安徽阜阳第一中学2023~2024学年高二下册期末考试数学试卷[附解析]

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考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数（是虚数单位），则（ ）
A.B.
C.D.
3.已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A.2B.C.D.
4.已知函数，则不等式的解集为（ ）
A.B.C.D.
5.“”是“直线被圆截得的弦长为”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C 充要条件D.即不充分也不必要条件
6.已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
7.已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且，，则此球的表面积等于（ ）
A.B.C.D.
8.已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递减的有序数对的个数是（ ）
A.36B.42C.72D.84
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量，则下列命题正确的有（ ）
A.若，则B.若，则
C.D.的最大值为3
10.已知在棱长为2的正方体中，分别是的中点，点为正方形内（包括边界）的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A.平面
B.平面平面
C.三棱锥的体积为
D.若点到直线与到直线的距离相等，则点的轨迹为圆的一部分
11.已知函数及其导函数，若，则（ ）
A.B.
C D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分析，且，则估计该企业生产的1000个零件中合格品的个数为__________．
13.已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，在上恰有4个零点，则__________.
14.已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的极值.
16.如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等边三角形，为的中点，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角正弦值.
17.过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，若，求的面积（为坐标原点）.
18.某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表：
（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；
（2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布列和数学期望；
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值.
参考公式及数据：，其中.
19.如果无穷数列满足“对任意正整数，都存正整数，使得”，则称数列具有“性质”.
（1）若等比数列的前项和为，且公比，求证：数列具有“性质”；
（2）若等差数列首项，公差，求证：数列具有“性质”，当且仅当；
（3）如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”，且四个数中恰有两个出现在数列中，求的所有可能取值之和.
产品
合格
不合格
合计
调试前
45
15
60
调试后
35
5
40
合计
80
20
100
0.025
0.01
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828