2020-2021学年浙江省温州市新力量联盟高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省温州市新力量联盟高二（下）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省温州市新力量联盟高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（　　）
A．（0，2） B．（0，1） C．（1，2） D．∅
2．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．10 D．12
3．（4分）在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
5．（4分）已知数列{nan}是正项等比数列，a1＝2，a2＝4，则a4＝（　　）
A．32 B．24 C．6 D．8
6．（4分）函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）设P为双曲线C：1上的点，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，16，则△PF1F2的面积为（　　）
A． B． C．30 D．15
8．（4分）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0
B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2
D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
9．（4分）已知点集S＝{（x，y）|（x﹣cos2α）2+（y﹣sin2α）2≤2，α∈R}，当α取遍任何实数时，S所扫过的平面区域面积是（　　）
A．2π B．4+2π C．2+π D．4+π
10．（4分）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（　　）

A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1AP
C．∠APD1的最大值为90° D．AP+PD1的最小值为
二、填空题：本题共7小题，其中11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分．
11．（6分）已知直线l1：2x+ay+3a＝0，l2：（a﹣1）x+3y+7﹣a＝0，若l1∥l2，则a＝　 　；若l1⊥l2，则a＝　 　．
12．（6分）已知向量、为单位向量，，若，则|＝　 　；与所成角的余弦值为 　 　．
13．（6分）若a＝log23，b＝log34，则4a＝　 　；log2a+log2b＝　 　．
14．（6分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosC+ccosA＝2bcosB，且a+c＝8，则角B＝　 　，AC边上中线长的最小值是 　 　．
15．（4分）已知函数f（x）＝ax﹣x2+3，g（x）＝4x﹣2，若对于任意x1，x2∈（0，1]都有f（x1）≥g（x2）成立，则a∈　 　．
16．（4分）已知a，b∈R+且1，则的最大值为 　 　．
17．（4分）如图，点F为椭圆C：的左焦点，直线y＝kx分别与椭圆C交于A、B两点，且满足FA⊥AB，O为坐标原点，∠ABF＝∠AFO，则椭圆C的离心率e＝　 　．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若角，，求的值．
19．（15分）已知四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°．现将△ABD沿BD边折起使得平面ABD⊥平面BCD，此时AD⊥CD．点P为线段AD的中点．
（1）求证：BP⊥平面ACD；
（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值．

20．（15分）已知两个正项数列{an}和{bn}．其中{an}是等差数列，且满足a1＝1，a2，a3+1，a4+6三个数成等比数列．b12+b22+b32+⋯+bn2＝nan，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{cn}满足，cn•（bn+bn+1）＝6，n∈N*．求数列{cn}的前n项和Tn．
21．（15分）过圆O：x2+y2＝4上的点作圆O的切线l，若直线l过抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点F．
（1）求直线l与抛物线E的方程；
（2）是否存在直线y＝kx+2与抛物线E交于A、B与圆O交于C、D，使|AB|＝4|CD|，若存在，请求出实数k的值；若不存在，说明理由．
22．（15分）设a∈[0，4]，已知f（x），x∈R．
（1）若f（x）是奇函数，求a的值；
（2）当x＞0时，证明：f（x）x﹣a+2；
（3）设对任意的x1，x2∈R及任意的a∈[0，4]，存在实数m满足f（x1）•f（x2）＝m，求m的范围．

2020-2021学年浙江省温州市新力量联盟高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（　　）
A．（0，2） B．（0，1） C．（1，2） D．∅
【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x﹣1＜1}＝{x|0＜x＜2}，
∴A∩B＝（0，1）．
故选：B．
2．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．10 D．12
【解答】解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，2），
化目标函数z＝3x+2y为yxz，
由图可知，当直线yxz过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值：10．
故选：C．

3．（4分）在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为在△ABC中，角A与角B都大于0小于180度，而余弦函数在区间0度到180度上是减函数，则 A＞B可直接推出cosA＜cosB．所以，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充分条件．
同理由余弦函数在0度到180度上是减函数，则cosA＜cosB可直接推出 A＞B．
所以，“A＞B”也是“cosA＜cosB”的必要条件．
故选：C．
4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．
如图所示：
故该几何体的体积为：V．
故选：C．

