云南省临沧地区中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份云南省临沧地区中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合，，则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
，
，故选D.
2. 已知非零实数，满足，则“”是“，均为正数”的（ ）
A. 充分但非必要条件B. 必要但非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分条件也非必要条件
【答案】C
【解析】由题设，所以，易知，均为正数，充分性成立；
由，均为正数，则，
当且仅当时取等号，故，必要性成立；
所以“”是“，均为正数”的充要条件.故选：C
3. 设复数的共轭复数为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则.
由，得，
所以，即，.所以．故选：C
4. 已知关于平面向量，有下列四个命题：
①若，则存在，使得；
②若，则或；
③若，则；
④存在不全为零的实数，使得其中正确的命题是（ ）
A. ① ③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】A
【解析】对于①，根据共线向量基本定理知该命题正确；
对于②，，可能，而，
即，且时，满足要求，该命题错误；
对于③，若，则，化简得，
所以，故该命题正确；
对于④，当，且，且不共线时，只有，才能满足，
便不存在不全为的实数，使得，该命题错误；
故正确的命题是①③．故选：A．
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则
D. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为
【答案】D
【解析】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；
对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，
因为，所以，则或，B选项错误；
对于C ，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，
若，则，解得，C选项错误；
对于D，若直线l方向向量与平面的法向量的夹角为，
则直线l与平面所成的角为，D选项正确；故选：D.
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 方程表示过点且斜率为k的直线
B. 直线与y轴交点为，其中截距
C. 在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为
D. 方程表示过任意不同两点，的直线
【答案】D
【解析】对于A中，由表示过点且斜率存在，且不含点的直线，所以A不正确；
对于B中，直线与y轴交于一点，其中截距不是距离，截距为点的坐标，其值可正可负可为0，所以B不正确；
对于C中，当直线经过原点时，此时直线在坐标轴上的截距都是，
不能表示为，所以C不正确；
对于D中，方程为直线的两点式方程的变形，可以表示过任意两点，的直线，所以D正确.故选：D.
7. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】圆的方程为，即，圆心为，半径，
则表示圆上的点与点的连线的斜率，过点作圆的切线方程，
显然，切线斜率存在，设切线方程为，即．
则，解得，
所以的取值范围为．故选：C．
8. 已知，直线，为上的动点.过点作的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，.
故四边形的面积.
由圆得①，
圆心，半径，即.

要使四边形面积最小，即最小，又，即求的最小值.
当直线与垂直时，最小.
直线的斜率，则方程为即.
联立得，即.
中点，则四边形外接圆为②，
直线方程为①-②，即.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中点值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A. 考生参赛成绩的平均分约为分
B. 考生参赛成绩的第百分位数约为分
C. 分数在区间内的频率为
D. 用分层抽样从该校学生中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人
【答案】AC
【解析】对于选项A：由频率分布直方图可知考生的平均成绩为
，故A正确；
对于选项B：因为，，
可知第百分位数位于内，所以第百分位数为，故B错误；
对于选项C：分数在区间内的频率为，故C正确；
对于选项D：在区间应抽取人，故D错误．
故选：AC．
10. 如图，棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，则（ ）
A. 平面
B.
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
【答案】BCD
【解析】A：由题意，而平面，即平面不成立，错；
B：由、分别为、的中点，则，，
所以，则，易得，
由底平面为等边三角形，则，
而，都在平面内，则平面，
由平面，则，都在平面内，
所以平面，平面，，对；
C：为中点，连接，则，
故直线与所成角，即为直线与所成角，
由题设易知：，，则，对；
D：由，若到平面的距离为，且，
则，即，对.
故选：BCD
11. 设函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数是偶函数B. 函数的值域是
C. 值域为D. 函数是偶函数
【答案】AD
【解析】对于A，已知函数，
因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且，
则函数为偶函数，故A正确；
对于B，函数化为分段函数为
因为当时，，，
同理可得时，，
则函数的图像如图所示：
由图像可得函数的值域为，故B错误；
对于C，已知，令，，
，解得，
即，而函数的值域为，函数取不到，
即的值域中没有，C错误；
对于D，函数,
，
故是偶函数，故D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线，，与平面，，，给出下列命题：
①，；②，；
③，；④，.
