2025年四川省凉山州中考数学试卷附答案

这是一份2025年四川省凉山州中考数学试卷附答案，共21页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）12025的相反数是（ ）
A．2025B．﹣2025C．12025D．−12025
2．（4分）2025年“五一”假期，西昌市以“蓝花笑盈楹”为主题，推出一系列文化旅游体验活动．相关部门数据显示，“五一”假日期间，全市共接待游客117.93万人次，将数据117.93万用科学记数法表示为（ ）
A．117.93×104B．1.1793×105
C．1.1793×106D．0.11793×107
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．m+m＝m2B．（mn2）5＝m5n7
C．m3•m2＝m6D．m8÷m2＝m6
4．（4分）以下字母是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）如图，由5个相同的小正方体搭成的几何体，下列叙述正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同
B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．主视图、左视图和俯视图都不相同
6．（4分）如图，DF∥AB，∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，则∠CED＝（ ）
A．30°B．40°C．60°D．80°
7．（4分）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ）
A．560（1+x）2＝1860
B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860
C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860
D．560+560（1+2x）2＝1860
8．（4分）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（ ）条对角线．
A．6B．7C．8D．9
9．（4分）若（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0，则x+y的平方根是（ ）
A．8B．±8C．±22D．22
10．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若am＜bm，则a＜b
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
11．（4分）如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为（ ）
A．56°B．60°C．62°D．64°
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝2，且图象经过点（6，0），则下列结论错误的是（ ）
A．bc＞0
B．4a+b＝0
C．若ax12+bx1=ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝4
D．若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，则y2＜y1
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）数据0，﹣4，2，﹣1，2，3的中位数是 ．
14．（4分）若式子m−1m+2在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ．
15．（4分）如图，将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单位长度得△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为 ．
16．（4分）若关于x的分式方程x+mx−2+12−x=3无解，则m＝ ．
17．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，若AC＝12，BD＝16，则FG的长为 ．
18．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°，若BC＝22，则BC的长为 ．
三、解答题（共7小题，共78分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（8分）计算：（π﹣3.14）0﹣|1−3|+tan60°+（−13）﹣1．
20．（10分）（1）解不等式：3x−26−x+33≤1；
（2）先化简，再求值：1−2xx+2÷2x2−4xx2+4x+4．求值时请在﹣2≤x≤2内取一个使原式有意义的x（x为整数）．
21．（12分）某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍（A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是 人；
（2）补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形的圆心角为 度；
（3）现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
22．（10分）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cs18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米）
（1）求直吊臂OB的长；
（2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？