5．（4分）已知数列{nan}是正项等比数列，a1＝2，a2＝4，则a4＝（　　）
A．32 B．24 C．6 D．8
【解答】解：设正项等比数列{nan}的公比为q（q＞0），
令bn＝nan，则b1＝a1＝2，b2＝2a2＝2×4＝8，
所以q4，所以b4＝4a4＝b1q3＝2×43，
所以a4＝2×42＝32．
故选：A．
6．（4分）函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：f（﹣x）f（x），则f（x）是偶函数，
则图象关于y轴对称，排除B，D，
f（x）≥0恒成立，排除C，
故选：A．
7．（4分）设P为双曲线C：1上的点，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，16，则△PF1F2的面积为（　　）
A． B． C．30 D．15
【解答】解：由双曲线的方程可得a2＝16，b2＝9，所以a＝4，b＝3，
所以c2＝a2+b2＝25，所以c＝5，
由题意可得||PF1|﹣|PF2||＝2a＝8，
设，θ
因为16，所以||||•cosθ＝16，
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cosθ＝（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF1||PF2|﹣2|PF1||PF2|cosθ，
即100＝64+2|PF1||PF2|﹣32，
所以|PF1||PF2|＝34，
所以cosθ，所以sinθ，
所以S|PF1||PF2|•sinθ3415，
故选：D．
8．（4分）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0
B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2
D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；
若a1+a3＜0，则a1+a2＝2a1+d＜0，a2+a3＝2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；
{an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2＝a1+a3＞2，∴a2，即C正确；
若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝﹣d2≤0，即D不正确．
故选：C．
9．（4分）已知点集S＝{（x，y）|（x﹣cos2α）2+（y﹣sin2α）2≤2，α∈R}，当α取遍任何实数时，S所扫过的平面区域面积是（　　）
A．2π B．4+2π C．2+π D．4+π
【解答】解：S＝{（x，y）|（x﹣cos2α）2+（y﹣sin2α）2≤2，α∈R}
表示的图形是以（cos2α，sin2α）为圆心，半径为的圆的内部，
因为sin2α+cos2α＝1，
所以令x＝cos2α，y＝sin2α，则x+y＝1，
所以圆心在如图所示的线段AB上，
当α取遍任何实数时，S所扫过的平面区域为四边形CDEF，和两个半圆，
因为CD＝2，AB＝CF，
所以S＝π×（）2+24+2π，
故选：B．

10．（4分）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（　　）

A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1AP
C．∠APD1的最大值为90° D．AP+PD1的最小值为
【解答】解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正确
∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，
∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正确；
当0＜A1P 时，∠APD1为钝角，∴C错；
将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，

在△D1A1A中，∠D1A1A＝135°利用余弦定理解三角形得AD1，
即AP+PD1，
∴D正确．
故选：C．
二、填空题：本题共7小题，其中11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分．
11．（6分）已知直线l1：2x+ay+3a＝0，l2：（a﹣1）x+3y+7﹣a＝0，若l1∥l2，则a＝　3　；若l1⊥l2，则a＝　　．
【解答】解：直线l1：2x+ay+3a＝0，l2：（a﹣1）x+3y+7﹣a＝0，
若l1∥l2，则，解得a＝3；
若l1⊥l2，则2（a﹣1）+3a＝0，即a．
故答案为：3；．
12．（6分）已知向量、为单位向量，，若，则|＝　　；与所成角的余弦值为 　　．
【解答】解：由可得||²＝||²＝||²+4||+41+4+47，所以||；
设与所成的角为θ，则cosθ，
故答案为：，．
13．（6分）若a＝log23，b＝log34，则4a＝　9　；log2a+log2b＝　1　．
【解答】解：∵a＝log23，
∴2a＝3，
∴4a＝（2a）2＝9，
又b＝log34，
∴，
∴log2a+log2b＝log2ab＝log22＝1．
故答案为：9，1．
14．（6分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosC+ccosA＝2bcosB，且a+c＝8，则角B＝　　，AC边上中线长的最小值是 　　．
【解答】解：（1）∵acosC+ccosA＝2bcosB，
∴由正弦定理，可得sinAcosC+sinCcosA＝2sinBcosB，即sin（A+C）＝sinB＝2sinBcosB，
又∵B∈（0，π），
∴sinB≠0，cosB，
∴B．
（2）∵D为BC的中点，
∴，
∴12，
当且仅当a＝c时，等号成立，取得最小值，
∴，
∴AC边上的中线长的最小值为．
故答案为：．
15．（4分）已知函数f（x）＝ax﹣x2+3，g（x）＝4x﹣2，若对于任意x1，x2∈（0，1]都有f（x1）≥g（x2）成立，则a∈　[0，+∞）　．
【解答】解：∵f（x）＝ax﹣x2+3，g（x）＝4x﹣2，对于任意x1，x2∈（0，1]都有f（x1）≥g（x2）成立，
即f（x1）min≥g（x2）max，
∵g（x）＝4x﹣2在（0，1]上单调递增，
∴g（x）max＝g（1）＝2，
∴ax﹣x2+3≥2对于任意x∈（0，1]恒成立，
即a≥x对于任意x∈（0，1]恒成立，
又h（x）＝x在区间（0，1]上单调递增，
∴h（x）max＝h（1）＝1﹣1＝0，
∴a≥0，
故答案为：[0，+∞）．
16．（4分）已知a，b∈R+且1，则的最大值为 　3﹣2　．
【解答】解：由a，b∈R+且1，得a+b＝（a+b）（）＝33+23+2，
当且仅当，时，a+b取得最小值，
∴的最大值为3﹣2．
故答案为：3﹣2．
17．（4分）如图，点F为椭圆C：的左焦点，直线y＝kx分别与椭圆C交于A、B两点，且满足FA⊥AB，O为坐标原点，∠ABF＝∠AFO，则椭圆C的离心率e＝　　．

