2022北京昌平初三二模数学试卷（含答案）

这是一份2022北京昌平初三二模数学试卷（含答案），共31页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（每小题2分，共16分）
1. 斗笠，又名箬笠，即以竹皮编织的用来遮光遮雨的帽子，可以看做一个圆锥，下列平面展开图中能围成一个圆锥的是（ ）
A. B. C. D.
2. 2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，全国超过6000万中小学生观看授课直播，其中6000万用科学记数法表示为（ ）
A. 6000×104B. 6×107C. 0.6×108D. 6×108
3. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕．2022年北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源；北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”是以熊猫为原型进行设计创作；北京冬季残奥会的吉祥物“雪容融”是以灯笼为原型进行设计创作．下列冬奥元素图片中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 若实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则代数式的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
6. 一个不透明的盒子中装有15个除颜色外无其他差别的小球，其中有2个黄球和3个绿球，其余都是红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，的直径，垂足为，，连接并延长交于点，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 某气球内充满了一定质量气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：千帕）随气球内气体的体积（单位：立方米）的变化而变化，随的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压P与气球内气体的体积的函数关系最可能是
A. 正比例函数B. 一次函数C. 二次函数D. 反比例函数
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______．
10 因式分解：______．
11. 正多边形一个外角的度数是，则该正多边形的边数是______．
12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的横坐标分别为，，则________．
13. 方程术是《九章算术》最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛(“斛”是古代的一种容量单位)，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”
译文：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛酒多少斛？
设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，依题意，可列二元一次方程组为____________________．
14. 不等式组的解集为________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为________．
16. 下图是国家统计局发布的2021年2月至2022年2月北京居民消费价格涨跌幅情况折线图（注：2022年2月与2021年2月相比较称为同比，2022年2月与2022年1月相比较称为环比）．
根据图中信息，有下面四个推断：
①2021年2月至2022年2月北京居民消费价格同比均上涨；
②2021年2月至2022年2月北京居民消费价格环比有涨有跌；
③在北京居民消费价格同比数据中，2021年4月至8月的同比数据的方差小于2021年9月至2022年1月同比数据的方差；
④在北京居民消费价格环比数据中，2021年4月至8月的环比数据的平均数小于2021年9月至2022年1月环比数据的平均数．
所有合理推断的序号是________．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
18 解方程：．
19. 已知：如图，．
求作：，使．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：
①在上取一点，以为圆心，为半径画弧，交射线于点；
②在射线上任取一点，连接，分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线，与交于点；
③作射线，即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下列证明．
证明：∵垂直平分，
∴________．
∵，
∴（ ）（填推理依据）．
∴．
20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的值，并求此时方程的根．
21. 如图，在矩形中，对角线，交于点，分别过点，作，的平行线交于点，连接交于点．
（1）求证：四边形菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
22. 在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且过点．
（1）求这个一次函数解析式；
（2）直线分别交，轴于点A，点，若点为轴上一点，且，直接写出点的坐标．
23. 如图，在中，，，与交于点，，为直径，点在上，连接，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为3，求的长．