23．（12分）如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2=kx（x＞0）的图象交于点A（6，1），B（2，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）利用图象，直接写出不等式ax+b＞kx的解集为 ；
（3）在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，连接PB交⊙O于点C，连接AC，则∠PAC＝∠B．理由如下：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB＝90°
∴∠CAB+∠B＝90°
∵PA与⊙O相切于点A
∴PA⊥AB
∴∠PAB＝90°
∴∠CAB+∠PAC＝90°
∴∠PAC＝∠B
（1）小明根据以上结论，自主探究发现：如图甲，当AB是非直径的弦，而其他条件不变时，∠PAC＝∠B仍然成立，请说明理由；
（2）小明进一步探究发现：如图乙，线段PA与线段PC，PB存在如下关系：PA2＝PC•PB．请你替小明证一证；
（3）拓展应用：如图丙，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°，∠AOB＝150°，BC的延长线与过点A的切线相交于P，若⊙O的半径为1，请你利用小明的探究结论求PC的长．
25．（14分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在直线AC下方的抛物线上运动，求点P到直线AC的最大距离；
（3）动点Q在抛物线的对称轴上，作射线QA，若射线QA绕点Q逆时针旋转90°与抛物线交于点D，是否存在点Q使AQ＝QD？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）每小题给出的四个选项中只有一项是正确的。
1．【解答】解：12025的相反数是−12025．
故选：D．
2．【解答】解：117.93万＝1179300＝1.1793×106．
故选：C．
3．【解答】解：m+m＝2m，则A不符合题意，
（mn2）5＝m5n10，则B不符合题意，
m3•m2＝m5，则C不符合题意，
m8÷m2＝m6，则D符合题意，
故选：D．
4．【解答】解：A、C、D选项的字母均无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形；
B选项的字母能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，为轴对称图形；
故选：B．
5．【解答】解：该几何体的主视图与左视图相同，均为两列，从左到右小正方形的个数分别是3、1．它的俯视图的底层左边是一个正方形，上层是两个正方形．
故选：A．
6．【解答】解：如图，过点C作CG∥AB，
∵DF∥AB，
∴DF∥AB∥CG，
∴∠1+∠CAB＝180°，∠2＝∠CED，
∵∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，
∴∠1＝60°，∠2＝∠ACE﹣∠1＝40°，
∴∠CED＝∠2＝40°．
故选：B．
7．【解答】解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁560（1+x）吨，三月份生产钢铁560（1+x）2吨，
又∵该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨，
∴列方程为560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860．
故选：C．
8．【解答】解：设这个多边形的边数为n，
180°•（n﹣2）＝360°×4，
180°n﹣360°＝360°×4，
解得：n＝10，
∴这个多边形是十边形，
∴从这个多边形一个顶点可以引10﹣3＝7条对角线．
故选：B．
9．【解答】解：∵（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0，
∴3x+2y−19=0①2x+y−11=0②，
②×2，得4x+2y﹣22＝0③，
①﹣②，得﹣x+3＝0，
解得：x＝3，
把x＝3代入②，得2×3+y﹣11＝0，
解得：y＝5，
∴x+y＝3+5＝8，
∴±8=±22，
∴x+y的平方根是±22．
故选：C．
10．【解答】解；A、若|a|＝|b|，则a＝±b，原说法错误，不符合题意；
B、若am＜bm（m＞0），则a＜b，原说法错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法正确，符合题意；
D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
11．【解答】解：设AC与BD相交于点O，如图所示：

∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠BOC是△ABO和△CDO的外角，
∴∠BOC＝∠ABE+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，
∵∠BDC＝56°，
∴∠BAC＝∠BDC＝56°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣∠BAC）=12×（180°﹣56°）＝62°．
故选：C．
12．【解答】解：由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为直线x=−b2a=2，
∴b＝﹣4a＞0，
∴bc＞0，4a+b＝0，故选项A，B正确，不符合题意；
∵ax12+bx1=ax22+bx2且x1≠x2，
∴ax12+bx1+c=ax22+bx2+c，
∴x＝x1和x＝x2关于对称轴直线x＝2对称，
∴x1+x2＝4，故选项C正确；不符合题意；
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，
∵|﹣1﹣2|＞|3﹣2|，
∴y1＜y2，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．【解答】解：将数据从小到大排列为：﹣4，﹣1，0，2，2，3，
根据中位数定义可知：0+22=1，