【解答】解：设|OA|＝x，根据对称性可知|OB|＝x，
在Rt△OAF中，，
在Rt△AFB中，，
设椭圆的右焦点为F′，由椭圆的对称性可知|AF|+|BF|＝|AF|+|AF′|＝2a，
即（1），
又因为∠ABF＝∠AFO，所以△AFO∽△ABF，所以，
即 （2），
联立（1）（2）可得．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若角，，求的值．
【解答】解：．
（Ⅰ）．
∵y＝sinx在上递增，
∴当时f（x）递增，
即f（x）的单调递增区间是．
（Ⅱ），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．（15分）已知四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°．现将△ABD沿BD边折起使得平面ABD⊥平面BCD，此时AD⊥CD．点P为线段AD的中点．
（1）求证：BP⊥平面ACD；
（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形
因为P为AD的中点，所以BP⊥AD，
取BD的中点E，连结AE，则AE⊥BD，
因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD，
又CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD，
又因为CD⊥AD，AD∩AE＝A，AE，AD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，
因为BP⊂平面ABD，所以CD⊥BP，
又因为CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ACD，
所以BP⊥平面ACD；
（2）解：由（1）可知CD⊥BD，取BC的中点F，则EF⊥DE，即EA，EF，ED两两垂直，
以E为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面BPC的法向量为，
则，即，
令x＝1，则，故，
又，
所以，
故MP与平面BPC所成角的正弦值为．

20．（15分）已知两个正项数列{an}和{bn}．其中{an}是等差数列，且满足a1＝1，a2，a3+1，a4+6三个数成等比数列．b12+b22+b32+⋯+bn2＝nan，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{cn}满足，cn•（bn+bn+1）＝6，n∈N*．求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）{an}是等差数列，且满足a1＝1，a2，a3+1，a4+6三个数成等比数列．
所以，
整理得（1+2d+1）2＝（1+d）（1+3d+6）．
∴4（d+1）2＝（1+d）⋅（3d+7）．
易知d＞0，
∴4d+4＝3d+7d＝3，
∴an＝3n﹣2，
由于
当n＝1时，，
∴b1＝1．
当n≥2时，．
∴对n＝1也成立．
∴．
（Ⅱ），
∴．
∴．
21．（15分）过圆O：x2+y2＝4上的点作圆O的切线l，若直线l过抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点F．
（1）求直线l与抛物线E的方程；
（2）是否存在直线y＝kx+2与抛物线E交于A、B与圆O交于C、D，使|AB|＝4|CD|，若存在，请求出实数k的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）显然切线l的斜率存在，设切线的方程为：y﹣1＝k（x），
即kx﹣yk+1＝0，
所以圆心O到直线l的距离d，由题意可得2，
解得：k，所以切线l的方程为：x+y﹣4＝0，
由抛物线的方程可得焦点，令直线l的x＝0，可得y＝4，所以，
所以抛物线E的方程：x2＝16y．
（2）假设存在y＝kx+2，则圆心（0，0）到直线y＝kx+2的距离．
∴，
，所以，
所以．
由题意4•4，
解得k＝±1或．
所以存在这样的k值满足条件，且为：k＝±1或．
22．（15分）设a∈[0，4]，已知f（x），x∈R．
（1）若f（x）是奇函数，求a的值；
（2）当x＞0时，证明：f（x）x﹣a+2；
（3）设对任意的x1，x2∈R及任意的a∈[0，4]，存在实数m满足f（x1）•f（x2）＝m，求m的范围．
【解答】解：（1）由f（x）为奇函数，可知f（0）＝0，∴a＝0．
当a＝0时，f，．
∴f（x）为奇函数，
∴a＝0．
（2）证明：令，
则g（x）
，
∴．
（3）先求的值域．
根据yx2﹣4x+y+a＝0，Δ＝16﹣4y（y+a）≥0⇒y2+ay﹣4≤0，
解得，
∴．
又任意的a∈[0，4]，当a＝4时，max＝12+8，
∴，
∴，即m∈[﹣4，12+8]．
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