浙江省杭州市名校发展共同体2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

这是一份浙江省杭州市名校发展共同体2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列有关亚运会的四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中计算正确的是（ ）
A．3+2=5B．3−2=1C．2÷3=32D．2×3=6
3．如图，在▱ABCD中，∠A=3∠B，则∠C的度数为（ ）
A．135°B．120°C．115°D．45°
4．一元二次方程x2−4x+2=0配方后可化为（ ）
A．(x+2)2=2B．(x−2)2=2C．(x−2)2=4D．(x+2)2=4
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD=BCB．AB∥DCC．∠A=∠CD．AB=DC
6．在元旦节目汇演比赛中，7位评委给某节目打分，得到互不相等的7个分值，同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．标准差
7．用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个三角形中（ ）
A．每一个锐角都小于45°B．有一个锐角大于45°
C．有一个锐角小于45°D．每一个锐角都大于45°
8．一个六边形如图所示．已知AB∥DE,BC∥EF,CD∥AF．若∠A=122°,∠C=128°，则∠E的值为（ ）
A．110°B．111°C．112°D．113°
9．为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为s=12gt2（g为10米/秒2）．若设石头从井口落到并底用了x秒，则可列方程为（ ）
A．330x=5x2B．330(6.5+x)=5x2
C．330(6.5−x)=5x2D．330×6.5=5x2
10．如图，在△ABC中，AB=3，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到△A'B'C'，分别取边BC、A'C'的中点P、Q，则线段PQ的长可能是（ ）
A．6B．7C．2D．3
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．若x+2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．若关于x的方程 x2+ax−2=0 有一个根是1，则 a= .
13．水果超市卖一批散装草莓，草莓大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的草莓．设原有草莓质量（单位：g）的方差为S12，该顾客选购的草莓质量的方差为S22，则S12 S22（填“>”、“=”或“
【知识点】方差
【解析】【解答】选购后草莓大小波动比原来小，方差小；
故答案为：＞.
【分析】方差表示数据的波动，波动越大，方差越大，原来的草莓个头相差较大，因此方差大.
14．【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AD∥BC，AD=BC=5，O是AC的中点
∴∠DAF=∠BFA
∵AF平分∠ABC
∴∠DAF=∠BAF
∴∠BAF=∠BFA
∴AB=BF=3
∴CF=BC−BF=AD−BF=2
∵E是AF的中点，O是AC的中点
∴EO是△AFC的中位线
∴EO=12FC=1
故答案为：1．
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC=5，点O是AC的中点，由二直线平行，内错角相等得∠DAF=∠BFA，再由角平分线及等量代换得∠BAF=∠BFA，根据等角对等边得出AB=BF=3，由线段的和差求出CF=2，最后根据三角形的中位线等于第三边的一半可求出OE的长.
15．【答案】6；135
【知识点】多项式乘多项式；正方形的性质；数形结合
【解析】【解答】解：由图1中正方形的边长为x，面积为81
∴x=9
图2中正方形的边长为x+p2，面积为144
∴x+p2=12
∴p=6
∴9×9+6=135=q
故答案为：6；135．
【分析】根据古巴比伦的几何解法需要构造一个边长为x的正方形加上一个长为x宽为p的长方形，然后将右边的长方形剪成两个宽为p2的长方形，拼成一个边长为x+p2的正方形；根据图1的面积算出x=9，根据图2的面积求出x+p2=12，求解得出p，然后代入即可计算出q.
