苏科版2025年新九年级数学核心考点讲与练第02讲根的判别式、根与系数关系(核心考点讲与练)(原卷版+解析)

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一．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
二．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2=ca，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【考点剖析】
一．根的判别式（共4小题）
1．（2022•东坡区校级模拟）一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
2．（2022•兴化市模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当a+b+c＝0时，方程有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．b＝c≠aB．a＝b≠cC．a＝c≠bD．a＝b＝c
3．（2022•南京一模）若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是 ．
4．（2022•邗江区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
二．根与系数的关系（共6小题）
5．（2021秋•泰兴市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣5D．5
6．（2022•工业园区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一个根为2，则另一个根是 ．
7．（2021秋•鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1+x2，x1•x2．
8．（2021秋•东台市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及方程的另一根．
9．（2021秋•南关区校级期末）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．
（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．
10．（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
三．一元二次方程的整数根与有理根（共3小题）
11．小明到商场购买某个牌子的铅笔x支，用了y元（y为整数）．后来他又去商场时，发现这种牌子的铅笔降价20%，于是他比上一次多买了10支铅笔，用了4元钱，那么小明两次共买了铅笔 支．
12．若关于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7＝0的根是正整数，则整数r的值可以是 ．
13．（2020•仪征市一模）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）为该“全整方程”的“全整数”．
（1）判断方程x2x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．
【过关检测】
一．选择题（共5小题）
1．（2019秋•苏州期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2ax﹣b＝0有一个实数根x＝1，则下面关于该方程根的判别式△的说法正确的是（ ）
A．Δ＞0B．Δ＝0C．Δ＜0D．无法确定
2．（2021秋•仪征市期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等实数根，则整数a最大是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
3．（2021秋•宝应县期末）方程x2﹣x＝﹣2的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
4．（2021秋•仪征市期末）已知方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜c，则下列式子中一定正确的是（ ）
A．m＜b＜n＜cB．b＜m＜n＜cC．m＜n＜b＜cD．m＜b＜c＜n
5．（2020•南通模拟）已知数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（ ）
A．11B．12
C．m有无数个解D．13
二．填空题（共10小题）
6．（2019•京口区校级开学）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣4和﹣1，则p＝ ，q＝ ．
7．（2022•秦淮区一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，则x+y﹣2xy的值是 ．
8．（2022•鼓楼区一模）已知关于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，则m+n＝ ．
9．（2021秋•东西湖区期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x1+x2的值为 ．
10．（2021•栖霞区开学）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝ ．
11．（2020秋•姜堰区期中）若关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，则正整数a＝ ．
12．（2022春•崇川区校级月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝ ．
13．（2022•海安市模拟）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两实根是x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值是 ．
14．（2021•栖霞区二模）已知关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整数；若k为整数，则k的值为 ．
15．（2020春•崇川区校级月考）使得关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整数的整数m值是 ．
三．解答题（共9小题）
16．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．
17．（2021秋•沭阳县期末）关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于2，求k的取值范围．
18．（2021秋•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝2，求m的值．
19．（2021秋•海州区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根．
20．（2021秋•梁溪区校级期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．
21．（2021秋•阜宁县期末）定义新运算：对于任意实数m，n都有m★n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3★2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：
（1）若（x+1）★3＝15，求x的值．
（2）若2★a的值小于0，请判断关于x的方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．
22．（2021秋•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0．
（1）当k＝2时，求方程的根；
（2）求证：这个方程总有两个不相等的实数根．
23．（2021春•东台市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有实数根．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若x1+x2﹣3x1x2＝2，求k的值．
24．（2021秋•东海县期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：
（1）若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ ；
（2）若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．