其中正确的命题是__________填序号
【答案】①②
【解析】①，，由平行公理得出，故①正确；
②，，由面面平行的性质得出，故②正确；
③，或，故③错误；
④，或，故④错误．
故答案为：．
13. 过不同两点，的直线l的一个方向向量坐标为，则实数m的值为______________．
【答案】-2
【解析】由题知，，设直线的方向向量为，则，
即，得，解得或，
当时，，显然不满足题意，排除，当时，，符合题意.故答案为：
14. 以下四种表述正确的是__________填写正确表述的序号
①点在圆的内部，则的取值范围是
②圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
③曲线与曲线恰有三条公切线，则
④直线恒过定点
【答案】①②③
【解析】对于，因为点在圆的内部，
所以，解得：，即的取值范围是，故正确；
对于，圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
又因为，所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于，故正确；
对于，曲线即，
则圆心，半径为，曲线，即，
则圆心，半径为，两圆的圆心距为，
因为圆：与圆：有三条公切线，
则两圆属于外切的位置关系，所以，解得，故正确；
对于，直线即，
由，解得
所以直线过定点，故错误．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）当时，求的最值及取得最值时的值.
解：（1）
.
所以最小正周期为，
令，解得
所以函数的单调增区间为.
（2）因为，所以，
所以当时，的最大值为0，当时，的最小值为
所以当时，的最大值为0，当时，的最小值为
16. 2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰.
（1）若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望；
（2）已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率.
解：（1）设该选手初赛中答对题目数量为，的所有可能取值为
，，
，，
的分布列为：
该选手初赛中答对题目数量的期望.
（2）甲在决赛中总得分大于分的情况有以下三种情况：
得分（抢到次且答对次，答错次），
得分（抢到次且答对次，次没抢到），
得分（抢到次且答对次），
设甲每轮抢到题目且答对为事件，
抢到题目且答错的概率为事件，，
没抢到题目为事件，
得分的概率，
得分的概率，
得分的概率，
甲在决赛中总得分大于分的概率
17. 已知以点为圆心的圆被直线：截得的弦长为.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过与圆相切的直线方程；
（3）若是轴的动点，，分别切圆于，两点.试问：直线是否恒过定点？若是，求出恒过点坐标；若不是，说明理由.
解：（1）圆心到直线的距离为，
设圆的半径为，则，圆为.
（2）设过点的切线方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得或，
所以过点的切线方程为或；
（3）由题意，则，在以为直径的圆上，
设，则以为直径的圆的方程：.
即，
与圆：，联立得：，
令得，，
故无论取何值时，直线恒过定点.
18. 如图，在直三棱柱中，已知，，，.是线段的中点.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求二面角的余弦值.
解：（1）因为在直三棱柱中，，所以分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，
因为是的中点，所以，因为，
设平面的法向量，
则，即，取，
所以平面的法向量，而，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（2），，设平面的法向量，
则，即，取，平面的法向量，
所以，
由图可知，二面角为钝角，所以其余弦值．
19. 已知圆C：关于直线对称，且圆心在x轴上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；
②求证：直线AB恒过定点．
（1）解：圆C的方程的圆心坐标为，半径，
由圆心在x轴上，圆关于直线对称得到，，，
，，所求圆C的标准方程为．
（2）解：如下图所示，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B，
，，，
，
当最小时，四边形的面积最小，
当点M在x轴上时，此时S的最小值为．
证明：设点，四点MBCA共圆，即点A、B在以CM为直径圆上，
该圆的圆心为，半径为，
，即，
是圆C与以MC为直径的圆的公共弦，
直线AB的方程为两圆公共弦方程，两圆方程联立消去二次项，得到，
时，，
无论m取何值直线恒过点．
0
1
2
3