河南开封2023~2024学年高一下册期末调研考试数学试卷[附解析]

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1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设复数z满足，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数除法运算求解即可.
【详解】由，可得，
故选 ：A
2.设，为两个平面，则的充要条件是
A.内有无数条直线与平行
B.内有两条相交直线与平行
C.，平行于同一条直线
D.，垂直于同一平面
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．
【详解】由面面平行判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．
【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．
3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A.中位数B.平均数
C.方差D.极差
【答案】A
【解析】
【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．
【详解】设9位评委评分按从小到大排列为．
则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，
中位数仍为，A正确．
②原始平均数，后来平均数
平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确
③
由②易知，C不正确．
④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．
【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.
4.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现采用随机模拟的方法估计甲获得冠军的概率．先由计算机模拟产生1~5之间的整数随机数，当出现随机数1，2或3时表示甲获胜，出现4，5时表示乙获胜．因为比赛采用了3局2胜制，所以每3个随机数为一组，代表3局的结果，经随机模拟产生以下20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计所求概率的值为（ ）
A.0.3C.0.6
【答案】D
【解析】
【分析】由20组随机数中先求出甲获胜的频数，从而可求出甲获胜的频率，进而可得答案
【详解】由题意可知，20组随机数中甲获胜的有：423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314有13组，
所以甲获胜的频率为，
所以甲获得冠军的概率的近似值约为，
故选：D.
5.已知，，且与的夹角，则（ ）
A.13B.C.37D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积的定义求出，再由及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，，且与的夹角，
所以，
所以.
故选：D
6.在中，角的对边分别为，已知，且，，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理把边化为角，再用和差公式得，所以，再用余弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理得，
，，
即，
，，
，即，
，又，
.
故选：.
7.中，为的中点，与对角线相交于点，记，，用，表示（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面几何的知识得到，即，再根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】在中，为的中点，与对角线相交于点，
所以，所以，
所以，
所以.
故选：C
8.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为θ，则（ ）
A B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点，过点作交于点，证明二面角的平面角为θ就是，结合解三角形知识即可求解.
【详解】由题意设，
取的中点，过点作交于点，连接，如图所示：
因为，，点是等腰直角三角形斜边上的中点，
所以，
又因为，平面，平面，平面平面，
所以二面角的平面角为θ就是，
设，则，，，，
从而，所以，
又，
所以，所以，
所以，.
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A.如果，那么B.如果，那么
C.如果互斥，那么D.如果互斥，那么
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于AB，由可得即可；对于CD，由互斥可得即可.
【详解】对于AB，由可得,
所以,故AB正确；
对于CD，由互斥可得，
所以,故C正确，D错误.
故选：ABC.
10.已知复数，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由共轭复数概念、复数乘法即可判断；对于B，由复数模的计算公式即可判断；对于CD，由复数乘方、复数乘法即可判断.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
11.如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高（ ）
A.B.
C.D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据所给条件表示出、、，在中利用正弦定理表示出、，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】由题意可知，，，，，
分别在，中，，，
所以，
又，
，
在中，由正弦定理可得，，
即， 所以，
在中，，故A正确，B错误；
在中，由正弦定理可得，，
即， 所以，
在中，，
又，
所以，故C正确、D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知向量，，在网格中的位置如下图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则_________；_________．
【答案】①.2②.3
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求出，，的坐标，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
详解】建立直角坐标系如图所示：
因为网格纸上小正方形的边长为1，
则，
，，
.
故答案为：2；3.
13.已知正方体的内切球体积为1，则该正方体的外接球体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方体的内切球体积计算出正方体边长，再利用正方体的外接球体积计算得到结果；
【详解】设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，正方体的内切球体积为，解得，
正方体外接球的半径为，
故正方体的外接球体积为．
故答案为：．
14.已知复数，，且，则λ的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数相等建立关系，再消去并结合二次函数求出范围即得.
【详解】由，得，
消去并整理得，
显然，当时，，当时，，
所以λ的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在一个不透明的盒子中有大小质地完全相同的1个红球和1个白球，从中随机地摸出一个球，观察其颜色后放回．设事件“摸球2次出现1次红球”，“摸球4次出现2次红球”．
（1）分别写出“摸球2次”和“摸球4次”这两个试验的样本空间；
（2）猜想和的大小关系，并验证你的猜想是否正确．
【答案】（1）答案见解析
（2），猜想正确
【解析】
【分析】（1）根据样本空间的定义逐一列举即可得解；
（2）根据古典概型概率计算公式直接计算即可比较大小.
