江苏无锡江阴第二中学2024~2025学年高一下册5月月考数学试卷[附解析]

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1．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量D．模为的向量与任意非零向量共线
【答案】D
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】B
3．某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层随机抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员应该各抽取人数为( )
A. 8，15，7B. 16，2，2C. 16，3，1D. 12，5，3
【答案】C
4.如果平面向量a=(2,1)，b=(1,3)那么下列结论中正确的是( )
A. |b|=3|a|B. a⋅b=(2,3)
C. a与b的夹角为30∘D. a在b上的投影向量为(12,32)
【答案】D
5．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，若α∩γ=m，β∩γ=n，则“m//n”是“α//β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
6．.如图所示，点P是二面角α−AB−β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，若∠BPM=∠BPN =45∘，∠MPN=60∘，则二面角α−AB−β的大小为 ( )
A. 60∘B. 70∘C. 80∘D. 90∘
【答案】D
7．如图所示，为测量河对岸的塔高AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得tan∠ACB=34，CD=50m，cs∠BCD= 55，cs∠BDC=35，则塔高AB为( )
15 3mB. 20 3mC. 15 5mD. 20 5m
【答案】C
8．.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是棱BC,CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，若PA1//面AEF，则线段PA1的长度范围是( )
A. 2, 5B. 2,3C. 3 22,3D. 3 22, 5
【答案】D
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于2022年6月4日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有100名学生参加学校决赛，把他们的成绩(均为整数)分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是( )
A. 直方图中m的值为0.010
B. 在参加学校决赛的100名学生中，成绩落在区间[60,80)内的有60人
C. 如果规定90分以上学生为一等奖，估计有15%的学生获得一等奖
D. 根据此频率分布直方图可计算出这100名学生成绩的上四分位数为80分
【答案】ABD
10．有下列说法，其中正确的说法为( )
A. 若sin 2A=sin 2B，则△ABC是等腰三角形
B. 若PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，则P是三角形ABC的垂心
C. 若sin2A+sin2B+cs2C0)，ANnAC(n>0)，则3m+n的最小值为 ．【答案】4+2 33
四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(本小题14分)已知复数z=1+mi(m∈R)，且z(3+i)为纯虚数．
(1)求实数m及|z|;
(2)若z是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，求2p+q的值．
：(1)因为z=1+mi(m∈R)，所以z=1−mi(m∈R)，所以z(3+i)=(1−mi)(3+i)=(m+3)+(1−3m)i是纯虚数，
∴3+m=0且1−3m≠0，得m=−3，
∴z=1−3i，所以|z|= 10．---------------------7
(2)由(1)知z=1−3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，
所以，则−8+p+q+(−6−3p)i=0，
∴−8+p+q=0且−6−3p=0，
∴p=−2，q=10，
所以2p+q=6． ---------------------7
16.(本小题15分)如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥DA，PD⊥DC，点M，N分别为棱AD，PD的中点，PD=2AB=2．
(Ⅰ)求证：PA//平面MNC；
(Ⅱ)求证：PD⊥平面ABCD；
(Ⅲ)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．
(Ⅰ)证明：∵M，N分别为棱AD，PD的中点，
∴MN/​/PA，
∵MN⊂平面MNC，PA⊄平面MNC，
∴PA/​/平面MNC．---------------------5
(Ⅱ)证明：∵PD⊥DA，PD⊥DC，且DA∩DC=D，DA、DC⊂平面ABCD，
∴PD⊥平面ABCD．---------------------5

(Ⅲ)解：连接BD，由(Ⅱ)知PD⊥平面ABCD，
∴∠PBD为直线PB与平面ABCD所成角，
∵PD=2AB=2，且四边形ABCD为正方形，
∴BD= 2，
∴tan∠PBD=PDBD=2 2= 2，
∴sin∠PBD= 2 3= 63，
故直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为 63． ---------------------5
17．(本小题14分)已知，是平面内一对不共线的向量，且，，.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）若，求的值.
（1）因为，，
所以，.
因为与共线，所以存在唯一的实数，使得，
，即，解得.---------------------7
（2）因为，，，
且，所以，
所以，解得，，
所以.---------------------7
18.(本小题16分)如图，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°
(1)求三棱锥P−ABC的体积；
(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求PMMC的值．
(1)解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
可得S△ABC=12AB⋅AC⋅sin60°= 32．
因为PA⊥平面ABC，PA=1，
所以VP−ABC=13⋅S△ABC⋅PA= 36；---------------------8
(2)解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN/​/PA，交PC于点M，连接BM，
由PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，
因为BN∩MN=N，BN⊂平面MBN，MN⊂平面MBN，所以AC⊥平面MBN．
因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．
在直角△BAN中，AN=AB⋅cs∠BAC=12，
从而NC=AC−AN=32．
由MN/​/PA得PMMC=ANNC=13． ---------------------8
(本小题18分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsC+ 3asinC=b+c．
(1)求A的值;
(2)若a+1=c，b>2，当△ABC的周长最小时，求b的值;
(3)若BD=3DA，csB=1114，且△ABC的面积为20 3，求CD的长度．
解：(1)由acsC+ 3asinC=b+c及正弦定理，
得sinAcsC+ 3sinAsinC=sinB+sinC，
因为sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，且sinC≠0，
所以 3sinA=csA+1，即sin(A−π6)=12，
因为0