故答案为：1．
14．【解答】解：根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可得：
m−1≥0m+2≠0，
解得：m≥1，
∴m的取值范围是m≥1，
故答案为：m≥1．
15．【解答】解：由条件可知DF＝AC，AD＝CF＝2，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BF+DF+AD＝AB+BC+CF+AC+AD
＝△ABC的周长+AD+CF
＝20+2+2
＝24．
故答案为：24．
16．【解答】解：原方程去分母：方程两边同时乘以x﹣2，得：
x+m﹣1＝3x﹣6，
x﹣3x＝﹣6﹣m+1，
﹣2x＝﹣5﹣m，
x=5+m2，
∵原方程无解，
∴x=5+m2是原方程的增根，
由x﹣2＝0，x＝2，
∴5+m2=2，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
17．【解答】解：连接OE，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，且AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OC=12AC＝6，OD=12BD＝8，
∴∠COD＝90°，
在Rt△COD中，
由勾股定理得：CD=OC2+OD2=62+82=10，
∵E是边CD的中点，
∴OE是Rt△OCD斜边上的中线，
∴OE=12CD＝5，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，
∴∠OGE＝∠OFE＝∠COD＝90°，
∴四边形OGEF是矩形，
∴FG＝OE＝5．
故答案为：5．
18．【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠ABC＝65°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，
∴OC＝OB=22BC=22×22=2，
∴BC的长为：90π×2180=π，
故答案为：π．
三、解答题（共7小题，共78分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．【解答】解：原式＝1﹣（3−1）+3−3
＝1−3+1+3−3
＝﹣1．
20．【解答】解：（1）原不等式去分母得：3x﹣2﹣2（x+3）≤6，
去括号得：3x﹣2﹣2x﹣6≤6，
移项，合并同类项得：x≤14；
（2）原式＝1−2xx+2•(x+2)22x(x−2)
＝1−x+2x−2
=x−2−x−2x−2
=−4x−2；
∵x≠0，x+2≠0，x﹣2≠0，
∴x≠0，x≠±2，
∴x＝1，
原式=−41−2=4（答案不唯一）．
21．【解答】解：（1）本次调查的总人数是：10÷20%＝50（人）．
故答案为：50；
（2）C类人数为：50﹣10﹣20﹣8＝12（人），
补全统计图：
C类所对应的扇形的圆心角为：360°×1250=86.4°．
故答案为：86.4；
（3）画树状图如下：
一共有12种情况，恰好是1名女生和1名男生的有8种情况，
所以，P（恰好是1名女生和1名男生）=812=23．
22．【解答】解：（1）由题意得，BM⊥OM，
∵∠BOM＝18.17°，BM＝3米，
∴在Rt△BOM中，OB=MBsin∠BOM=30.31≈10（米），
答：直吊臂OB的长为10米；
（2）如图，记旋转后的点B，M的对应点为B′，M′，延长B′M′交OM于点F，过点B作BE⊥B′F于点E，
则∠BEF＝90°，
由题意得B′M＝BM＝3米，OB′＝OB＝10 米，
∴∠BEF＝∠EFM＝∠BMF＝90°，
∴四边形EFMB为矩形，
∴BM＝EF＝3米，
在Rt△B′OF中，B′F＝OB′×cs∠OB′M＝10×0.81＝8.1（米），
∴M′F＝B′F﹣B′M′＝8.1﹣3＝5.1≈5（米），
∴货物M上升了5米．
23．【解答】解：（1）∵反比例函数y2=kx(x＞0)的图象经过A（6，1），
∴1=k6，
解得k＝6，
∴反比例函数的解析式为y2=6x(x＞0)；
在y2=6x(x＞0)中，当x＝2时，y2=62=3，
∴B（2，3），
∵一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2=kx(x＞0)的图象交于点A（6，1），B（2，3），
∴6a+b=12a+b=3，
解得a=−12b=4，
∴一次函数解析式为y1=−12x+4；
（2）由函数图象可知，当一次函数y1=−12x+4的图象在反比例函数y2=6x(x＞0)的图象上方时自变量的取值范围为2＜x＜6，
∴不等式ax+b＞kx的解集为2＜x＜6，
故答案为：2＜x＜6；
（3）如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接BC，AC，DC，AD，则D（2，﹣3），
由轴对称的性质可得DC＝BC，
∵A（6，1），B（2，3），
∴AB=(2−6)2+(3−1)2=25，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AC+BC+25，
∴当AC+BC有最小值时，△ABC的周长有最小值，
∵AC+BC＝AC+DC，
∴当AC+DC有最小值时，△ABC的周长有最小值，
∵AC+DC≥AD，
∴当A、C、D三点共线时，AC+DC有最小值，即此时△ABC的周长有最小值，最小值为AD+25，
∵A（6，1），D（2，﹣3），
∴AD=(2−6)2+(−3−1)2=42，
∴△ABC的周长的最小值为42+25；
设直线AD解析式为y＝k1x+b1，
则6k+b=12k+b=−3，
∴k=1b=−5，
∴直线AD解析式为y＝x﹣5，
在y＝x﹣5中，当y＝x﹣5＝0时，x＝5，
∴C（5，0）；
综上所述，当点C的坐标为（5，0）时，△ABC的周长有最小值，最小值为42+25．
24．【解答】（1）解：如图所示，连接OA，OC，如图，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO＝90°，
∴∠CAO+∠PAC＝90°，
