贵州毕节2023~2024学年高一下册期末联考数学试卷[附解析]

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注意事项：
本试卷满分150分.考试用时120分钟.
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦千干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.掷一颗质地均匀的骰子，下列事件中与事件“向上的点数不超过3”互为对立的是（ ）
A.向上的点数小于3B.向上的点数大于3
C.向上的点数至少为3D.向上的点数为3
【答案】B
【解析】
【分析】根据对立事件的定义求解即可.
【详解】掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上的点数不超过3”的对立事件是
向上的点数大于3.
故选：B
2.集合，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集运算即可求解.
【详解】，
所以
故选：A
3.若向量，且，则（ ）
A.B. 2C.D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量线性坐标运算及向量共线的坐标表示求解，再代入求模即可.
【详解】由已知，
得，
因为，所以，解得，
则，
故选：C.
4.已知，则的大小关系为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小.
【详解】因为在上递减，且，
所以，即，
所以，
因为在，且，
所以，即，
所以.
故选：D
5.已知函数，若，则的值为（ ）
A.B.或2C.或2D.或
【答案】C
【解析】
【分析】分与两段讨论，分别建立方程求解即可.
【详解】①当时，由，解得，
其中不满足题意，故；
②当时，由，解得，满足，故；
综上所述，则的值为或.
故选：C.
6.已知是第三象限角，且，则（ ）
A.B.C.D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】对化简后利用同角三角函数的关系求出，然后利用两角差的正切公式计算即可.
【详解】由，得，得，
因为是第三象限的角，
所以，
所以，
所以.
故选：A
7.某研究小组为了解某市高中生自主阅读情况，随机调查了2000名学生的每周自主阅读时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图，其中每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3.则以下说法中错误的是（ ）
A.
B.估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时
C.样本的极差介于6小时至10小时之间
D.估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是6.5小时
【答案】D
【解析】
【分析】A项，由已知频率可得关系；B项，由各组频率之和为与A项所得频率关系求解，由，估计第60百分位数值所在区间，再利用矩形面积计算估值即可；C项，由最大值与最小值的取值区间，再由不等式的性质可得极差范围；D项，样本平均数由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积（频率）的乘积之和近似代替，计算可得.
【详解】选项A，由每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3，
则，解得，故A正确；
选项B，由各组频率之和为得，，
联立解得，
故五组的频率分别为，
因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，
且，
设样本数据的第60百分位数值为，则，
由，解得，
故估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时，故B正确；
选项C，设样本数据中的最小值为，最大值为，
由频率分布直方图可知，最小值，最大值，
所以，则由不等式的性质可得极差，
即样本的极差介于6小时至10小时之间，故C正确；
选项D，由频率分布直方图样本平均数的近似值为，
估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是小时，故D错误.
故选：D.
8.已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标，的零点为函数与交点的横坐标，再由函数图象的对称性可求得结果.
【详解】由题意可得零点为函数与交点的横坐标，
因为和在上递增，所以在上递增，
所以为唯一的零点，设函数与交点为，
的零点为函数与交点的横坐标，
因为和在上递减，所以在上递减，
所以为唯一的零点，设函数与交点为，
因为与图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，
所以关于直线对称，所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是利用与的图象关于直线对称和与的图象关于直线对称进行求解，考查数学转化思想，属于较难题.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.复数满足，则下列说法正确的有（ ）
A.的虚部为B.
C.在复平面上对应的点在第四象限D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由求出复数，然后逐个分析判断即可.
【详解】由，得，
对于A，的虚部为，所以A错误，
对于B，，所以B正确，
对于C，在复平面上对应的点在第四象限，所以C正确，
对于D，，所以D错误.
故选：BC
10.函数的部分图象如图所示，∥轴，下列说法正确的是（ ）
A.的周期为
B.
C.在上单调递增
D.将的图象向右平移个单位长度后得的图象，则为偶函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据图象与题意可求出一条对称轴，从而求出周期，则可求出，再将代入函数中可求出的值，然后逐个分析判断.
【详解】因为∥轴，所以的一条对称轴为，
所以由图象可知，所以，所以A正确，
所以，得，
所以，
因为的图象过点，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以B正确，
所以，
由，得，则，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，所以C正确，
将的图象向右平移个单位长度后得，，
所以为奇函数，所以D错误.
故选：ABC
11.如图，在三棱柱中，，，则下列说法正确的有（ ）

A.
B.二面角的余弦值为
C.三棱锥的表面积为4
D.三棱柱的外接球的体积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用勾股定理逆定理得到，，即可证明平面，从而判断A；取的中点，连接，，则为二面角的平面角，再由锐角三角函数判断B，根据锥体的表面积公式判断C，将三棱柱补成长方体，求长方体外接球的体积，即可判断D.
【详解】因为，，
所以，，，
所以，，，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，故A正确；
取的中点，连接，，则，，
所以为二面角的平面角，又，
平面，平面，所以，
，
所以，即二面角的余弦值为，故B错误；

