2025高考数学1卷 解析

这是一份2025高考数学1卷 解析，共15页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题只有一个正确选项。
1.1+5ii 的虚部为( C )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 6
解析：展开复数乘积：1+5ii=i+5i2=i-5=-5+i
虚部为 1，故选 C。
2.设全集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8}，集合 A = {1,3,5}，则 ∁UA中元素个数为( C )
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
解析：全集(U = {1,2,3,4,5,6,7,8})，集合A = {1,3,5}，补集为：∁UA={2,4,6,7,8}
元素个数为 5，故选 C。
3.若双曲线 C 的虚轴长为实轴长的7 倍，则 C 的离心率为( D )
A. 2 B. 2 C. 7 D.22
解析：设双曲线实轴长为2a，虚轴长为2b，则2b=7⋅2a⇒b=7a。
离心率e=ca，其中c=a2+b2=a2+7a2=22a，故e=22，选 D。
4.若点 a,0a>0是函数y=2tanx-π3 的图象的一个对称中心，则 a 的最小值为( B )
A.π6 B. π3 C. π2 D. 4π3
解析：正切函数y=tanx的对称中心为kπ2,0，k∈Z。
令x-π3=kπ2，则x=kπ2+π3。
当k=0时，x=π3；k=-1时，x = -π6（舍去）；k=1时，x=5π6。
因a > 0，最小正对称中心为π3。
5.设fx 是定义在 R上且周期为 2 的偶函数。当 2 ≤x ≤3 时，fx=5-2x，则 f-34=( A )
A. -12 B.-14 C.14 D. 12
解析： fx是周期为2的偶函数，故f-34=f34=f34+2=f114。 当2 ≤x ≤3时，fx=5-2x，代入x=114得：f114=5-2×114=5-112=-12，故选A。
6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反。图 1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系。已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图 2（风速的大小和向量的大小相同，单位 m/s），则真风为( A )
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
解析：红色为真风，大小为22。
7.若圆 x2+y+22=r2r>0 上到直线 y=3x+2 的距离为 1 的点有且仅有 2 个，则 r 的取值范围是( B )
A. (0,1) B. (1,3) C. (3, +∞) D.0,+∞
解析：求圆心到直线的距离： 圆的方程为x2+y+22=r2r>0，其圆心坐标为0,-2。 根据点x0,y0到直线Ax + By + C = 0（直线y=3x+2可化为3x-y+2=0 ）的距离公式d=Ax0+By0+CA2+B2，可得圆心0,-2到直线3x-y+2=0的距离d=3×0--2+232+-12=42=2。
分析圆上到直线距离为1的点的个数与r的关系： 圆上到直线距离为1的点，是与已知直线平行且距离为1的两条直线与圆的交点。 已知圆心到已知直线距离d = 2，要使圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，那么圆的半径r需满足d-1 z > y C. y > x > z D. y > z > x
四种情况：x>y>z,y>x>z,y>z>x，z>y>x,选B
设2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z=k，则：
x=2k-2
y=3k-3
z=5k-5
分别分析不同k取值情况：
k=0时，x=2-2=1/4，y=3-3=1/27，z=5-5=1/3125，x>y>z；
k=1时，x=2-1=1/2，y=3-2=1/9，z=5-4=1/625，x>y>z；
k=2时，x=20=1，y=3-1=1/3，z=5-3=1/125，x>y>z；
k=3时，x=21=2，y=30=1，z=5-2=1/25，x>y>z；
k=4时，x=22=4，y=31=3，z=5-1=1/5，x>y>z；
k=5时，x=23=8，y=32=9，z=50=1，y>x>z；
k=6时，x=24=16，y=33=27，z=51=5，y>x>z；
k=7时，x=25=32，y=34=81，z=52=25，y>x>z；
k=8时，x=26=64，y=35=243，z=53=125，y>z>x；
k=9时，x=27=128，y=36=729，z=54=625，y>z>x；
k=10时，x=28=256，y=37=2187，z=55=3125，z>y>x。