16．【答案】62；10
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵▱ABCD，∠B=45°
∴∠B=∠D=45°
过点F作FK⊥DE于K
∴DK=KF
∵DF=22
∴DK=KF=2
∵AD=BC=8，点E是AD边上的中点
∴AE=DE=4
∴EK=DE−DK=2=KF
∴EF=EK2+KF2=22，∠KEF=∠EFK=45°
∵GE⊥EF
∴∠AEG=45°
过点G作GL⊥AE
∴△GLE为等腰直角三角形
∴GE=GL2+LE2=2GL
过点A作AM⊥BC于点M，则AM=GL=BM
∵AB=6
∴AM=BM=32
∴GE=6
∴△GEF的面积为：12×EF×GE=12×22×6=62；
故答案为：62；
（2）过点F作FK⊥DE于K，延长KF交BC的延长线于点M，过点G作GN⊥BC，延长NG交DA的延长线于点L，过点F作FI⊥GN，
由（1）得∠B=∠D=45°，DK=KF=3，AE=DE=4
∴EK=DE−DK=1
∴FE=EK2+FK2=10
∵CF=CD−DF=6−32，∠M=90°，∠CFM=45°
∴CM=FM=CF2=32−3
∵∠INM=∠NIF=90°
∴四边形INMF为矩形
∴IN=FM=32−3
设GI=x，则GN=BN=32−3+x
∴IF=MN=BC−BN+CM=8−x
∴GF2=GI2+IF2=x2+8−x2
∵∠B=45°
∴BG=2GN=6−32+2x
∴AG=AB−BG=32−2x
∵∠L=90°,∠LGA=45°
∴LG=LA=AG2=3−x
∴LE=AE+LA=7−x
∴GE2=LE2+LG2=3−x2+7−x2
∵∠GEF=90°
∴GE2+EF2=GF2
可得方程3−x2+7−x2+10=x2+8−x2
解得x=1
∴LG=2,LE=6
∴GE=LE2+LG2=210
∴△GEF的面积为：12×EF×GE=12×210×10=10．
故答案为：10.
【分析】（1）根据平行四边形的对角相等得出∠B=∠D=45°，过点F作FK⊥DE于K，易得△KDF是等腰直角三角形，由勾股定理得DK=KF=2，由平行四边形对边相等、中点定义及线段和差可得EK=2，则△EFK是等腰直角三角形，再由勾股定理算出EF的长；进而推出△GLE与△ABM为等腰直角三角形，由勾股定理得GE=2GL；过点A作AM⊥BC于点M，由平行线间的距离相等及等腰直角三角形性质得AM=GL=BM，继续利用勾股定理得出GE=6，即可求解；
（2）过点F作FK⊥DE于K，延长KF交BC的延长线于点M，过点G作GN⊥BC，延长NG交DA的延长线于点L，过点F作FI⊥GN，结合（1）中方法得出∠B=∠D=45°，DK=KF=3，AE=DE=4，EK=DE−DK=1，设GI=x，通过计算可得GL=3−x，再由勾股定理列方程可求得x，即可求解．
17．【答案】（1）解：原式=3−33−3=−33
（2）解：原式=3−1=2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先将各二次根式化简，再合并；
（2）利用平方差公式计算即可.
18．【答案】解：根据题意得：
解：2(x−2)−(x−2)2=0
(x−2)(2−x+2)=0
x1=2或x2=4．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】甲同学在方程两边同时乘以(x-2)，当x=2时，x-2=0，就相当于在方程两边同时除以了“0”，这违背了等式性质，从而出现了错误；乙同学在提取公因式后，剩下的商式写在一起的时候，没有注意到符号的问题，故出错了；观察方程的左右两边都含有因式（x-2），故将方程右边整体移到方程的左边，从而利用提取公因式法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，据此将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
19．【答案】（1）解：如图所示平行四边形ABCD即为所求；
（2）213+217
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】（2）根据网格及勾股定理得：AB=CD=32+22=13
AD=BC=12+42=17
∴▱ABCD的周长为：AB+CD+AD+BC=213+217
故答案为：213+217．
【分析】（1）利用方格纸的特点，连接AO并延长至点C，使OC=OA，连接BO并延长至点D，使OD=OB，然后再顺次连接A、B、C、D，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得平行四边形ABCD；
（2）利用网格特点及勾股定理求出边长，然后求解即可．
（1）解：如图所示▱ABCD即为所求；
（2）根据网格及勾股定理得：AB=CD=32+22=13
AD=BC=12+42=17
∴▱ABCD的周长为：AB+CD+AD+BC=213+217
故答案为：213+217．
20．【答案】（1）解：阅读时间出现次数最多的是11小时，共出现15次，因此众数是11小时，
将调查的40名学生课外阅读时间从小到大排列，处在中间位置的是第20和21个数，对应为11小时和12小时，因此中位数是11+122=11.5小时
这40人的平均数为：10×5+11×15+12×10+13×5+14×540=11.75（小时）
答：众数：11ℎ； 中位数：11.5ℎ；平均数：11.75ℎ．
（2）解：10+5+540×720=360（人）