因为，，，
所以三棱锥的表面积，故C正确；
将该直三棱柱补成长方体，则长方体的外接球即为该三棱柱的外接球，

设外接球的半径为，则，
所以外接球的体积，故D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.一支田径队有男运动员50人，女运动员40人.按性别进行分层，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为18的样本，得到男生､女生的平均身高分别为和.估计该田径队全体队员的平均身高为__________.
【答案】167
【解析】
【分析】由分层抽样方法可得样本中男女生人数，再根据男生与女生的平均身高求出样本的平均数，从而估计田径队全体队员的平均身高.
【详解】由题意可得，样本中男生人数为，
女生人数为，
则样本运动员的平均身高为，
故估计该田径队全体队员的平均身高为.
故答案为：.
13.在三棱台中，底面为等腰直角三角形，，侧面是等腰梯形且与底面垂直，，则三棱台的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可先求出和的面积，由侧面是等腰梯形且与底面垂直，可知等腰梯形的高即为三棱台的高，再结合棱台的体积公式求解.
【详解】因为底面为等腰直角三角形，，，
所以，所以，
同理可得，
因为侧面是等腰梯形且与底面垂直，
所以等腰梯形的高即为三棱台的高，
因为，
所以等腰梯形的高为，
所以三棱台高为，
所以的体积为.
故答案为：
14.定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则__________；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为__________.
【答案】 ①.## ②.##
【解析】
【分析】由，根据余子式定义转化为二阶行列式列方程可解出；利用余子式定义将转化为二阶行列式经过运算化简得解析式，再借助复合函数单调性同增异减求解减区间即可.
【详解】由三阶行列式根据题意得，
元素的余子式，
解得；
元素2的余子式
则函数
由解得，则定义域为，
令，
则当，函数单调递增，又单调递增，
所以由复合函数单调性可知在区间上单调递增；
当，函数单调递减，又单调递增，
所以由复合函数单调性可知在区间上单调递减；
故单调减区间为.
故答案为：；（填也正确）.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15.在中，内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将已知等式化简后利用正弦定理统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简可求得结果；
（2）由三角形面积求出，再结合余弦定理可求得，从而可求出三角形的周长.
【小问1详解】
由，
得，
由正弦定理得，
因为
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以.
【小问2详解】
因为的面积为，
所以，
所以，
由余弦定理得，
所以，
的周长为.
16.盒子中有6个大小形状完全相同的小球，其中有两个小球标有数字1，记为；有两个小球标有数字2，记为；有一个小球标有数字3，记为；有一个小球标有数字4，记为.现从中一次取出两个小球.
（1）写出试验的样本空间；
（2）①“取出的两个小球上标有的数字不相同”，求；
②“取出的两个小球上的数字之和为5”，求；
③“取出的两个小球上的最小数字是2”，求.
【答案】（1）
（2）①；②；③.
【解析】
【分析】（1）根据题意直接列举即可；
（2）①从（1）列举的样本空间中找出取出的两个小球上标有的数字不相同的情况，然后利用古典概型的概率公式求解；②从（1）列举的样本空间中找出取出的两个小球上的数字之和为5的情况，然后利用古典概型的概率公式求解；③从（1）列举的样本空间中找出取出的两个小球上的最小数字是2的情况，然后利用古典概型的概率公式求解
【小问1详解】
样本空间为
共15个样本点
【小问2详解】
①
共13个样本点
；
②
；
③
.
17.《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）作的中点，连接，则由三角形中位线定理及平行四边形的性质可证得四边形为平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理证得平面，则
，由，可得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；
（3）连接交于点，连接，则可得平面，所以与平面所成角为，然后在中求解即可.
【小问1详解】
作的中点，连接，
由得分别为的中点，
所以且，
又因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，所以平面
【小问2详解】
因为，所以，
因为底面，所以，
又因为平面，且，
所以平面，
所以，
因为，，所以，，
又因为平面，
所以平面；
【小问3详解】
连接交于点，连接，
因为点分别为的中点，
所以，
所以平面，
所以为在平面中的射影，
所以与平面所成角为，
由已知得
所以，
因为为锐角，所以，
所以与平面所成角为.
18.如图，居民社区要建一个休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的成轴对称的“”形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在两个相同的矩形和上铺花岗岩地坪，造价为210元；在两个三角形和上铺草坪，造价为40元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）.

（1）设长为（单位：），写出关于的函数解析式；
（2）当为何值时，最小？并求出这个最小值.
【答案】（1）
（2）， 元.
【解析】
【分析】（1）由题意得，求出即可；
（2）根据题意表示出每一部分的面积，再乘以相应的每平方米的造价，然后相加可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值.
【小问1详解】
由题意得，
解得，
由于，得，
所以；
【小问2详解】
由题意得，
所以，
，
当且仅当，即时取“
所以当时，最小，且元.
19.已知函数的最大值为.
（1）求实数的值；
（2）若向量满足，设的夹角为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先将函数变形为，然后换元，令，则，再根据二次函数的性质求其最大值，从而列方程可求出的值；
（2）根据向量的夹角公式及的范围求解即可.
【小问1详解】
，
令，则，
当，即时，
，无解，
当，即时，
，
解得或，因为，所以
当，即时，
，
解得（舍去）
综上；
【小问2详解】
由（1）可知，
因为，所以，
即，
因为向量满足，
所以，
因，所以，
所以，所以，
所以的取值范围为