24. 如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为．
与的几组对应值如下表：
（1）该喷枪的出水口到地面的距离为________；
（2）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出与的函数图像；
（3）结合（2）中的图像，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为________（精确到）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________（精确到）
25. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲小区用气量频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）
b．甲小区用气量的数据在这一组的是：
15 15 16 16 16 16 18 18 18 18 18 19
c．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为．在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为．比较，的大小，并说明理由；
（3）估计甲小区中用气量超过15立方米的户数．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）若抛物线过点．
①求抛物线的对称轴；
②当时，图像在轴的下方，当时，图像在轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；
（2）若，，为抛物线上的三点且，设抛物线的对称轴为直线，直接写出的取值范围．
27. 如图，已知，是的平分线，点A是射线上一点，点A关于对称点在射线上，连接交于点，过点A作的垂线，分别交，于点，，作的平分线，射线与，分别交于点，．
（1）①依题意补全图形；
②求度数；（用含的式子表示）
（2）写出一个的值，使得对于射线上任意的点A总有（点A不与点重合），并证明．
28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于和直线给出如下定义：若的一条边关于直线的对称线段是的弦，则称是的关于直线的“关联三角形”，直线是“关联轴”．
（1）如图1，若是的关于直线的“关联三角形”，请画出与的“关联轴”（至少画两条）；
（2）若中，点坐标为，点坐标为，点在直线的图像上，存在“关联轴”使是的关联三角形，求点横坐标的取值范围；
（3）已知，将点向上平移2个单位得到点，以为圆心为半径画圆，，为上的两点，且（点在点右侧），若与的关联轴至少有两条，直接写出的最小值和最大值，以及最大时的长．
参考答案
一、单项选择题（每小题2分，共16分）
1. 斗笠，又名箬笠，即以竹皮编织的用来遮光遮雨的帽子，可以看做一个圆锥，下列平面展开图中能围成一个圆锥的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆锥的展开图可直接得到答案．
【详解】解：圆锥的展开图是扇形和圆，且圆在扇形的弧线上．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的展开图，题目比较简单．
2. 2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，全国超过6000万中小学生观看授课直播，其中6000万用科学记数法表示为（ ）
A. 6000×104B. 6×107C. 0.6×108D. 6×108
【答案】B
【解析】
【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是比原整数位数少1的数．
【详解】解：6000万＝60000000＝6×107．
故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕．2022年北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源；北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”是以熊猫为原型进行设计创作；北京冬季残奥会的吉祥物“雪容融”是以灯笼为原型进行设计创作．下列冬奥元素图片中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4. 若实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置，先确定a、b的范围，再逐个判断得出结论．
【详解】解：根据数轴可得，－2＜a＜－1，2＜b＜3，
∴，ab＜0，，a−b＜0，即A正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值、有理数乘法的符号法则、相反数以及有理数的减法．认真分析数轴得到有用信息是解决本题的关键．
5. 若，则代数式的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先将代数式进行化简，再将代入化简之后的式子求解即可．
【详解】解：
将代入上式可得：原式，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是根据分式运算法则先将式子正确化简，再将代入计算．
6. 一个不透明的盒子中装有15个除颜色外无其他差别的小球，其中有2个黄球和3个绿球，其余都是红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据概率公式求解．
【详解】解：∵盒子中装有15－2－3＝10个红球，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是；
故选：D．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