答：寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为360人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）用该校学生的总人数乘以样本中课外阅读时间达到12小时及以上的学生所占的百分比，即可估计该校学生课外阅读时间达到12小时及以上的学生人数．
（1）解：阅读时间出现次数最多的是11小时，共出现15次，因此众数是11小时，
将调查的40名学生课外阅读时间从小到大排列，处在中间位置的是第20和21个数，对应为11小时和12小时，因此中位数是11+122=11.5小时
这40人的平均数为：10×5+11×15+12×10+13×5+14×540=11.75（小时）
答：众数：11ℎ； 中位数：11.5ℎ；平均数：11.75ℎ．
（2）10+5+540×720=360（人）
答：寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为360人．
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠ADC
∴∠BAE=∠DCF
∵BE,DF分别平分∠ABC和∠ADC
∴∠ABE=12∠ABC,∠CDF=12∠ADC
∴∠ABE=∠CDF
∴△ABE≌△CDF(ASA)
∴BE=DF；
（2）解：过点E作EP⊥AB于点P
∵BE,DF分别平分∠ABC和∠ADC
∴EP=EG=4
∵▱ABCD的周长为36
∴AB+BC=18
∴S△ABC=S△ABE+S△EBC=12AB×EP+12BC×EG=12×4×AB+BC=18×4=72．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行四边形性质得∴AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，由二直线平行，内错角相等得∠BAE=∠DCF，再根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CDF，从而利用AS可证△ABE≌△CDF，由全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）过点E作EP⊥AB于点P，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得EP=EG=4，由平行四边形的对边相等及周长计算公式得AB+BC=18，再根据三角形面积计算公式，利用S△ABC=S△ABE+S△EBC求解即可．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,∠BAC=∠DCA,∠ABC=∠ADC
∵BE,DF分别平分∠ABC和∠ADC
∴∠ABE=12∠ABC,∠CDF=12∠ADC
∴∠ABE=∠CDF
∴△ABE≌△CDF(ASA)
∴BE=DF；
（2）解：过点E作EP⊥AB于点P
∵BE,DF分别平分∠ABC和∠ADC
∴EP=EG=4
∵▱ABCD的周长为36
∴AB+BC=18
∴S△ABC=S△ABE+S△EBC=12AB×EP+12BC×EG=12×4×AB+BC=18×4=72．
22．【答案】（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
由题意得：(1+x)2=1+96%
解得：x1=−2.4（舍），x2=0.4=40%
答： 该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%；
（2）解：设应该再增加m个工厂
(2+m)(6−0.2m)=27
m1=25（舍），m2=3
答：应该再增加3个工厂．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，根据“从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了96%”列一元二次方程求解；
（2）设应该再增加m个工厂，根据“每季度生产汽车27万辆”，列出一元二次方程求解．
（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
(1+x)2=1+96%
解得：x1=−2.4（舍），x2=0.4=40%
（2）解：设应该再增加m个工厂
(2+m)(6−0.2m)=27
m1=25（舍），m2=3
答：应该再增加3个工厂．
23．【答案】解：任务1：1，−2，3；
任务2：由题意可知，原方程可化为：ax−x1x−x2x−x3=0
展开整理得：ax3−ax1+x2+x3x2+ax1x2+x1x3+x2x3x−ax1x2x3=0
与原方程ax3+bx2+cx+d=0比较可得，x1+x2+x3=−ba，x1⋅x2⋅x3=−da；
任务3：利用上题结论可知：α+β+γ=−12，αβγ=−−62=3
∴1αβ+1βγ+1αγ=α+β+γαβγ=−123=−16．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：任务1：∵ax−1x+2x−3=0，且a≠0
∴x−1=0或x+2=0或x−3=0
x1=1，x2=−2，x3=3
故答案为：1，−2，3；
【分析】任务1：根据几个因式的乘积等于零，则这几个因式中至少有一个为零，可将方程降次为三个一元一次方程，解三个一元一次方程即可求出原方程的解；
任务2：将方程改写成几个一次因式积的形式，展开后进行对比即可解决问题；
任务3：利用任务2的结论，将待求式子利用异分母分式加法法则计算后，整体代入计算可得答案.
