,为椭圆的三个顶点,
若是正三角形,则，即，即，
即有，则，解得.
故选：C.
4. 在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在长方体中, 以 点为原点, 分别为,,轴建立空间直角坐标系，
因为，，则，，，，
可得 ,
则，
则直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
5. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为“欧拉线”.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为的顶点，，，
可知的重心为点，即点，
由题意，可知，
所以的外心为斜边的中点，即点，
所以的欧拉线方程为，即.
故选：C.
6. 已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，，
因为，又，即，
即，
化简得点的轨迹为，即在直线上，
表示的几何意义为点到原点距离的平方，
故只需计算原点到直线的距离再平方就可得最小值，
即最小值为.
故选：B.

7. 刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意得，，
所以
，
又，，所以设异面直线AE与BD所成的角为，
则
故选：A.
8. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知：，，且，

在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
即，可得，
所以双曲线的离心率为.
故选：C.
二、多选题（共4小题，每小题5分，总分20分）
9. 满足下列条件的直线与，其中的是（ ）
A. 的倾斜角为，的斜率为
B. 的斜率为，经过点，
C. 经过点，，经过点，
D. 的方向向量为，的方向向量为
【答案】BCD
【解析】对A，，，，所以A不正确；
对B，，，故B正确；
对C，，，，故C正确；
对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确. 故选：BCD
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 点是图象的一个对称中心
B. 的单调递增区间为，
C. 在上的值域为
D. 将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则
【答案】AC
【解析】因为，所以点是图象的一个对称中心，A正确；
令（），则（），
故的单调递增区间为（），B错误；
因为，所以，故在上的值域为，C正确；
将的图象先向右平移个单位长度，可得函数 的图象，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象，D错误.
故选：AC
11. 曲线是平面内与两个定点，的距离的积等于的点的轨迹，则下列结论正确的是（ ）
A. 点到轴距离的最大值为B. 点到原点距离的最大值为
C. 周长的最大值为D. 最大值为
【答案】BD
【解析】由题意可知：，，设，
对于选项A： 因为，
即，解得，
当且仅当时，等号成立，所以点到轴距离的最大值为，故A错误；
对于选项B：因为，
且，则且，
可得，则，即，
当且仅当同向时，等号成立，
所以点到原点距离的最大值为，故B正确，
对于选项C：因为，
当且仅当时，等号成立，
所以周长的最小值为，故C错误；
对于选项D：因为，
当且仅当时，等号成立，
可得，所以最大值为，故D正确；
故选：BD.
12. 在直三棱柱中，，，D是AC的中点，下列判断正确的是（ ）
A. ∥平面
B. 面⊥面
C. 直线到平面的距离是
D. 点到直线的距离是
【答案】ABD
【解析】A.如图所示：
连接交于点E，连接DE，所以，又平面，
平面，所以平面，故正确；
B.因为，D是AC的中点，所以，又平面平面ABC，
所以平面，又平面，所以面⊥面，故正确；
C.∵平面，∴到平面的距离等于点到平面的距离，
C.以D点为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的一个法向量，则，即，
不妨取，所求距离，故错误；
D.如图所示：
作，连接，因为平面ABC，所以，
又，所以平面，则，
又，所以，故D正确；故选：ABD
三、填空题（共4小题，每小题5分，总分20分）
13. 已知向量与的夹角为，，，则______，______
【答案】①. 2 ②.
【解析】由题意得，
因为，所以.
故答案为：；
14. 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小为___________.
【答案】900
【解析】不妨设BB1=1，则AB=，

∴直线AB1与C1B所成角为90° 故答案为900.
15. 已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为__________、
【答案】
【解析】由题意得，取点，设圆的圆心为，
则，所以，又因为，
所以，则，.
，即求得最小值，设，则，
令.
当时，，即的最小值为. 故答案为：.

16. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为_____.
【答案】
【解析】由题意可得，，由于为平行四边形，故,
直线的方程为，渐近线方程，
联立，故,
所以，
因此，化简得，
故离心率为， 故答案为：

四、解答题（共4小题，总分70分）
17. 如图，已知平面，为矩形，，分别为的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
证明：如图，以为坐标原点，所在的直线分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系.设，
则有.
（1）因为分别为的中点，所以.
所以.所以.
又因为平面，所以平面.
（2）由（1）知，，所以.
设平面的一个法向量为
则，即.解得.令，则.
设平面的一个法向量为，则，即.
得.令，则，因为，所以.
故平面平面
18. 某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目、则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的.
（1）求王阳第三次答题通过面试的概率；
（2）求王阳最终通过面试的概率.
解：（1）记“王阳第三次答题通过面试”为事件，若王阳第三次答题通过面试，则前次均不通过，所以王阳第三次答题通过面试的概率为.
（2）记“王阳最终通过面试”为事件，
王阳未通过面试的概率为，
所以王阳最终通过面试的概率.
19. 已知双曲线的实轴长为，且过点
（1）求双曲线C的方程.
（2）过双曲线C的右焦点F作斜率为的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求
（3）若M，N是双曲线C上不同两点.且直线MN的斜率为，线段MN的中点为P，证明：点P在直线上.
（1）解：根据题意可得，则将点的坐标代入，得，解得，故双曲线C的方程为
（2）解：由（1）得，则，则直线l的方程为
设，由，得，
，，，
所以
（3）证明：设，，则，
两式相减得
设，则，所以，
即，所以，
即，所以点P在直线上.
20. 已知为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线恒过定点；
（3）斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值.
（1）解：由已知两个顶点坐标为，，短轴长为2，得，，
则椭圆方程：.
（2）证明：设直线方程为，，，
由，消去x得，，
，
则，，
，
，
又点在椭圆上，则，即，
则，
即，则，
即
，
解得，此时，即直线的方程为，
所以直线恒过定点.
（3）解：设直线的方程为，，，

由，消去得，
，即，
则，，
所以
，
点到直线的距离，
所以，又，，
所以
，
所以
则当即时，取最大值为.
21. 如图，轴垂足为点，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为.

（1）求点轨迹的方程；
（2）当时，点的轨迹方程记为.
（i）若动点为轨迹外一点，且点到轨迹的两条切线互相垂直，记点的轨迹方程记为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点，在轴上方，，直线交轨迹于点，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围.
解：（1）设，因为，则，
又因为点在圆上，则，
所以点的轨迹的方程为.
（2）若，则的方程为，即，
（i）与圆没有交点，理由如下：
由题意可知：圆在椭圆内（有且仅有两个交点），
但动点为轨迹外一点，所以与圆没有交点；
（ⅱ）由题意可知：，

设，则直线，
联立方程，消去y可得，
则，可得，
则，
令，解得，
由题意可知，
因为，则，
又因，可得，
所以的取值范围为.