广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试卷

这是一份广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)
注意事项:
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
复数 2i
2−i
的虚部为()
−2
5
−4
5
2
5
4
5
已知集合 A = {−1,1,2,4},B = {x∣ 1 ≤ 2x ≤ 4} ,则 A ∩ B = ()
A. {−1,2}B. {1,2}C. {1,4}D. {−1,4}
设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,若 S4−S1 = 9,a1 + a4 = 5 ,则 {an} 的公差为( ‘ )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二项式 1−
51
1
x
的展开式中,含
x3
的项的系数是 ()
A. -10B. 10C. -5D. 5
已知圆锥的表面积为 12π ,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直径是(
)
A. 2B. 3C. 4D. 5
已知 tan α +
csα
π
4
= −2 ,则 csα −sinα
= ()
1
2
-2C. 2D. −1
2
已知函数 f
(x)
= x2 + 2x−3,x ≤ 0
−2 + lnx,x > 0
,若方程 f
(x)
= k 的实数解恰有两个,则实数 k 的取值
范围是()
A. k ≤ −4B. −4 < k < −3C. k = −4 或 k > −3D. k = −4 或 k ≥ −3
已知椭圆 E:x2 + y2 = 1 的左右焦点分别为 F ,F ,上顶点为 A ,过 F 且垂直于 AF 的
1612
1 212
直线与 E 交于 B 、 C 两点,则 △ ABC 的周长为 ()
A. 12B. 16C. 20D. 24
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
某人工智能公司近 5 年的利润情况如下表所示:
已知变量 y 与 x 之间具有线性相关关系,设用最小二乘法建立的回归直线方程为 y = 1.2x + a ,则下列说法正确的是 ()
a = 0.6
变量 y 与 x 之间的线性相关系数 r < 0
预测该人工智能公司第 6 年的利润约为 7.8 亿元
残差绝对值的最大值为 0.4
已知函数 f(x) = Asin(ωx + φ)(A > 0,ω > 0,0 < φ < π) 的部分图象如图所示,则(
)
ω = 2
第 x 年
1
2
3
4
5
利润 y /亿元
2
3
4
5
7
π
φ = 3
直线 x = 17π
12
是函数 f(x) 图象的一条对称轴
f(x) 在 − π , π 的值域为 [−1,2]
6 4
如图所示, fi(x)(i = 1,2,3,4) 是定义在 [0,1] 上的四个函数,其中满足性质: “对 [0,1]
中任意的 x1 和 x2 ,任意 λ ∈ [0,1] , f[λx1 +(1−λ)x2] ≥ λf(x1) + (1−λ)f(x2) 恒成立”的有(
)
A. f1(x)B. f2(x)C. f3(x)D. f4(x)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
3
已知 |a| = 5,|b| = 4,a 与 b 的夹角 θ = 2π ,则 (a + b) ⋅ b =.
直线 y = x 与双曲线 x2−y2 = 1
相交于 A,B 两点,且 A,B 两点的横坐标之积为 -
a2 8
(a > 0)
8 ,则双曲线的离心率为.
在三棱锥 V−ABC 中, VA = VB = AB = AC = BC = 2,VC = 1 ,则该三棱锥外接球的半径为
.
O (1)答案:C. 如果 OA 与正面 OAB 交等于线段,则 OA 与线段相交)
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
( 13 分)已知函数 f(x) = (ax + b)ex 的图象在点 (0,f(0)) 处的切线方程为 2x−y + 1 = 0
.
求 a,b 的值；
求 f(x) 的单调区间与极值.
( 15 分)如图,四棱锥 P−ABCD 的底面是矩形, PD ⊥ 底面 ABCD , PD = 2 , DC = 1 ,
M 为 BC 中点,且 PB ⊥ AM .
求 BC ；
求二面角 A−PM−B 的正弦值.
第 16 题图
π
6
(15 分) 记 △ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 2b = c + 2asin B−.
求 A ；
若 a = 2 3, △ ABC 的面积为 3,D 为 BC 上一点, AD 为 ∠BAC 的平分线,求 AD . 18.(17 分)为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于 170 cm 的关联性,调查了该校
所有高二年级的学生,整理得到如下列联表一；然后从该校所有高二年级学生中随机抽取 100
名学生,对性别和身高是否大于 170 cm 进行统计,得到如下列联表二,其中女生占 2
5
,身高低
于 170 cm 的学生占 1 .
2
表一:
表二:
性别
身高
合计
低于 170 cm
不低于 170 cm
女
360
90
450
男
100
450
550
合计
460
540
1000
性别
身高
合计
从表一中随机抽取一人,分别用 A1 、 A2 表示抽到男生、女生,用 B 表示抽到学生身高不低于 170 cm ,计算 P(B∣A1) , P(B∣A2) ,并判断该校高二年级学生的性别和身高是否有关联？
请完成列联表二,并依据 α = 0.01 的独立性检验,能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联? 对比第一问的结论, 请分析两种判断方式的可靠性. 为了得到准确的结论, 请提出可行性建议;
现在从表二中,抽取样本容量为 10 的样本,其中女生样本数据为:159、160、165、171(单
位: cm),男生样本数据为:164、166、168、172、174、176(单位:cm),求出这个样本的第 70百分位数,并从不大于第 70 百分位数的样本数据中抽取 3 人,记 X 为抽到的女生人数,求 X的分布列及数学期望.
低于 170 cm
不低于 170 cm
女
25
男
合计
100
χ =
附: 2n(ad−bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
其中 n = a + b + c + d .
19. (17 分) 圆心在 x 轴上移动的圆经过点 A(−4,0) ,且与 x 轴, y 轴分别交于 B(x,0) , C (0,y) 两个动点.
求点 T(x,y) 的轨迹 E 的方程；
过点 D(3,2) 作互相垂直的两条直线 l1,l2,l1 与曲线 E 相交于 P1,Q1 两点, l2 与曲线 E
相交于 P2,Q2 两点,线段 P1Q1,P2Q2 的中点分别为 M,N .
(i)试问直线 MN 是否经过定点？若是,请求出该定点的坐标,若不是,请说明理由；
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
χα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
柳州市 2026 届新高三摸底考试数学参考答案及评分标准
一、选择题
二、多选题
2025.6
1
2
3
4
5
6
7
8
D
B
A
A
C
D
C
B
9
10
11
选 2 个
选 2 个
选 1 个（A
（AC 或
选 3 个
选 1 个（A
（AC 或
选 3 个
选 1 个（B
选 2 个
或 C 或 D）
AD 或
（ACD）
或 C 或 D）
AD 或
（ACD）
或 C）
（BC）
CD）
CD）
2 分
4 分
6 分
2 分
4 分
6 分
3 分
6 分
三、填空题
3
12.613.
三、解答题
165
11
15.解析：(1)f'(x) = (ax + b)'ex + (ax + b) (ex)' = (ax + a + b)ex
f'(0 = (a + b)e0 = a + b = 2
切线为 2x - y + 1 = 0，当 x = 0 时，y = 1 , 故 f (0 = 1，即 b = 1，所以 a = b = 1.
函数定义域为 R , 由 (1) 知，f (x = (x + 1)ex
f′(x = (x + 2)ex。
令 f′(x > 0，得 x >-2，令 f′(x < 0，得 x