专题03 分式-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）（原卷版+解析版）

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考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢
重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺
难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升
复习提升：真题感知+提升专练，全面突破
核心考点聚焦
1、分式有意义的条件
2、分式化简求值
3、解分式方程
4、分式的求值
5、根据分式方程解的情况求值
6、分式方程的应用
中考考点聚焦
一．解分式方程的步骤
解分式方程基本步骤：①去分母；②解整式方程；③验根
分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值；
分式方程会无解的几种情况
①解出的x的值是增根，须舍去，无解
②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解
③同时满足①和②，无解
求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤：
①让最简公分母为 0 确定增根；
②去分母，将分式方程转化为整式方程；
③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）；
④解含参数字母的方程的解。
二．与分式方程的解有关的问题
1.由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：
①根据未知数的范围求出字母的范围；
②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；
③综合①②，求出字母系数的范围.
2.依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：
1)先将分式方程转化为整式方程;
2)由题意求出增根;
3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.
三．分式方程的应用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
【题型1解分式方程】
1．（2025八年级下·全国·专题练习）解方程：
(1)xx−2=8x2−4+1； (2)4−xx−3=13−x−2．
【答案】(1)无解
(2)x=1
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题的关键．
（1）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即可解题；
（2）解题方法与（1）类似．
【详解】（1）解：xx−2=8x2−4+1
化为整式方程得，xx+2=8+x2−4，
去括号得，x2+2x=x2+4，
移项、合并同类项得，2x=4，
系数化为1得，x=2，
检验：把x=2代入x2−4=4−4=0，
∴x=2是原方程的增根，原方程无解；
（2）解：4−xx−3=13−x−2
化为整式方程得，4−x=−1−2x−3，
去括号得，4−x=−1−2x+6，
移项、合并同类项得，x=1，
检验：把x=1代入x−3=1−3=−2≠0，
∴x=1是原方程的解．
2．（2025八年级下·江苏·专题练习）解方程．
(1)2x=3x−1； (2)2x2−4−x2−x=1．
【答案】(1)x=−2
(2)x=−3
【分析】本题考查了分式方程的计算，熟知运算法则是解题的关键．
（1）先去分母，再计算一元一次方程即可；
（2）先去分母，再计算一元一次方程即可．
【详解】（1）解：2x=3x−1，
方程两边同乘xx−1，得2x−1=3x，
解得：x=−2，
检验：x=−2时，xx−1≠0，
∴x=−2是该分式方程的解；
（2）解：2x2−4−x2−x=1
方程两边同乘x+2x−2，得2+xx+2=x2−4，
解得：x=−3，
检验：x=−3时，x+2x−2≠0，
∴x=−3是该分式方程的解．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）解方程：
(1)x−3x−2+1=32−x； (2)1x−1−2x+1=4x2−1．
【答案】(1)x=1
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，熟知分式方程需检验是解题的关键．
（1）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解；
（2）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解．
【详解】（1）解：x−3x−2+1=32−x，
∴x−3+x−2=−3，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x−2≠0，
∴x=1是原分式方程的解．
（2）解：1x−1−2x+1=4x2−1，
∴x+1−2x−1=4，
解得：x=−1，
经检验，x=−1时x2−1=1−1=0，
∴原方程无解．
【题型2分式化简求值】
1．（2025·山东济宁·二模）若关于x的方程2xx−2+m2−x=1的解为正数，则m的值可以为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键．
先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可．
【详解】解：由2xx−2+m2−x=1，
去分母得：2x−m=x−2，
解得：x=m−2且x≠2，
∵关于x的方程2xx−2+m2−x=1的解是正数，
∴m−2>0且m−2≠2，解得：m>2且m≠4，
∴m的值可以为3，
故选：C．
2．（2025·重庆·一模）先化简再求值：1+x+1x−1÷x2+xx2−2x+1+2−2xx2−1，其中x是从−1，0，2中选取的一个合适的数．
【答案】2x−4x+1；0
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再选取合适的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=2xx−1×x−12xx+1+21−xx+1x−1，
=2x−1x+1−2x+1，
=2x−4x+1，
∵x≠0且x≠−1，
∴当x=2时，原式=2×2−42+1=0，
3．（2025·江西赣州·二模）先化简，再求值：1−1a+2÷a2−1a2+4a+4，其中a=2．
【答案】a+2a−1，4
【分析】本题主要考查分式的化简求值，根据分式的减法法则，除法法则把原式化简，再把a=2代入计算即可．
【详解】解：1−1a+2÷a2−1a2+4a+4
=a+2−1a+2⋅a+22a+1a−1
=a+2a−1．
把a=2代入得：原式=2+22−1=4
