上海市长征中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份上海市长征中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时长：90分钟 卷面总分：100分
一、填空题(本大题共有 12题，满分 36分 ，每小题满分3 分)
1.函数的值域是 .
2.函数的最小正周期是 .
3.在菱形中, .
4.已知，如果, 则 .
5.已知则 .
6. 已知，则 .
7.已知角终边上有一点,则 .
8.某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和某日两个观测点的林场人员都观测到处出现火情 .在A处观测到火情发生在北偏西40°方向，而在处观测到火情在北偏西60°方向 .已知在的正东方向10km处(如图所示)，则 .km. (精确到0.1km )
9.已知函数的部分图像如图所示，则的值为 .

10.若则 .
11. 已知函数在内为严格减函数
函数的一条对称轴，且函数为奇函数 ，则函数的表达式为 .
12.莱洛三角形也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为，点为上的一点，则的最小值为 .
二、选择题(本大题满分14分，其中第13、14题每题3分，第15、16题每题4分)
13. 关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为( )
A .最大值是，最小值是 B.最大值是,最小值是
C.最大值是，最小值是 D.没有最大值，最小值是
14.在中,若，则是 ( )
A .直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
15.如图，非零向量且,为垂足,若，则 ( )

16.已知是两个不共线的单位向量，向量. “”是的( )
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C .必要而不充分条件 D .充分而不必要条件
三、解答题(本大题共有5题，满分50分)
17.(本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分)求下列函数的单调区间.
(1);
(2)
18. (本题满分8分)
写出函数的振幅、初始相位、圆频率和频率.
19. (本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分)判断下列函数的奇偶性，并说明理由.
(1);
(2);
20. ( 本题满分12分)
三相交流电的插座上有四个插孔，其电压分别为
其中记的最大值分别为，试计算三相交流电的线电压的有效值：
21.(本题满分12分，第1小题满分5分，第2小题满分7分)
如图所示，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向km处，的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离(单位：km )与它们每天集中的生活垃圾量(单位：吨)成反比，现估测得两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为吨和吨.
(1)当时, 求的值;
(2)发电厂应尽量远离居民区，要求的面积最大.问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少?(结果可保留根号)

上海市长征中学2023学年第二学期高一年级
数学期中考试试卷
考试时长：90分钟 卷面总分：100分
一、填空题(本大题共有 12题，满分 36分 ，每小题满分3 分)
1.函数的值域是 .
解析：
2.函数的最小正周期是 .
解析：
3.在菱形中, .
解析：为菱形
4.已知，如果, 则 .
解析：因为，
所以若同向，则
所以若反向，则
5.已知则 .
解析：
6. 已知，则 .
解析：
7.已知角终边上有一点,则 .
解析：
8.某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和某日两个观测点的林场人员都观测到处出现火情 .在A处观测到火情发生在北偏西40°方向，而在处观测到火情在北偏西60°方向 .已知在的正东方向10km处(如图所示)，则 .km. (精确到0.1km )
解析：由题知：
所以
9.已知函数的部分图像如图所示，则的值为 .

解析：
10.若则 .
解析：
11. 已知函数在内为严格减函数
函数的一条对称轴，且函数为奇函数 ，则函数的表达式为 .
解析：
为奇函数，所以
12.莱洛三角形也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为，点为上的一点，则的最小值为 .
解析：取的中点，则，所以
连接,取中点，则
因为，为等边三角形，所以
，所以等价于求最小值即可；
当三点共线时，
二、选择题(本大题满分14分，其中第13、14题每题3分，第15、16题每题4分)
13. 关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为( )
A .最大值是，最小值是 B.最大值是,最小值是
C.最大值是，最小值是 D.没有最大值，最小值是
解析：单调递增，所以
所以选 B.
14.在中,若，则是 ( )
A .直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
解析：
所以是直角三角形
所以选A
15.如图，非零向量且,为垂足,若，则 ( )

解析：
所以选A
16.已知是两个不共线的单位向量，向量. “”是的( )
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C .必要而不充分条件 D .充分而不必要条件
解析：是两个不共线的单位向量，，设夹角为
则，
若时，
充分性成立；
若，不妨显然满足；必要性不成立；
所以选D.
三、解答题(本大题共有5题，满分50分)
17.(本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分)求下列函数的单调区间.
(1);
(2)
解析：(1)令，在单调递增；
令，在单调递减.
(2)令，
在单调递减；
令，
在单调递增；
，所以单调递增，在单调递减.
18. (本题满分8分)
写出函数的振幅、初始相位、圆频率和频率.
解析：振幅，初始相位，圆频率
频率：
19. (本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分)判断下列函数的奇偶性，并说明理由.
(1);
(2);
解析：(1)定义域为，关于原点对称，
所以是奇函数；
(2) 定义域为，关于原点对称，
所以是偶函数.
20. ( 本题满分12分)
三相交流电的插座上有四个插孔，其电压分别为
其中记的最大值分别为，试计算三相交流电的线电压的有效值：
解析：
同理，
21.(本题满分12分，第1小题满分5分，第2小题满分7分)
如图所示，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向km处，的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离(单位：km )与它们每天集中的生活垃圾量(单位：吨)成反比，现估测得两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为吨和吨.
(1)当时, 求的值;
(2)发电厂应尽量远离居民区，要求的面积最大.问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少?(结果可保留根号)

解析：(1) 由题知：，
所以
(2)设，其中
当
的面积最大值为，