24．【答案】（1）解：①由折叠得△ABE≌△AFE
∴∠1=∠2
∵▱ABCD
∴AD∥BC
∴∠DAE=∠1
∴∠2=∠DAE
∴AD=DE
②由①知DE=AD=13
过点D作DH⊥BC延长线于点H，则∠H=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC=AB=8，AB∥CD
∴∠B=∠DCH=60°
∴∠CDH=30°
∴在Rt△DCH中，CH=12CD=4,DH=43
在Rt△DEH中，EH=132−(43)2=11
∴CE=11−4=7
∴BE=13−7=6；
（2）解：延长EF交AD的延长线于点G，过点G作GH⊥BC于点H，过点D作GK⊥BC于点K．
易得四边形BEGD为平行四边形，四边形KHDG是矩形
∴设BE=DG=x，则HK=x
∴由（1）知GH=43,CK=4,EC=13−x
∴EH=13−x+4+x=17
∴在Rt△EHG中，GE=172+(43)2=337
同（1）中方法得GE=AG=337
∴BE=DG=337−13．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①由折叠性质得∠1=∠2，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DAE=∠1，则可得∠2=∠DAE，从而由等角对等边可得结论；
②过点D作DH⊥BC延长线于点H，由平行四边形性质得DC=AB=8，AB∥CD，由二直线平行，同位角相等得∠B=∠DCH=60°，则∠CDH=30°，利用含30度角的直角三角形的性质求出CH、DH，然后利用勾股定理算出EH，最后根据线段和差求解即可；
（2）延长EF交AD的延长线于点G，过点G作GH⊥BC于点H，过点D作GK⊥BC于点K，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形BEGD是平行四边形，由平行四边形的对边相等，设BE=DG=x，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形HKDG是矩形，由矩形对边相等得HK=DG=x，由线段和差算出EH=17，根据勾股定理算出GE，由（1）的方法得AG得长，进而即可算出BE的长.
（1）解：①由折叠得△ABE≌△AFE
∴∠1=∠2
∵▱ABCD
∴AD∥BC
∴∠DAE=∠1
∴∠2=∠DAE
∴AD=DE
②由①知DE=AD=13
过点D作DH⊥BC延长线于点H
∵DC=AB=8,∠DCH=∠B=60°
∴在Rt△DCH中，CH=12CD=4,DH=43
在Rt△DEH中，EH=132−(43)2=11
∴CE=11−4=7
∴BE=13−7=6
（2）延长EF交AD的延长线于点G
过点G作GH⊥BC于点H，过点D作GK⊥BC于点K．
根据题意得四边形BEGD为平行四边形
∴设BE=DG=x，则HK=x
∴由（1）知GH=43,CK=4,EC=13−x
∴EH=13−x+4+x=17
∴在Rt△EHG中，GE=172+(43)2=337
同（1）中方法得GE=AG=337
∴BE=DG=337−13．
甲：2(x−2)=(x−2)2
两边同除以(x−2)得：2=x−2
则x=4
（ ）
乙：移项得2(x−2)−(x−2)2=0
提公因式(x−2)(2−x−2)=0
则x−2=0或2−x−2=0
∴x1=2,x2=0
（ ）
寒假阅读时间（小时）
10
11
12
13
14
人数
5
15
10
5
5
探究一元三次方程根与系数的关系
素材1
一元三次方程的定义
我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为ax3+bx2+cx+d=0（b、c、d为常数，且a≠0）．
素材2
一元三次方程的解法
若一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的左边在实数范围内可因式分解为a(x−p)(x−q)(x−r)（p、q、r为实数），即原方程化为：a(x−p)(x−q)(x−r)=0，则得方程的根为x1=p，x2=q，x3=r．
素材3
一元二次方程根与系数的关系的探究过程
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1,x2，则方程可化为ax−x1x−x2=0，即ax2−ax1+x2x+ax1x2=0，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：x1+x2=−ba，x1x2=ca．
问题解决
任务1
感受新知
若关于x的三次方程ax3+bx2+cx+d=0（a、b、c、d为常数）的左边可分解为a(x−1)(x+2)(x−3)，则方程ax3+bx2+cx+d=0的三个根分别为x1=__________，x2=__________，x3=__________．
任务2
探索新知
若关于x的三次方程ax3+bx2+cx+d=0的三个根为x1，x2，x3，请探究x1+x2+x3，x1⋅x2⋅x3与系数a、b、c、d之间的等量关系．
任务3
应用新知
利用上一任务的结论解决：若方程2x3+x2−7x−6=0的三个根为α、β、γ，求1αβ+1βγ+1αγ的值．
甲：2(x−2)=(x−2)2
两边同除以(x−2)得：2=x−2
则x=4
（×）
乙：移项得2(x−2)−(x−2)2=0
提公因式(x−2)(2−x−2)=0
则x−2=0或2−x−2=0
∴x1=2,x2=0
（×）