【小问1详解】
用a表示“取出红球”，b表示“取出白球”，
摸球2次，样本空间为，包含4个等可能样本点；
摸球4次，样本空间为
，
包含16个等能的样本点；
【小问2详解】
猜想应该有，
，故，
，故，
根据古典概型概率计算公式，得，，
所以，猜想正确.
16.在平面直角坐标系Oxy中，已知向量，，，其中．
（1）求；
（2）若，求向量在向量上的投影向量的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先应用减法得出向量坐标，再应用坐标运算得出夹角；
（2）根据坐标求出模长，再根据投影向量公式计算即可.
【小问1详解】
因为，，
，又，所以，所以．
【小问2详解】
，
所以，解之得，
设向量和向量的夹角为θ，又，
所以向量在向量上的投影向量为：
，
当时，，，
当时，，，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为或
17.有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．在一批该鱼中随机抽取30条作为样本，检测其汞含量（乘以百万分之一）如下：
0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02
1.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.68
1.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.26 2.10 1.65 1.31
（1）依据样本数据，补充完成下列频率分布直方图，并分析这30条鱼的汞含量的分布特点；
（2）分别依据样本数据和（1）中频率分布直方图估计这批鱼的汞含量的第60百分位数，得到的结果完全一致吗?为什么?
（3）将样本中汞含量最低的两条鱼分别放入相互连通的A、B水池，若这两条鱼的游动相互独立，均有的概率游入另一个水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率．
【答案】（1）答案见解析；
（2），，不一致，理由见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）汞含量在的样本数为12，求出频率即可补充直方图；
（2）分别依据样本数据和（1）中频率分布直方图估计第60百分位数即可求解；
（3）记“两条鱼最终均在A水池”为事件A，记“两条鱼最终均在B水池”为事件B，根据互斥事件的概率加法公式即可求解.
【小问1详解】
汞含量在的样本数为12，故频率为,
在频率分布直方图中对应的高为,
补充频率分布直方图如图所示：
汞含量分布偏向于大于的方向，即多数鱼的汞含量分布在大于的区域.
【小问2详解】
依据样本数据：由，样本数据的第60百分位数为第18，19项数据的平均数，即，
所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为；
依据频率分布直方图：由，
所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为，
两种方式得到的估计结果不一致，但相差不大，因为在频率分布直方图中已经损失了一些样本信息，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的，此时，通常假设数据在组内均匀分布.
【小问3详解】
记“两条鱼最终均在A水池”为事件A，则，
记“两条鱼最终均在B水池”为事件B，则，
因为事件与事件互斥，
所以这两条鱼最终在同一水池的概率为.
18.如图，在四棱锥中，，，，平面平面ABCD.
（1）证明：平面PCD；
（2）若E是棱PA的中点，且平面PCD，求异面直线BE与PD所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用面面垂直性质定理结合线面垂直判定定理证明即可；
（2）应用面面平行性质定理得出线线平行求出异面直线所成角的余弦值.
【小问1详解】
因为平面平面ABCD，交线为AD，
又平面ABCD，，所以平面PAD，
又因为平面PAD，所以，
又因为，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD
【小问2详解】
取AD中点，记为F，连接EF，BF，又因为E为AP中点，
所以，所以为BE与PD所成角（或补角），
又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，
又因为平面PCD，，平面平面
所以平面平面PCD，
又平面平面，平面平面，所以，
由（1）知，平面PAD，所以平面PAD，平面PAD，所以，
，，，
所以.
所以异面直线BE与PD所成角的余弦值为.
19.当内一点P满足条件时，称点P为的布洛卡点，角θ为的布洛卡角．如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为θ．
（1）证明：．
（2）证明：；
（3）若，且，求A及．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3），
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理的面积公式即可证明.
（2）利用余弦定理和（1）中结论即可证明.
（3）利用余弦定理和（2）中结论即可求解.
【小问1详解】
因①式，
所以.
【小问2详解】
在，，中，分别由余弦定理得：
，
，
，
三式相加整理得：②式，
结合①②式，可得，
整理可得，所以原式得证，
【小问3详解】
若，则，所以，所以，
所以，即，又，
在中，由余弦定理得，
又，所以，
由（2），得，
解之可得．