7. 如图，的直径，垂足为，，连接并延长交于点，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由OA=OC，得∠OCA=∠A=30°从而得∠BOC=∠OCA+∠A=60°，再由CF是直径，则∠CDF=90°，则FD⊥CD，又因为AB⊥CD，所以ABDF，所以∠CFD=∠BOC =60°．
【详解】解：∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠BOC=∠OCA+∠A=60°，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF=90°，即FD⊥CD，
又∵AB⊥CD，
∴ABDF，
∴∠CFD=∠BOC =60°．
故选：C．
【点睛】本题考查直径所对圆周角是直角，等腰三角形的性质，三角形外角性质，平行线的判定与性质，掌握直径所对圆周角是直角是解题的关键．
8. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：千帕）随气球内气体的体积（单位：立方米）的变化而变化，随的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压P与气球内气体的体积的函数关系最可能是
A. 正比例函数B. 一次函数C. 二次函数D. 反比例函数
【答案】D
【解析】
【分析】根据PV＝96结合反比例函数的定义判断即可．
【详解】解：由表格数据可得PV＝96，即，
∴气球内气体的气压P与气球内气体的体积的函数关系最可能是反比例函数，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数，掌握反比例函数的定义是解题的关键．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由于分式的分母不能为0，因此x-5≠0，解得x．
【详解】解：∵分式有意义，
∴x-5≠0，即x≠5．
故答案为x≠5．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．
10. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．
【详解】解：，
=，
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式和公式法进行因式分解．
11. 正多边形一个外角的度数是，则该正多边形的边数是______．
【答案】6．
【解析】
【详解】解：这个正多边形的边数：360°÷60°=6
故答案为：6．
【点睛】本题考查多边形内角与外角．
12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的横坐标分别为，，则________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据反比例函数与正比例函数都是中心对称图形可得x1＝−x2，然后求解即可．
【详解】解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形，
∴x1＝−x2，
∴x1＋x2＝0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与正比例函数的中心对称性是解题的关键．
13. 方程术是《九章算术》最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛(“斛”是古代的一种容量单位)，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”
译文：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛酒多少斛？
设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，依题意，可列二元一次方程组为____________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”建立方程组即可．
【详解】由题意得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，读懂题意，正确建立方程是解题关键．
14. 不等式组的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为________．
【答案】(3，1)
【解析】
【分析】过点C作CD⊥x轴，垂足为D，证明△OBA≌△DAC，从而得到AD=BO，AO=CD，计算OD的长即可确定点C的坐标．
【详解】过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴∠OBA=∠2，BA=AC，
∴△OBA≌△DAC，
∴AD=BO，AO=CD，
∵点，，
∴OA=1，OB=2，
∴AD=BO=2，AO=CD=1，
∴OD=3，
∴点C的坐标(3，1)，
故答案为：(3，1)．
【点睛】本题考查了旋转性质，三角形全等的判定和性质，线段与坐标的关系，熟练掌握旋转的性质和三角形全等的判定是解题的关键．
16. 下图是国家统计局发布的2021年2月至2022年2月北京居民消费价格涨跌幅情况折线图（注：2022年2月与2021年2月相比较称为同比，2022年2月与2022年1月相比较称为环比）．
根据图中信息，有下面四个推断：
①2021年2月至2022年2月北京居民消费价格同比均上涨；
②2021年2月至2022年2月北京居民消费价格环比有涨有跌；
③在北京居民消费价格同比数据中，2021年4月至8月的同比数据的方差小于2021年9月至2022年1月同比数据的方差；
④在北京居民消费价格环比数据中，2021年4月至8月的环比数据的平均数小于2021年9月至2022年1月环比数据的平均数．
所有合理推断的序号是________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】直接利用折线图，判断①②③④的结论，即可得出答案．
