安徽省合肥市包河区2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

这是一份安徽省合肥市包河区2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分）
1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D. 3.14
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 据《新时代的中国北斗》白皮书介绍，北斗卫星导航系统服务性能优异，免费向全球用户提供定位导航授时服务，授时精度优于0.00000002秒．数据0.00000002用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则下列不等式一定成立是（ ）
A. B. C. D.
5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若多项式的展开式中不含关于的一次项，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在多项式中添加一个单项式，使其成为一个多项式的完全平方，则添加的单项式正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 连续两个正整数，较大数的算术平方根是，则较小数的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
9. 某种商品的进价为40元，出售时标价为60元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可打（ ）
A. 六折B. 六五折C. 七折D. 七五折
10. 已知实数a，b，c满足：，，则下面结果正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
二、填空题（共5小题，每题3分，满分15分）
11. 比较大小：______2．（填““”或“”）
12. 若，则的值为_____．
13. 如图，有正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为大长方形，则需要类卡片_____张．
14. 已知，则代数式的值为_____．
15. 已知关于的不等式．
（1）当时，该不等式解集为_____；
（2）若该不等式的负整数解有且只有2个，则的取值范围是_____．
三、解答题（共7小题，满分55分）
16. 计算．
17. 解不等式组：，并求出不等式组的整数解之和．
18. 先化简，再求值：，其中，．
19. 观察下列各式：
第1个式子：；
第2个式子：；
第3个式子：；
…
（1）请根据以上规律，直接写出第4个式子：_____；
（2）写出猜想第个等式（用含的式子表示），并说明其正确性．
20. 已知的算术平方根是2，的立方根是，的整数部分为．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
21. 任务背景：我校在世界读书日启动“书香校园”活动，我班在参与读书活动中，计划购进一些笔记本用于摘抄“好词好句”．
驱动任务：购买笔记本的最省钱方案．
22. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）；
图1表示：_____；
图2表示：_____．
（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若，，求的值；
②如果，，求的值；
③请直接写出下列问题答案：
如果，_____．
23. 若表示不超过的最大整数，设，那么______．
2024-2025学年第二学期阶段性巩固检测
七年级数学
一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分）
1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D. 3.14
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根等知识，根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数进行判断即可．
【详解】解：A．是有理数，不符合题意；
B．有理数，不符合题意；
C．是无理数，符合题意；
D． 3.14是有理数，不符合题意；
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则，单项式乘以单项式法则，完全平方公式，单项式乘以多项式法则逐项判断即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确，符合题意；
故选：D．
3. 据《新时代的中国北斗》白皮书介绍，北斗卫星导航系统服务性能优异，免费向全球用户提供定位导航授时服务，授时精度优于0.00000002秒．数据0.00000002用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：B．
4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变；不等式的性质2：不等式两边同时乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；不等式的性质3：不等式两边同时乘（或除）以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的基本性质进行判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，，，
故选项A正确，选项B、C、D错误，
故选：A．
5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查不等式的求解及在数轴上的解集表示，解题关键是依据不等式性质正确求解不等式，并准确掌握数轴上实心点、空心点及方向的表示规则．
先根据不等式性质，求出不等式的解集， 再依据数轴上表示解集的规则，去逐一判断选项．
【详解】解：解不等式，
得．
在数轴上表示为：
故选：C．
6. 若多项式的展开式中不含关于的一次项，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．首先利用多项式乘以多项式法则进行计算，再根据结果中不含x的一次项(即一次项的系数为零)求出m的值即可．
【详解】解：
的展开式中不含有x的一次项，
，
解得，
故选：B．
7. 在多项式中添加一个单项式，使其成为一个多项式的完全平方，则添加的单项式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式注意：完全平方公式有两个：，．根据完全平方公式逐个判断即可．
【详解】A． 不是一个多项式的完全平方，故不符合题意；
B． 不是一个多项式的完全平方，故不符合题意；
C． 是一个多项式的完全平方，故符合题意；
D． 不是一个多项式的完全平方，故不符合题意；
故选：C．
8. 连续两个正整数，较大数的算术平方根是，则较小数的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．先求出这个数，然后根据算术平方根的定义再求出它的前一个数的算术平方根即可．
【详解】解：∵较大数的算术平方根是，
∴较大数为，
又这两个数是连续两个正整数，
∴较小数为，
∴较小数的算术平方根是，
故选：D．
9. 某种商品的进价为40元，出售时标价为60元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可打（ ）
A. 六折B. 六五折C. 七折D. 七五折
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设商店打x折销售，利用利润==销售价格−−进价，结合要保证利润率不低于，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设商店打x折销售，
依题意得：，
解得：，
∴最多可打七折．
故选：C．
10. 已知实数a，b，c满足：，，则下面结果正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式加减运用和不等式性质，熟练掌握不等式性质是解决问题的关键；
根据题意，将已知等式变形得与a的关系，再由不等式性质变形求解即可得到答案，
【详解】∵，
，
．
把代入中，得
．
解得．
∴，
∴ ．
综上，，，
故选：B．
二、填空题（共5小题，每题3分，满分15分）
