江苏苏州工业园南京航空航天大学苏州附属中学2024~2025学年高一下册5月月考数学试卷[附解析]

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（本试卷共19道题目，满分150分，考试时间120分钟）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 设复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设直线分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b（ ）
A. 平行B. 相交
C. 是异面直线D. 可能相交，也可能是异面直线
3. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，在中，，当或时，的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 钝角三角形或直角三角形
5. 已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
6. 若非零向量与满足，且，则（ ）
A. 三边均不相等的三角形
B. 直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形
D. 等边三角形
7. 如图，圆柱中，是侧面的母线，是底面的直径，是底面圆上一点，则（ ）

A. 平面
B. 平面
C. 平面
D. 平面
8. 设内角，，所对的边分别为，，.若，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D. 3
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）
9. 的内角，，所对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则是等腰三角形
D. 若，则等边三角形
10. 在中，．则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. 的面积为3D. 的外接圆半径为
11. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长为，则（ ）
A. 石凳是十四面体B. 石凳有24条棱
C. 石凳的表面积为D. 石凳有24个顶点
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为________．
13. 函数的部分图象如图所示，如果、，且，则________.
14. 如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，.若，则的值为____________.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 如图，在正四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于是的中点．
（1）求证：平面．
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
16. 已知、、分别为三个内角、、的对边，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求、.
17. 如图，在长方体中，．
（1）求证：平面平面；
（2）求四棱锥的体积．
18. 已知向量，，函数．
（1）求的值；
（2）当时，方程有解，求实数m的取值范围；
（3）是否存在正实数a，使不等式对所有恒成立？若存在，求出a取值范围；若不存在，说明理由．
19. 中，已知，，为上一点，，.
（1）求的长度；
（2）若点为外接圆上任意一点，求的最大值.