浙江省温州市新力量2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

这是一份浙江省温州市新力量2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高二数学学科 试题
命题学校：大荆中学审题学校：温十四高
考生须知：
本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单项选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知集合U  {1,2,3,4}, M  {1,2}, N  {2,3}, 则CU (M ∪ N )  （）
{2}
{4}
{1,2,3}
{1,3,4}
已知向量 a  (1,0), b  (1,1), 若(a  b)  b, 则 （）
1
B.1
C.  2
D.2
已知 m  n  0, 下列不等式一定成立的是（）
m  m  2
m  1  n  1C.m  1  n  1
D. 2m  n  m
nn  2
nmnm
m  2nn
0
生物学上，J 型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为 N  N t , 其中 N0 是初始个体数， N 为最终个体数.若某种群在该模型下，个体数由 100 增长至 120 消耗了 10
天，则个体数由 120 增长至 160 消耗的时间大约为（）（参考数据： lg 2  0.3, lg 3  0.48 ）
A.17
B.16
C.15
1
D.14
在平行四边形 ABCD 中， P 是线段 BD 上一点， AM 
AP // MN ，则 x  （）
MB, BN  2NC, AP  x AB  y AD. 若
3
A. 8
17
B. 9
17
C.10
17
D. 11
17
一个袋子中有完全相同的 x 个红球，3 个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的 2
1
个球都是红球的概率是. 现采取放回方式从中依次摸出 3 个球，求恰有两次抽出红球的概率为
10
（）
36
125
12
125
12
25
4
25
已知一函数 f (x)  ( 1 )|x|  x2 ，其定义域为(4,4) ，则满足不等式 f (x)  f (2x 1)  0 的 x 的取
2
值范围为（）
A.(1, 1)
B.( 5 ,1)
C.( 5
, 1) ∪
(1, 3)
D.( 5 ,1) ∪ ( 1 , 3)
322 3223 2
已 知 f (x) | lga x |, a  1, 记 集 合 A  {x  R | f (x)  1}, B  {x  R | f ( f (x)  b)  1}, 若
A  B ，则实数 a 的取值范围为（）
A.[
3 1 ,)
2
3
B.[,) 2
C.[
6 1 ,)
2
D.[
5 1 ,)
2
二、多项选择题：（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6 分，有错误的得 0 分，部分选对得部分分）
已知l1, l2 是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
若l1 //且// , 则l1 // 
C. 若l1 不垂直于，且l2 ，则l1 必不垂直于l2
已知 a  0, b  0 ，则下列说法正确的是（）
B. 若 m  , n //, m, n 共面，则 m // n
D. 若l1 且// , 则l1  
A.若a  b  4, 则 ab 的最大值为 4
B.a2 
4
a2  3
的最小值为 1
C. 若 ab  a  b  3, 则 ab  9D.若a  2b  ab  30, 则 2a  b 的最小值为 11
已知在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中， AA1  2, 点 M 为 A1D1 的中点，点 P 为正方形 A1B1C1D1 内一点（包含边界），下列说法正确的是（）
若点 P 是 A1B1 中点，则 M , P, B, D 四点共面B. 存在点 P ，使得直线 BP 与 AA1 所成角为60∘
若直线 BP // 平面 AMB1 ，则三棱锥 P  AMB1 的体积为定值
若 BP 
6, 那么 P 点的轨迹长度为 2 
4
非选择题部分
三、填空题：（本大题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分）
已知 z(2  i)  1 3i, 则| z | .
3
已知一底面边长为 2的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为.

