江西南昌第十中学2024~2025学年高一下册第二次月考数学试卷[附解析]

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注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.
1.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上.
2.作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损.
3.考试结束后，请将答题纸交回.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数相等直接求解即可.
【详解】因为，所以，所以．
故选：C
2. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数值的定义求，再结合诱导公式运算求解.
【详解】因为角的终边经过点，则，
所以.
故选：B.
3. 化简向量等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的加减法法则求解即可
【详解】
，
故选：D
4. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=AB=2，则原平面图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=2，，DC=4，即可得到原图形是一个直角梯形和各个边长及高，直接求面积即可.
【详解】直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=2，DC⊥BC，∴，DC=4，
∴原来的平面图形上底长为2，下底为4，高为的直角梯形，
∴该平面图形的面积为.
故选：C
5. 已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量数量积坐标运算求解，再根据向量的夹角是锐角与数量积与向量共线的关系列式求解即可.
【详解】因为，所以，
因为向量，的夹角是锐角，所以
解得且，所以的取值范围是.
故选：C.
6. 若，都是锐角，且，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由平方关系求得，，然后由两角差的余弦公式计算．
【详解】，都是锐角，则，
则由题意得，又，
．
故选：A．
7. 已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数对应点的对称，可得出，再由复数的加法及复数的模求解.
【详解】因为，所以点．
因为点A与点B关于直线对称，
所以，
所以．
故选：A
8. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC､直角边AB､AC，已知以直角边AC､AB为直径的半圆的面积之比为，记，则的值为（ ）
A. -1B. -2C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由圆的面积公式及半圆面积比可得，即有，将目标式由弦化切求值即可.
【详解】以直角边AC，AB为直径的半圆的面积分别为：，，
由面积之比为，得：，即，
在中，，则，
故选：A.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题列出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数，则（ ）
A. B. 在区间上只有1个零点
C. 的最小正周期为D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可．
【详解】已知函数，，
、正确，
、当，，即，，在区间上只有2个零点，则在区间上只有1个零点错误，
、的最小正周期为，正确
、当时，函数，，
所以为图象的一条对称轴，正确．
故选：ACD．
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若的内角满足，则一定是钝角三角形
B. 绕直角三角形一条边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥
C. 若纯虚数，则
D. 若向量，则向量在向量上的投影向量是
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正弦定理角化边，再用余弦定理判断A；利用圆锥的定义判断B；利用纯虚数的定义判断C；求出投影向量判断D.
【详解】对于A，设的内角所对的边分别为，由，
得，由余弦定理得，是钝角，是钝角三角形，A正确；
对于B，绕直角三角形的斜边所在直线旋转一周所形成的几何体是共底面的两个圆锥，B错误；
对于C，由是纯虚数，得，解得，C正确；
对于D，向量在向量上的投影向量是， D正确.
故选：ACD
11. 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A. ，则为内心
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为的外心
D. 若，则点的轨迹经过的重心
【答案】BD
【解析】
【分析】利用重心向量公式判断A；利用数量积运算律及定义求解判断B；利用数量积运算律及垂直关系的向量表示判断C；设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断D.
【详解】对于A，由，得为重心，A错误；
对于B，由，得，
则，整理得，又
于是，为等腰三角形，B正确；
对于C，由，得，则，
由，同理得，则为的垂心，C错误；
对于D，令的中点为，则，由正弦定理得，
令，则，
因此，点的轨迹经过的重心，D正确.
故选：BD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.）
12. 一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意画出圆台的轴截面，根据圆台的母线和高及相关的上下底面半径构成直角梯形，利用直角梯形的性质求得.
【详解】由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形，
其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示：
作CD⊥AB与E,则CE为圆台的高h,
∴高h＝.
故答案为：4
13. 已知锐角α，β满足（tanα–1）（tanβ–1）=2，则α+β的值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】由（tanα–1）（tanβ–1）=2，可得：tanαtanβ–tanα–tanβ+1=2，∴tan（α+β）=═–1，
∵锐角α，β，∴α+β∈（0，π），∴α+β=．故答案为．
14. 已知函数满足：，则______．
【答案】
【解析】
【分析】借助三角恒等变换公式可得，即可得解.
【详解】，
则，
则
.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为.
（1）若复数是实数，求实数的值；
（2）若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用复数乘法法则得到，根据实数，可得方程，求出；
（2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
由可得，
所以，
若复数是实数，可得，
解得；
【小问2详解】
，
易知复数在复平面内所对应的点坐标为，
又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，
解得，
即实数的取值范围为.
16. 已知向量，，函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，结合二倍角公式和辅助角公式可得，则利用正弦函数的单调递减区间即可求得答案；
（2）由图象变换得到解析式，再利用整体法求值域.
【小问1详解】
因为向量，，函数，
所以
，
令，，
解得，，
所以的单调递减区间为，．
【小问2详解】
由（1）知，
函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，
则，
当时，，，
则．
所以在的值域为.
17. 如图，、分别是的边、上的点，且，，交于.
（1）若，求的值；
（2）若，，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值；
（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.
【详解】（1），
，，因此，；
（2）设，
再设，则，即，
所以，，解得，所以，
因此，.
【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.
18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
（1）求边长a和角A；
（2）若的面积为，求中线的长度；
（3）若，求角平分线的长度．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，求得a，再由求得角A；
（2）由余弦定理和三角形面积公式求得和，再由，两边平方求中线的长度；
（3）由余弦定理得，再由，可得角平分线的长度.
【小问1详解】
，
由正弦定理得．
可得．
由，得，
得，
得或，故或0（舍去）．
小问2详解】
由，得，
由余弦定理可知，，
由（1）可得，所以，
又，
所以
，
即，
所以中线的长度为；
【小问3详解】
若，由余弦定理，，
可知，所以，即，
因为为角平分线，所以，
即，
则，所以.
19. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.
（1）若，，求最大值及对应的取值集合；
（2）若向量的“积函数”满足，求的值；
（3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系.
【答案】（1）最大值为，的取值集合为
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）由已知可得，根据三角函数的性质求解即可；
（2）令，有已知根据三角恒等变换求解即可；
（3）由已知可得，根据三角函数的有界性可得最大值和与的关系，将代入根据二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
若，，则，
当时，即，，函数有最大值，
函数的最大值为，对应的取值集合为；
【小问2详解】
，
令，所以，
所以，，
即，，所以；
【小问3详解】
因为，，
所以
，
所以
，
此时存在满足，，，
当且仅当时等号成立，
所以，
即，，
所以成立，
且，
则，
，
当时有最小值，
所以的最小值为.