安徽省阜阳市2024_2025学年高一数学上学期期中试题

这是一份安徽省阜阳市2024_2025学年高一数学上学期期中试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．0,2D．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．“幂函数在单调递减”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．若实数a，b，c满足，则下列不等关系中不可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的定义域为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．或x>7B．
C．或D．
8．从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，则（ ）
A．
B．的值域为
C．是R上的减函数
D．函数图像关于点对称
10．已知，，，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为4D．的最小值为
11．若定义域为，对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．是倒数函数
B．是倒数函数
C．若在上是倒数函数，则
D．若存在，使得在定义域上是倒数函数，则
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数的定义域为，则函数的定义域是 .
13．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 .
14．设函数若存在最小值，则a的取值范围为 ．
解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）当，时，求实数的取值范围.
16．（15分）已知函数.
(1)对任意，函数恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时，求不等式的解集.
17．（15分）某文旅公司设计文创作品，批量生产并在旅游景区进行售卖．经市场调研发现，若在旅游季在文创作品的原材料上多投入万元，文创作品的销售量可增加千个，其中每千个的销售价格为万元，另外每生产1千个产品还需要投入其他成本0.5万元．
(1)求该文旅公司在旅游季增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系；
(2)当为多少万元时，该公司在旅游季增加的利润最大？最大为多少万元？
18．（17分）已知函数定义域为，函数．
(1)解不等式；
(2)若存在两个不等的实数a，b使得，且，求实数m的取值范围．
19．（17分）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”.
(1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由；
(2)若，函数是函数在上的“L函数”，求实数的取值范围；
(3)比较和的大小，并证明：若，函数是函数在上的“L函数”，且，则对任意的都有
2027届高一上学期期中考试数学试题
参考答案：
1．D
【详解】，
由指数函数的性质可得，
所以.
故选：D.
2．A
【详解】根据全称量词命题的否定形式可知：命题“，”的否定
为“，”，
故选：A
3．B
【详解】若为幂函数，则，解得或，
因当时，在上单调递减，符合题意；
当时，在上单调递增，不合题意.
故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立，
即“幂函数在单调递减”是“”的充要条件．
故选：B.
3．B
【分析】ACD选项可以根据排除法解决，B选项根据不等式的性质判断.
【详解】A选项，取，满足，但是，A选项错误；
B选项，显然，则，根据不等式的性质，不等式两边同时乘以可得，，B选项正确；
C选项，取，，，此时，C选项错误；
D选项，若，则，D选项错误.
故选：B
5．A
【详解】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B.
再取特殊值，且为正数.排除D.
当时，，越大函数值越接近1，排除C.
故选：A.
6．D
【详解】由已知得，易知，
设直线l：，作出，，直线l图象，
如图：当时，，，
当时，，，
所以不可能成立，
故选:
7．D
【分析】根据函数的对称性、单调性、图象等知识求得不等式的解集.
【详解】依题意，函数的定义域为，
所以的图象关于直线对称，
，当时，，
所以在区间上单调递增，则在区间上单调递减，
对于不等式，即，
设，的开口向上，对称轴为直线，
，
，
由此画出的大致图象、的图象如下图所示，
由图可知的解集为.
故选：D
8．B
【详解】因为，
所以关于对称，所以的根应成对出现，
又因为的方程恰有三个不同的实数根且，
所以该方程的一个根是，得，且，
所以，由得，
当，即，即时，，①
则，②
由①②得，解得，所以；
当，即，即时，，③
，④
由③④得，即，
解得，此时，不合题意，舍去，
综上，.
故选：B.
9．ACD
【详解】，所以选项A正确；
的值域是，故的值域是，所以选项B错误；
恒正且在R上递增，故是R上的减函数，所以选项C正确；
由于，所以选项D正确．
故选：ACD
10．ACD
【详解】
A选项，，，，当且仅当时，等号成立，A正确；
B选项，，
故，故B错误.
C选项，，
当且仅当，即时，等号成立，C正确；
D选项，
，
其中，，，故，
所以
，
故，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：ACD
11．ACD
【详解】由题意对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，
则在定义域上是“倒数函数”当且仅当对任意，存在唯一，使得；
即当且仅当的值域是的值域的子集，
定义的值域、的值域分别为，
所以在定义域上是“倒数函数”当且仅当；
对于A，的值域为，而的值域为，显然满足，故A正确；
对于B，由对勾函数性质可得，的值域为，
而的值域为，不满足，故B错误；
对于C，由题意在上是倒数函数，
首先当时，单调递减，此时，
由倒数函数定义可知，不包含0，即（1）；
从而在时的值域为，
由题意，
所以要满足题意，还需满足（2）；
只需（1）（2）式子同时成立即可，所以当且仅当，解得，故C正确；
对于D，必要性：情形一：当时，在定义域上单调递增，
则，
若在定义域上是倒数函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
情形二：当时，在定义域上单调递增，
则，
若在定义域上是倒数函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
情形三：当时，注意到的对称轴为，则，
（i）当时，，
由二次函数性质可知存在使得，即此时，
若在定义域上是倒数函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
（ii）当时，由二次函数性质可知，
即此时，注意到，
若在定义域上是倒数函数，
首先，其次结合，可得应该满足；
充分性：，有，
，使得，
这表明当时，存在，使得在定义域上是倒数函数，故D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】在上单调递增，
在单调递减，
则，即，
同时 需满足，即，
解得，
综上可知
故答案为：
14．
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
15．（1），；（2）.
【详解】（1）当时，，即
解得，即，则 …………………………………………………3
，
又
； ………………………………………………………………………8
（2）由解得，
又，，即，
由得， ………………………………………………………………………11
，，
，即的取值范围是. …………………………………………………………13
16．(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）依题意，恒成立，
恒成立，
又因为恒大于0，
所以，
即. …………………………………………………………………6
（2），
当时，，由，解得：
当时，令，解得.
当时，，即由，解得；
当时，，即，解得或
当时，，由，解得x∈R；
当时，，即，由，解得或
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为R；
当时，不等式的解集为 ………………………………………15
(1)
(2)当（万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为万元.
【详解】（1）本季度增加的利润，
当时，，
当时，，
所以该公司增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系式为；
……………………………………………………………7
（2），
当时，，
当，即时，等号成立， ………………………………11
当时，是减函数，当时，取得最大值16， …………13
因为，
所以当（万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为万元 .……………15
18．(1) (2)
【详解】（1）函数定义域为，关于原点对称，
，所以易知，在上单调递增，
因为，是奇函数，
由可得，
所以，解得：.
故不等式的解集为：. …………………………………………………………7
（2）由可得，
所以，不妨设，则，
因为，令，则，
所以，
， …………………………………………12
所以，
令，
因为，所以，
所以，
所以，所以
所以实数m的取值范围为：. …………………………………………17
19．(1)是，理由见解析 (2) (3)，证明见解析
【详解】（1）对任意的，且，
，.
显然有，
所以函数是函数在上的“L函数”. …………………………………………3
（2）因为函数是函数在上的“L函数”，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
化简得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即，解得. …………………………………………………………………8
（3）因为，，所以.
所以当时，.
当 时，.
综上：. ………………………………………………………………………11
对于，不妨设，
（i）当时，
因为函数是函数在上的“L函数”，
所以. 此时成立； ……………………………13
（ii）当时，由得，
因为，函数是函数在上的“函数，
所以
，
此时也成立，
综上，恒成立. …………………………………………………………………17