已知函数 f (x)  sin(2x  )  cs 2x( 0) 在区间[,] 内不存在零点，则的取值范围
62
是.
四、解答题：（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
4 cs4 x  4 cs2 x 1
已知函数 f (x) 

2
2 tan(
4

x) cs (
4
.
x)
求 f (x) 的最小正周期和值域；
1
先将 f (x) 的图象向左平移 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 ，得到 g(x)
62
的图象，求 g(x) 的单调递增区间.
已知 a, b, c 分别为△ABC 角 A, B, C 的对边， cs A cs B  cs C  sin 2 C  sin 2 A  sin 2 B.
（1）求C ；
（2）若 a  2, b  5, 点 D 在边 AB 上，且CD 是ACB 的角平分线，求 S△ ACD .
为迎接新一年五四青年节，某中学举办了一次名为《回首辉煌路，做好接班人》的党团史竞赛并
计划对成绩前 10%的学生进行颁奖试卷满分为 100 分，所有学生成绩均在区间[40,100] 分内．已知
该校高一、高二、高三年级参加的学生人数分别为 200、250、300 .现用分层抽样的方法抽取了 75 名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图．
根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数、平均数以及得奖的最低分数；
已知所抽取各年级答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成
绩的方差为 80，求高三年级学生成绩的平均数 x 和高二年级学生成绩的方差 s2 ．
32
已知平行六面体 ABCD  A1B1C1D1 如图所示，
3AB  3AA  6 AD 6 A B, ABC  ADD  120∘.
111
1
求证： BD  平面ADD1 A1;
若 DE  3 DC1 , 求二面角 A  A1B  E 的余弦值.
x2 1,

已知函数 f (x)    2x,
x  0,
x  0,
g(x)  2
1 x2 .
若 f (x)  g(x), 求 x 的取值范围.
a(a  b),

记max{a, b}  b(a  b). 已知函数 y  max{ f (x), g(x)}  ax  2 有 k 个不同的零点.
（i）若 k  2, 求 a 的取值范围；（ii）若 k  3, 且,是其中两个非零零点，求
范围.
1
||
的取值
1
| |
一、选择题
2024 学年第二学期温州新力量联盟期末联考
高二数学学科参考答案
命题学校：大荆中学审题学校：温十四高
二、多选题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
C
B
A
D
D
题号
9
10
11
答案
BD
ACD
AC
三、填空题
2
12.
四、解答题
20
(2 cs2 x 1)2
(0,
1) ∪ ( 2 , 5)
33 6
15.（1） f (x) 

2 sin(
4


x) cs(
4
 x)
.2 分
cs2 2x

 cs2 2x 
cs 2x
cs 2x .4 分
sin(
2
 2x)
所以 f (x) 的最小正周期和值域分别为和[1,1]
)
（ 2 ） 先向左平移 个单位得到 y  cs(2x  
.6 分
1
， 再将横坐标缩小到原来的 得到
6
g(x)  cs(4x  
32
.9 分（有一处变换错误给 1 分）
). 3
求 g(x) 的单调递增区间即令 4x  [ 2k,2k], k  Z.
3
.11 分
解得 x [ k ,   k ], k  Z.
.13 分（ k  Z 漏写不扣分）
32122
16.（1） cs A cs B  cs C  sin 2 C  sin 2 A  sin 2 B.
可化为cs A cs B  cs( A  B)  sin 2 C  sin 2 A  sin 2 B.
.3 分
所以sin 2 C  sin 2 A  sin 2 B  sin Asin B
由正弦定理可得c2  a2  b2  ab ，所以cs C   1 , C  2.
.5 分
.7 分
23
（2）三角形如右图所示.
由CD 是ACB 的角平分线得ACD  BCD  ,
3
.8 分
1 AC  CD sin ACD
法一： S△ ACD  2  AC  5 ,
.11 分
S△ BCD
1 BC  CD sin BCD
2
BC2
又 S△ ABC  S△ ACD  S△ BCD,
.13 分
所以 S
ACD  5 S ABC  5  1 ac sin ACB  25 3
.15 分