【详解】解：从同比来看，2021年2月至2022年2月北京居民消费价格同比数据有正数也有负数，即同比有上涨也有下跌，故①错误；
从环比来看，2021年2月至2022年2月北京居民消费价格环比数据有正数也有负数，即环比有上涨也有下跌，故②正确；
从折线统计图看，2021年4月至8月同比数据波动小于2021年4月至8月的同比数据波动，所以2021年4月至8月的同比数据的方差小于2021年9月至2022年1月同比数据的方差，故③正确；
2021年4月至8月的环比数据的平均数为：（0-0.1-0.4+0.7+0.1）÷5=0.06，
2021年9月至2022年1月环比数据的平均数为：（-0.1+0.9+0-0.3+0.2）÷5=0.14，
∴2021年4月至8月的环比数据的平均数小于2021年9月至2022年1月环比数据的平均数，故④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查折线统计图，方差，平均数，从统计图获取的所要的信息是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数、负指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
=5．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂，负整数指数幂，绝对值以及特殊角的三角函数的运算法则，是解题的关键．
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，等号两边同时乘以，化成整式方程在求解，最后验根即可．
【详解】解：方程两边同时乘以，
得到：，
解得：
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解是，
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键，最后一定要记得检验．
19. 已知：如图，．
求作：，使．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：
①在上取一点，以为圆心，为半径画弧，交射线于点；
②在射线上任取一点，连接，分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线，与交于点；
③作射线，即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下列证明．
证明：∵垂直平分，
∴________．
∵，
∴（ ）（填推理依据）．
∴．
【答案】（1）见详解 （2）BD,三角形中位线定理
【解析】
【分析】（1）根据题目的描述，进行尺规作图即可；
（2）利用三角形中位线定理即可求解．
【小问1详解】
作图如下：
【小问2详解】
证明：∵EF垂直平分BC，
∴BD=DC，
∵AO=AB，
∴根据三角形的中位线定理有：，
∴∠BAD=∠MON．
故答案为：BD,三角形中位线定理．
【点睛】本题考查了尺规作图、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，根据三角形的中位线得出是解答本题的关键．
20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的值，并求此时方程的根．
【答案】当k=0时，x1=0，x2=-4（答案不唯一）
【解析】
【分析】先求出b2-4ac，再根据b2-4ac＞0求出k的取值范围，然后写出一个，并求出方程的根即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac=42-4×k＞0，
即k＜4．
当k=0时，x2+4x=0，
解得x1=0，x2=-4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，当b2-4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．
21. 如图，在矩形中，对角线，交于点，分别过点，作，的平行线交于点，连接交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形DECO是平行四边形，再由矩形的性质得OD=OC，即可得出结论；
（2）先由矩形性质，得OD=OC=4，再判定△OCD是等边三角形，得CD=4，再由菱形的性质得CD⊥OE, CF=CD=2，然后由勾股定理OF长，即可求得OE长，最后由菱形面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明： ∵CEBD，DEAC，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵矩形，
∴OC=OD，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵矩形，
∴OD=OC=AC=×8=4，
∵，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD=OC=4，
由（1）知：四边形是菱形，
∴CF=CD=×4=2，OE=2OF， CD⊥OE，
∴在Rt△OFC中，由勾股定理，得
OF=，
∴OE=2OF=，
∴S菱形=，
答：菱形的面积为．
【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且过点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）直线分别交，轴于点A，点，若点为轴上一点，且，直接写出点的坐标．
【答案】（1）y=x-1
（2）(5,0)或(-3,0)
【解析】
【分析】(1)首先根据直线与直线平行，可求得k=1，再把点代入解析式，即可求得b，据此即可求得解析式；
(2)首先可求得A、B的坐标，设点C的坐标为(x,0)，可得AC=|1-x|，再根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可求得．
【小问1详解】
解：直线与直线平行