4．（2025·广东深圳·二模）先化简，再求值：1x+2+1x−2÷2x2−4xx2−4x+4，再从−2，0，1，2中，选个合适的值作为x代入求值．
【答案】1x+2；13
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，然后从−2，0，1，2中，选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：原式=1x+2+1x−2⋅x2−4x+42x2−4x
=1x+2+1x−2⋅x−222xx−2
=2xx+2x−2⋅x−222xx−2
=1x+2，
∵x+2≠0,x−2≠0,x≠0，
∴−2，0，1，2中，只有x=1符合题意，
当x=1时，原式=13．
5．（2025·广东深圳·二模）下面是小甜化简分式1x+1+xx+1÷x2−xx2−1的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
(1)化简过程中，从第__________（填序号）步开始出现错误．错误的原因是____________________．
(2)请写出正确的化简过程，并求出当x=−2时，该代数式的值．
【答案】(1)①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则
(2)x+2x+1；0
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则．
（1）按照混合运算的运算顺序进行判断即可；
（2）先进行分式的除法运算，然后再进行分式的加减，最后代数求值即可．
【详解】（1）解：从第①步开始出现错误，
未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
（2）解：原式=1x+1+xx+1⋅(x−1)(x+1)x(x−1)=1x+1+1=x+2x+1，
当x=−2时，原式=0．
【题型3 根据分式解的情况求值】
1．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知关于x的分式方程xx−1−4=m1−x．
(1)若方程的解为x=−1，求m的值．
(2)若方程的解为非负数，求m的取值范围．
【答案】(1)m=−7
(2)m≥−4且m≠−1
【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，解题的关键是注意分式方程隐含的分母不为零．
（1）把方程的解代入方程求解即可；
（2）根据分式方程的求解方法，注意分母不为零，且解为非负数的条件．
【详解】（1）解：当x=−1时，−1−1−1−4=m1+1，
解得m=−7．
（2）解：xx−1−4=m1−x，
去分母得x−4x−1=−m，
解得x=m+43，
∵分式方程有解且解为非负数，且x≠1，
∴m+43≥0且m+43≠1，
解得m≥−4且m≠−1．
2．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）关于x的分式方程：xx−3=6−m3−x．
(1)当m=2时，求此时方程的解．
(2)若这个方程xx−3=6−m3−x的解为正数，求m的取值范围．
【答案】(1)x=−4
(2)m>6且m≠9
【分析】此题主要考查了解分式方程及不等式的解法，注意解分式方程要进行检验是解题关键．
（1）直接利用解分式方程的方法求解即可；
（2）先解分式方程，然后依据题意求解不等式即可．
【详解】（1）解：当m=2时，分式方程为xx−3=43−x，
方程两边同乘(x−3)，
解得x=−4，
检验：当x=−4时，x−3≠0，
所以当m=2时，
分式方程的解为x=−4；
（2）xx−3=6−m3−x，
方程两边同乘(x−3)，
解得x=m−6，
这个方程xx−3=6−m3−x的解为正数，
∴m−6>0且m−6≠3，
解得m>6且m≠9．
【题型4 分式方程的应用】
1．（2025·山东济南·二模）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布DeepSeek−V3模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元
(2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键：
（1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出m的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为x+200元．
根据题意，得4000x+200=2400x，
解得x=300，
经检验，x=300是所列分式方程的解，
300+200=500(元)．
答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元．
（2）设购买A型机器人m台，则购买B型机器人40−m台．
根据题意，得40−m≤3m，
解得m≥10．
设共花费w元，则w=0.8×500m+0.8×30040−m=160m+9600，
∵k=160>0，
∴w随m的减小而减小，
∵m≥10，
∴当m=10时，w值最小．
w最小=160×10+9600=11200，
40−10=30(台)．
答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元．
2．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
(1)求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
(2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的3倍，问此次购进最少要花多少钱？
【答案】(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元
(2)3000元
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
（1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是2x元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入2x中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价；
（2）设购进A种哪吒玩偶a个，则购进B种哪吒玩偶80−a个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的3倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为x元，则B种哪吒玩偶的单价为2x元．
根据题意，得：300x+3002x=15
解得：x=30
经检验：x=30是原分式方程的解
∴B种：2×30=60元
答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元．
（2）解：设购进A种哪吒玩偶a个，则购进B种哪吒玩偶80−a个
根据题意，得：0