重庆市育才中学校2024-2025学年高一下学期五月联合诊断性考试数学试题（Word版附答案）

这是一份重庆市育才中学校2024-2025学年高一下学期五月联合诊断性考试数学试题（Word版附答案），共8页。
注意事项：
1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5mm 黑色签字笔答题
3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答
题无效；
4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设复数 （其中 为虚数单位），则在复平面内 对应的点位于（ ）
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知 ，且 ，则实数 等于（ ）
A. B. C. D. 3
3. 已知圆台 的上、下底面半径分别为 2 和 4，母线长为 ，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 ， ， 在 所在平面内，满足 ， ，且
，则点 ， ， 依次是 的（ ）
A. 外心，垂心，重心 B. 重心，外心，内心
C. 外心，重心，垂心 D. 外心，重心，内心
5. 如图，四边形 斜二测画法的直观图为直角梯形 ，其中 ， ，
， ，则四边形 的面积为（ ）
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A. 6 B. C. 12 D.
6. 如图，在斜三棱柱 中， ， 分别为 的中
点，则异面直线 和 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 在 上恰有 5 个不同的 x 值使其取到最值，则正实数 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
8. 设点 是边长为 4 的等边 的三边上的动点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
㙂要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 a，b 表示直线， 表示平面，则下列推理不正确的是（ ）
A. B. ，且
C. D.
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10. 已知 i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）
A. 复数 是纯虚数，则
B. 若 ，则 的最大值为
C. 若 ，则
D. 若 是关于 的方程 的一个根，则
11. 在直四棱柱 中，所有棱长均 2， ， 分别为 的中
点，点 在四边形 内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ）
A 平面 ∥平面
B. 若 ∥平面 ，则 最小值为
C. 当点 在线段 上运动时，四面体 的体积为定值
D. 若 且 ，则 的最小值为
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若球 的体积之比 ，则它们的表面积之比 ______．
13. 已知 ，则 ______．
14. 在正四棱锥 中，高为 ，底面是边长为 2 的正方形，则该正四棱锥的侧面积 ______（用
含有 的式子表示），若该正四棱锥存在内切球，则其外接球半径 与内切球半径 之比的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，15 题 13 分，16、17 题 15 分，18、19 题 17 分，共 77 分，解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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15. 如图在直角梯形 中， ， ，该梯形绕着直线
旋转一周．
（1）求所形成的封闭几何体的体积；
（2）求所形成的封闭几何体的表面积．
16. 已知 分别为 三个内角 对边，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
17. 如图，在正三棱柱 中， 分别是棱 的中点．
（1）求证： ∥平面 ；
（2）过点 的平面交 于点 ，交 于点 ．求证： ．
18. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位，再将所得图象上每一点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不
变，得到函数 的图象，若不等式 在
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时恒成立，求实数 的取值范围．
19. 在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）当 取得最大值时，若 ，点 是边 上的两个动点（ 不重合），记
．
①若 ，当 为何值时， 的面积最小，最小面积是多少？
②三角和差化积公式是一组应用广泛的三角恒等变换式，其形式如下：
它在工程学、绘图测量学等方面，有着广泛的应用．
现记 ，请利用该公式，探究是否存在实常数 和 ，对于所有满足题意的 ，
都有 成立？若存在，求出 和 的值；若不存在，说明理由．
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高 2027 届高一（下）五月联合诊断性考试
数学试题
（满分：150 分；考试时间：120 分钟）
注意事项：
1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5mm 黑色签字笔答题
3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答
题无效；
4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
【1 题答案】
【答案】C
【2 题答案】
【答案】C
【3 题答案】
【答案】B
【4 题答案】
【答案】C
【5 题答案】
【答案】D
【6 题答案】
【答案】B
【7 题答案】
【答案】A
【8 题答案】
【答案】C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
㙂要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分．
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【9 题答案】
【答案】ABC
【10 题答案】
【答案】ABD
【11 题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．
【12 题答案】
【答案】
【13 题答案】
【答案】 ##
【14 题答案】
【答案】 ①. ②.
四、解答题：本题共 5 小题，15 题 13 分，16、17 题 15 分，18、19 题 17 分，共 77 分，解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15 题答案】
【答案】(1) ；(2)
【16 题答案】
【答案】（1）
（2）
【17 题答案】
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【18 题答案】
【答案】（1）
（2）
【19 题答案】
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【答案】（1）证明见解析
（2）① ；②
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