直线为
把点代入解析式，得
解得b=-1
故这个一次函数的解析式为y=x-1；
【小问2详解】
解：在y=x-1中，
令y=0，则x=1，故A(1,0)
令x=0，则y=-1，故B(0,-1)，OB=1
设点C的坐标为(x,0)，则AC=|1-x|，


解得x=5或x=-3
故点的坐标为(5,0)或(-3,0)．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，求直线与坐标轴的交点坐标，三角形面积公式，解绝对值方程，根据三角形面积公式得到绝对值方程是解决本题的关键．
23. 如图，在中，，，与交于点，，为直径，点在上，连接，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为3，求的长．
【答案】（1）过程见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，OD=OB=OE，即有∠OBD=∠ODB，∠ODE=∠OED，再根据BE是直径，得到∠BDE=90°=∠DBE+∠DEB=∠ODB+∠ODE，即有∠DBE+∠ODE=90°，再根据∠ADE=∠DBE，有∠ADE+∠ODE=90°，即有OD⊥AC，则结论得证；
（2）先证，则有，利用=可求出OA，即可求出BC的值．
【小问1详解】
连接OD，如图，
∵OD=OB=OE，
∴∠OBD=∠ODB，∠ODE=∠OED，
∵BE是直径，
∴∠BDE=90°=∠DBE+∠DEB=∠ODB+∠ODE，
∴∠DBE+∠ODE=90°，
∵∠ADE=∠DBE，
∴∠ADE+∠ODE=90°，
∴OD⊥AC，
∵OD为半径，
∴AC是⊙O的切线；
【小问2详解】
根据（1）的结论，有OD⊥AC，
∵∠C=90°，
∴BC⊥AC，
∴，
∴，
∵在中，=，
又∵OD=OB=3，
∴OA=5，
∴AB=OA+OB=8，
∵，
∴．
即BC为．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、直径作对圆周角为90°、平行的性质、勾股定理、三角函数等知识，证明切线是解答本题的关键．
24. 如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为．
与的几组对应值如下表：
（1）该喷枪的出水口到地面的距离为________；
（2）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出与的函数图像；
（3）结合（2）中的图像，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为________（精确到）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________（精确到）
【答案】（1）1 （2）见解析
（3）3，18
【解析】
【分析】(1)令x=0时，求得y值即可．
(2)按照描点，连线的基本步骤画函数图像即可．
(3)先确定直线y=kx+b，当x=8时，求得y=3，设抛物线解析式为，把(0，1)代入解析式，确定a=，得到抛物线解析式，令y=0，求得x的值即可．
【小问1详解】
令x=0时，得y=1，
故答案为：1．
【小问2详解】
根据题意，画图如下：
．
【小问3详解】
设直线为y=kx+b，根据题意，得
，
解得，
故直线的解析式为，
当x=8时，
得(m)，
故抛物线的顶点坐标为(8，3)，
设抛物线解析式为，
把(0，1)代入解析式，
解得a=，
∴，
令y=0，得，
解得x=，或 x=（舍去），
且x=≈17.79≈18(m)，
故答案为：3，18．
【点睛】本题考查了一次函数图像的画法，待定系数法确定一次函数的解析式，顶点式确定抛物线的解析式，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，选择顶点式确定二次函数的解析式是解题的关键．
25. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲小区用气量频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）
b．甲小区用气量的数据在这一组的是：
15 15 16 16 16 16 18 18 18 18 18 19
c．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为．在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为．比较，的大小，并说明理由；
（3）估计甲小区中用气量超过15立方米的户数．
【答案】（1）16； （2）；
（3）200户．
【解析】
【分析】（1）利用求中位数的方法求解即可；
（2）利用中位数和平均数的意义求解即可；
（3）根据抽取的30户中用气量超过15立方米的户数所占的比例估算出整体户数．
【小问1详解】
解：由题意可知：
；
【小问2详解】
解：由表可知：
甲，乙两小区用气量的中位数分别是16、19，平均数分别为：17.2、17.7，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：抽取的甲小区30户中用气量超过15立方米的户数所占的比例为：
甲小区中用气量超过15立方米的户数为：户．
【点睛】本题考查求中位数及其意义，由样本估计总体，解题的关键是理解题意，从表格获取信息，掌握求中位数及其意义，由样本估计总体．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）若抛物线过点．
①求抛物线的对称轴；
②当时，图像在轴的下方，当时，图像在轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；
（2）若，，为抛物线上的三点且，设抛物线的对称轴为直线，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①x=2；②
（2）
【解析】
【分析】①把(4，-1)代入解析式，确定b=-4a，代入直线计算即可．