∴2∠CAO+2∠PAC＝180°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，
∴∠AOC+2∠OAC＝180°，
∴∠AOC＝2∠PAC，
又∵∠AOC＝2∠ABC，
∴∠PAC＝∠B；
（2）证明：由（1）可得：∠PAC＝∠B，
又∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PBA，
∴PAPB=PCPA，
∴PA2＝PB•PC；
（3）解：∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵⊙O的半径为1，
∴OA＝OB＝OC＝1，
在Rt△BOC中，
由勾股定理得：BC=OC2+OB2=12+12=2；
∵∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°．
又∵OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC＝OA＝1，∠OAC＝60°，
∵BC的延长线与过点A的切线相交于P，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO＝90°，
∴∠CAO+∠PAC＝90°，
∵∠OAC＝60°，
∴∠PAC＝30°，
∴∠PAB＝∠PAC+∠BAC＝45°+30°＝75°．
∴∠ABC=12∠AOC=30°，
∴∠P＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝75°，
∴∠ACP＝180°﹣∠P﹣∠PAC＝75°，
∴∠P＝∠ACP，
∴AP＝AC＝1．
设PC＝x，则PB=PC+BC=(x+2)，
由（2）可得：PA2＝PB•PC，
∴12=x(x+2)，
∴x2+2x−1=0，
解得：x=−2+62或x=−2−62（负数不合题意，舍去），
∴PC=−2+62．
25．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）三点，
∴9a−3b+c=0a+b+c=0c=−3，
∴a=1b=2c=−3，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b1（k≠0），
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴−3k+b1=0b1=−3，
∴k=−1b1=−3，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3；
如图所示，过点P作PE∥y轴交AC于E，连接AP，CP，
设P（p，p2+2p﹣3）（﹣3＜p＜0），则E（p，﹣p﹣3），
∴PE=−p−3−(p2+2p−3)=−p2−3p=−(p+32)2+94；
∵S△ACP＝S△APE+S△CPE，
∴S△ACP=12PE⋅(xE−xA)+12PE⋅(xC−xE)=12PE⋅(xC−xA)=12PE⋅[0−(−3)]=32PE，
∴当PE有最大值时，S△ACP有最大值，
∵PE=−(p+32)2+94，﹣1＜0，﹣3＜p＜0，
∴当p+32=0，即p=−32时，PE有最大值，最大值为94，
∴S△ACP的最大值为32×94=278，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴AC=OA2+OC2=32；
设点P到直线AC的距离为h，
∴S△ACP=12AC⋅ℎ=322ℎ，
∴ℎ=23S△ACP，
∵当S△ACP有最大值时，h有最大值，
∴h的最大值为23×278=928，
∴点P到直线AC的最大距离为928；
（3）如图所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作DG⊥QH交直线QH于G，
∵抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴H（﹣1，0），
∴OH＝1；
∵A（﹣3，0），
∴AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2；
设点Q的坐标为（﹣1，q），则QH＝﹣q；
由旋转的性质可得∠AQD＝90°，
又∵∠AHQ＝∠QGD＝90°，
∴∠HAQ+∠HQA＝∠HQA+∠GQD＝90°，
∴∠HAQ＝∠GQD，
又∵AQ＝QD，
∴△HAQ≌△GQD（AAS），
∴DG＝QH＝﹣q，QG＝AH＝2，
∴HG＝QH+QG＝2﹣q，
∴点D的横坐标为﹣1﹣（﹣q）＝﹣1+q，纵坐标为﹣（2﹣q）＝q﹣2，
∴D（﹣1+q，q﹣2），
∵点D在抛物线上，
∴（﹣1+q）2+2（﹣1+q）﹣3＝q﹣2，
∴q2﹣2q+1﹣2+2q﹣3＝q﹣2，
∴q2﹣q﹣2＝0，
解得q＝﹣1或q＝2（舍去），
∴此时点Q的坐标为（﹣1，﹣1）；
如图所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作RS∥x轴，分别过点A，点D作直线RS的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为（﹣1，q），
∴∠R＝∠S＝90°；
由旋转的性质可得∠AQD＝90°，
∴∠RAQ+∠RQA＝∠RQA+∠SQD＝90°，
∴∠RAQ＝∠SQD，
又∵AQ＝QD，
∴△RAQ≌△SQB（AAS），
∴QS＝AR＝q，DS＝QR＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴点D的横坐标为﹣1+q，纵坐标为q﹣2，
∴D（﹣1+q，q﹣2），
∵点D在抛物线上，
∴（﹣1+q）2+2（﹣1+q）﹣3＝q﹣2，
∴q2﹣2q+1﹣2+2q﹣3＝q﹣2，
∴q2﹣q﹣2＝0，
解得q＝2或q＝﹣1（舍去），
∴此时点Q的坐标为（﹣1，2）；
综上所述，存在点Q使AQ＝QD，此时点Q的坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）．
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答案
D
C．
D
B
A
B
C
B
C
C
C
题号
12
答案
D