11. 比较大小：______2．（填““”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数大小的比较，对于含有算术平方根的两个实数大小的比较，先比较两个被开方数的大小，则被开方数大的其算术平方根也大；或者先比较这两个数的平方，则平方数大的这个数也大．根据实数比较大小的方法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
故答案：．
12. 若，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查非负数的性质，解题关键是依据算术平方根和平方数的非负性，由两非负数和为0得出m、n的值．首先根据算术平方根和偶次方的非负性求出m和n，然后代入解答即可．
【详解】解：∵，， ，
，
解得，．
∴．
故答案为：．
13. 如图，有正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片_____张．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了用面积来表示多项式乘多项式乘法，掌握多项式乘法与纸片面积直角的关系是解答本题的关键．先求大长方形的面积，然后的系数即为C类卡片的张数．
【详解】解：∵
，
∴需C类卡片8张，
故答案为：8．
14. 已知，则代数式的值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方，求代数式的值等知识，先求出，然后根据幂的乘方法则、同底数幂相乘法则把变形为，然后把整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案：2．
15. 已知关于的不等式．
（1）当时，该不等式的解集为_____；
（2）若该不等式负整数解有且只有2个，则的取值范围是_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
（1）将n的值代入，解不等式即可；
（2）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有2个，即可得到关于n的不等式，然后求解即可．
【详解】解：（1）当时，
，
去括号，得：，
移项及合并同类项，得：，
故答案为：；
（2）由不等式，可得：，
∵该不等式的负整数解有且只有2个，
∴这3个整数解为，，
，
解得，
故答案为：．
三、解答题（共7小题，满分55分）
16. 计算．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算涉及零指数幂、负整数指数幂、算术平方根，乘方等概念，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据实数混合运算法则计算即可解答．
【详解】解：原式
．
17. 解不等式组：，并求出不等式组的整数解之和．
【答案】，0
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为，
∴不等式组的整数解之和为．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法运算，首先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，然后合并同类项完成化简，再将点的值代入求解即可．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
19. 观察下列各式：
第1个式子：；
第2个式子：；
第3个式子：；
…
（1）请根据以上规律，直接写出第4个式子：_____；
（2）写出猜想的第个等式（用含的式子表示），并说明其正确性．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了规律题，数字的变化以及完全平方公式，推理能力和运算能力．
（1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第4个等式；
（2）结合（1）即可写出第n个等式，然后计算证明即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得第4个式子：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：第个等式：，
证明：∵左边，右边，
∴左边=右边，
∴等式成立．
20. 已知的算术平方根是2，的立方根是，的整数部分为．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查算术平方根、平方根、立方根以及无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据算术平方根、立方根以及估算无理数的方法即可求出a，b，c的值；
（2）根据第（1）问求出的a，b，的值，先求得的值，即可求出的平方根．
【小问1详解】
解：∵的算术平方根是2，的立方根是，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴的整数部分；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∴的平方根为．
21. 任务背景：我校在世界读书日启动“书香校园”活动，我班在参与读书活动中，计划购进一些笔记本用于摘抄“好词好句”．
驱动任务：购买笔记本的最省钱方案．
【答案】任务一：最多可购买型笔记本个；任务二：购买型笔记本30个，型笔记本个；购买型笔记本31个，型笔记本个；购买型笔记本32个，型笔记本个；购买型笔记本30个，型笔记本个，最省钱．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
任务一：设购买型笔记本个，则购买型笔记本个，由购买费用不超过528元．列出一元一次不等式求解即可；
任务二：根据要求购买B型号的笔记本数不多于A型号笔记本数的，列出不等式，结合为正整数，即可得到购买方案，再计算出费用比较即可求解．
【详解】任务一：
解：设购买型笔记本个，则购买型笔记本个，
由题意可得：，
解得：，
答：最多可购买型笔记本个；
任务二：
解：由题意可得：，
解得：，
由任务一知，
则，
∵为正整数，
∴或或，
∴有三种购买方案：
购买型笔记本30个，型笔记本个，所需费用为（元）；
购买型笔记本31个，型笔记本个，所需费用为（元）；
购买型笔记本32个，型笔记本个，所需费用为（元）；
∵，
∴购买型笔记本30个，型笔记本个，最省钱．
22. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）；
图1表示：_____；
图2表示：_____．
（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若，，求的值；
②如果，，求的值；
③请直接写出下列问题答案：
如果，_____．
【答案】（1）；
（2）①；②5或；③7；
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用．
（1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；
（2）①将根据完全平方公式用含有，的式子表示出来，然后代入求值即可．②利用，代入求值即可，③利用代入求值即可；．
【小问1详解】
解：（1）图1中，由图可知，
，
由题意得，，
即，
故答案为：．
图2中，由图可知，，，
由题图可知，，
即，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
，，
；
解：①由图2可得，
，，
，
．
∴当时
，
当时
②由图1可得，
，
，
原式．
故答案为：7．
23. 若表示不超过的最大整数，设，那么______．
【答案】25
【解析】
【分析】本题考查取整函数的知识，平方根，难度较大，解答的关键是根据一般规律推导特殊性质的能力，利用规律进行求解．先写出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，，
原式，
，
，
故答案为：25．数据信息
信息一
购进A、B两种型号的笔记本．
信息二
已知A型号笔记本12元/个，B型号笔记本8元/个．
问题解决
任务一
我班计划购进A、B两种型号的笔记本共50本，且购买费用不超过528元，则最多可以购买A型号笔记本多少个?
任务二
在满足任务一的条件下，要求购买B型号的笔记本数不多于A型号笔记本数的，我班购进笔记本的方案有哪几种？哪种方案最省钱？
数据信息
信息一
购进A、B两种型号的笔记本．
信息二
已知A型号笔记本12元/个，B型号笔记本8元/个．
问题解决
任务一
我班计划购进A、B两种型号的笔记本共50本，且购买费用不超过528元，则最多可以购买A型号笔记本多少个?
任务二
在满足任务一的条件下，要求购买B型号的笔记本数不多于A型号笔记本数的，我班购进笔记本的方案有哪几种？哪种方案最省钱？