②根据对称轴为直线x=2，且2-（-1）=5-2，判定抛物线经过（-1,0）和（5,0），代入解析式确定a，b的值即可．
（2）根据，得到b=-2at，从而解析式变形为，把，，分别代入解析式，根据，列出不等式组，解不等式组即可．
【小问1详解】
解：①把(4，-1)代入解析式，得
，
解得b=-4a，
∴对称轴为直线=2．
②根据题意，画图像如下：
∵当时，图像在轴下方，
当时，图像在轴的上方，
对称轴为直线x=2，且2-（-1）=5-2，
∴抛物线经过（-1,0）和（5,0），
∴，
解得，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴b=-2at，
∴解析式变形为，
把，，分别代入解析式，得，
∵，
∴，
解得，
故t的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，二次函数与不等式的综合，熟练掌握待定系数法，对称性，与不等式的关系是解题的关键．
27. 如图，已知，是的平分线，点A是射线上一点，点A关于对称点在射线上，连接交于点，过点A作的垂线，分别交，于点，，作的平分线，射线与，分别交于点，．
（1）①依题意补全图形；
②求度数；（用含的式子表示）
（2）写出一个的值，使得对于射线上任意的点A总有（点A不与点重合），并证明．
【答案】（1）见解析，；
（2），证明见解析．
【解析】
【分析】（1）①在ON上取，根据垂线，角平分线的画法作图即可；②求出，再证明即可；
（2）证明为等腰直角三角形，再证明，得到，进一步得到，证明为等腰直角三角形，得到，即可得到．
【小问1详解】
解：①作图如下：

②∵，是的平分线，
∴，
∵点A、关于对称，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
【小问2详解】
解：当时，对任意的点A总有，
理由如下：
∵A、B关于OP对称，且OP平分，
∴OP垂直平分AB，即，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由（1）可知：，即，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵AQ平分，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查作图，角平分线，等腰直角三角形，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握角平分线的作法及性质，垂线的作法，等腰直角三角形的判定，三角形全等的判定及性质．
28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于和直线给出如下定义：若的一条边关于直线的对称线段是的弦，则称是的关于直线的“关联三角形”，直线是“关联轴”．
（1）如图1，若是的关于直线的“关联三角形”，请画出与的“关联轴”（至少画两条）；
（2）若中，点坐标为，点坐标为，点在直线的图像上，存在“关联轴”使是的关联三角形，求点横坐标的取值范围；
（3）已知，将点向上平移2个单位得到点，以为圆心为半径画圆，，为上的两点，且（点在点右侧），若与的关联轴至少有两条，直接写出的最小值和最大值，以及最大时的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），，
【解析】
【分析】(1)根据A（1，2），B（2，1），C（4，1），计算AB=，
确定圆O长为的弦，再确定其对称轴即可．
(2)根据A（2，3），B（4，1），计算AB=，故AB不能落在圆的内部；过点A作AN⊥y轴，垂足为N，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形，此时；作点B关于x轴的对称点P，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形，此时，综上所述，点C横坐标的范围是．
(3) 如图，连接OM，交圆M于点C，此时OC最小，根据勾股定理，得OM=，圆M的半径为2，计算OC的最小值；OC=，此时AC=4．
【小问1详解】
如图1，作BM⊥x轴，垂足为M，根据题意AB=AE=EF=BF=，且∠EFO=∠BFM=45°，
∴∠EFB=90°，
∴四边形ABFE是正方形，
∴边AE，BF的中点所在直线就是与的一条“关联轴”；
∵的半径为1，
∴EH=GH=FG=EF==，且∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵∠EFG+∠EFB=180°，
∴B、F、G三点共线，
∴直线EF是与的一条“关联轴”．
【小问2详解】
如图2，根据A（2，3），B（4，1），C（4，1），计算AB=，故AB不能落在圆的内部；
过点A作AN⊥y轴，垂足为N，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形，
此时；
作点B关于x轴的对称点P，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形，此时，综上所述，点C横坐标的范围是．
【小问3详解】
如图，连接OM，交圆M于点C，此时OC最小，
根据勾股定理，得OM=，圆M的半径为2，
故OC的最小值为；
当点C是直径AC的一个端点时,OC最大,根据勾股定理，得
OC=，此时AC=4.
【点睛】本题考查了新定义问题，轴对称的性质，圆的基本性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质，正确理解新定义是解题的关键．（单位：立方米）
64
48
38.4
32
24
…
（单位：千帕）
1.5
2
2.5
3
4
…
（单位：）
0
1
2
3
4
…
（单位：）
1
2
…
小区
平均数
中位数
众数
甲
17.2
18
乙
17.7
19
15
（单位：立方米）
64
48
38.4
32
24
…
（单位：千帕）
1.5
2
2.5
3
4
…
（单位：）
0
1
2
3
4
…
（单位：）
1
2
…
小区
平均数
中位数
众数
甲
17.2
18
乙
17.7
19
15