△7 △7214
法二：利用等面积法求出CD  10
7
.13 分
S ACD  5 S ABC  1 AC  CD sin ACD  25 3
.15 分
△7 △214
17（1）众数：65；2 分
平均数 x  45 0.06  55 0.12  65 0.4  75 0.26  85 0.1 95 0.06  695 分
所求为90% 分位数，可知 80 为84% 分位数，所求在[80,90) 内， 80 
6 10  86 ，故获
10
奖的最低分数为 86 分8 分
（2）根据频率分布直方图，
75 4  69  1  x  2  69, x
 65,
.11 分
153353
4 [(75  69)2  75]  1 [(69  69)2  s2 ]  2 [(65  69)2  55]  80, s2  6615 分
153252
18.（1）证明：在平行六面体 ABCD  A1B1C1D1 中，3AB  3AA1  6 AD 6 A1B, 不妨设
6
AB  AA1  2, 则 AD  1, A1B 2 分
1
根据ABC  ADD1  120∘ , 可得A AD  BAD  60∘ ,
证得 A1D  AD, AD  BD .4 分
在△A1BD 中， A1D  DB 3, A1B 6, BD  A1D,
又 A1D ∩ AD  D, BD  平面ADD1 A1
.6 分
（2）如图所示建立空间直角坐标系7 分
如图， D(0,0,0) , A(1,0,0) , B(0, 3,0) , A1 (0,0, 3) ,
C(1,
3,0) , C1(2,
3, 3)
.9 分
AB  (1, 3,0), AA1  (1,0, 3)11 分
 x1 3 y`  0
设平面 A1 AB 的法向量为 n1  (x1 , y1 , z1 ), 则 x 
,
3z  0
则 n1  (
3,1,1)
1`
.13 分
DC  (2, 3, 3), DE  ( 2 ,3 ,3 ), 则 E( 2 ,3 ,3 ), A E  ( 2 ,3 , 2 3 ),
1333
3331
333
A1B  (0,
3,
3) 设平面 A1BE 的法向量为n2  (x2 , y2 , z2 ), 则
3
 2
2
x 
 33
y2 3
n
z2  0, 则
2
 (
3 ,1,1)
2
.15 分
2 3
3 y2  3z2  0
设二面角 A  A B  E 的平面角为，且为锐角，则cs | n1  n2 | 5517 分
1
19（1）由题意得函数 g(x) 的定义域为[1,1],
| n1
|| n2 |55
1 x2
1 x2
当 x [0,1] 时，不等式 f (x)  g(x) 等价于 x2 1  2
，显然满足条件；2 分
当 x [1,0)
时 ， 不 等 式
f (x)  g(x)
等 价 于
 2x  2
， 即 2x2  1, 解 得
2  x  0.
2
.4 分
综上所述，当 x [
2 ,1] 时， f (x)  g(x) 成立.5 分
2
（2）（i）令
2
2
 f (x),1  x  ,
2
h(x)  max{ f (x), g(x)}  

 g(x),
2
 x  1.
原题转化为 h(x)  ax  2 的实根个数问题.
当1  x  
2 时，即为 f (x)  ax  2, 所以 2x  ax  2 至多一个实根①；
2
1 x2
当2  x  1时，即为 g(x)  ax  2, 所以 2 2
 ax  2 至多两个实根②.
由①知， x 
 2
a  2
[1,
), 解得0  a  2
2
2
2
 2,
由②知，x  0或x 
 4a a2  4
[
,1], 解得 a  2
2
2
2
 2或a  2
 2, 且a  0.
.8 分
2
当 k  2 时，若a  0 ，则有两个零点 0 和-1，符合题意.
当 a  0 时，①无实根，则 x 
4a a2  4
 1，化简得(a  2)2  0, 则 2  a  0, 符合题意.
2
当 a  0 时，若0  a  2
2 ，则有三个不等实根，不合题意.若 a  2 2 ，两实根分
2
别为 0 和
2 , 若 a  2 2 ，仅有一个零点，不合题意.
2
2
2
综上所述，当k  2 时， a [2,0] ∪{2
2}.
.11 分
2
(ii)由（i）得当k  3 时， 0  a  2 2 ，三个零点分别为  2 ,  4a ,0,
a  2 a2  4
2
显然, 0, 所以 1  1  3 a  1 1, a (0,2 2).14 分
||| |4a
2
函数 y  3 a  1 1在(0,2 2) 上单调递减，解得 1  1 (2 2,).17 分
4a||| |