所以x，y，z的大小关系不可能是x>z>y，答案选B。
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分，选错得 0 分。
9.在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，D 为 BC 中点，则(BD)
A. AD⊥A1C B. BC⊥平面AA1D C. AD∥A1B1 D. CC1∥平面AA1D

10.设抛物线C:y2=6x的焦点为 F，过 F 的直线交 C 于 A, B，过 A 作 l:x=-32 的垂线交于 D，过 F 且垂直于 AB 的直线交 l 于 E，则(ACD)
A. AD=AF B. AE=AB C. AB≥6 D.AE⋅BE≥18
选项 C
设Ax1,y1，Bx2,y2，直线AB的方程为x=my+32（m存在时 ），代入抛物线方程y2=6x得y2=6my+32，即y2-6my-9=0。 根据韦达定理y1+y2=6m，y1y2=-9 。 由抛物线的焦点弦长公式AB=x1+x2+p ，又x1=my1+32，x2=my2+32，则AB=my1+y2+3+3=6m2+6≥6（当m = 0时，取等号，此时直线AB垂直x轴 ），C 选项正确 。
选项 D
1. 抛物线与直线基础
抛物线y2=6x，焦点F32,0，准线l:x=-32。 设直线AB:x=my+32（避免斜率不存在），代入抛物线得：y2-6my-9=0由韦达定理：y1+y2=6m，y1y2=-9Ax1,y1、Bx2,y2。
2. 求E点坐标
EF ⊥AB，故EF斜率为-m，方程：y=-mx-32。结合准线l:x=-32，得E-32,3m。
3. 向量与数量积
向量AE=-32-x1,3m-y1，BE=-32-x2,3m-y2。
由抛物线y2=6x，得x1=y126，x2=y226。
计算数量积：AE⋅BE=-32-y126-32-y226+3m-y13m-y2
=94+y12+y224+y12y2236+9m2-3my1+y2+y1y2
代入y1+y2=6m，y1y2=-9，化简得：AE⋅BE=0
4. 结论
AE⋅BE=0⟹AE⊥BE，即∠AEB=90∘。
11.已知 △ABC 的面积为 14，若cs2A+cs2B+2sinC=2，csAcsBsinC=14，则(ABC)
A. sinC=sin2A+sin2B B. AB=2 C. sinA+sinB=62 D. AC2+BC2=3
【解析】1-2sin2A+1-2sin2B+2sinC=2，∴sin2A+sin2B=sinC，A正确.
由sin2A+sin2B=sinAcsB+csAsinB)，
∴sinAsinA-csB+sinBsinB-csA=0，
∵csAcsBsinC=14∴A,B为锐角，
若A+B>π2
则A>π2-BB>π2-A
∴sinA>csB，sinB>csA，
∴矛盾，舍去，A+B10.828 。
所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为超声波检查结果与患该疾病有关 。
16.（15 分）设数列 {an}满足 a1=3，an+1n=ann+1+1nn+1。
(1) 证明：{nan} 为等差数列；
(2) 设fx=a1x+a2x2+⋯+amxm，求 f'-2。
解：本题主要考查等差数列的证明以及导数的计算，我们可以根据等差数列的定义证明{nan}为等差数列，再通过求出数列{an}的通项公式来计算f'-2。
(1) 证明{nan}为等差数列
已知an+1n=ann+1+1nn+1，等式两边同时乘以nn+1去分母得： n+1an+1=nan+1即n+1an+1-nan=1。 因为a1=3，所以1×a1=3 。 根据等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 对于数列{nan}，首项为1×a1=3，且n+1an+1-nan=1（常数），所以{nan}是以3为首项，1为公差的等差数列。
(2) 计算f'-2
步骤一：求数列{an}的通项公式 由1知{nan}是首项为3，公差为1的等差数列，根据等差数列通项公式bn=b1+n-1d（其中b1为首项，d为公差 ），可得nan=3+n-1×1，化简：nan=3+n-1，nan=n+2，an=n+2n=1+2n
步骤二：求f(x)的导数f'x已知fx=a1x+a2x2+⋯+amxm，根据求导公式Xn'=nXn-1，对f(x)求导得：f'x=a1+2a2x+3a3x2+⋯+mamxm-1
步骤三：计算f'-2 将x = - 2代入f'x得：f'-2=a1+2a2×-2+3a3×-22+⋯+mam×-2m-1由an=1+2n，则nan=n+2，那么an=n+2n，所以：f'(-2)=n=1mnan×(-2)n-1 =n=1m(n+2)×(-2)n-1 =n=1mn×(-2)n-1+2n=1m(-2)n-1
计算n=1m-2n-1： 这是首项为1，公比为-2的等比数列的前m项和，根据等比数列求和公式Sn=b11-qn1-q（b1为首项，q为公比 ），可得n=1m-2n-1=1--2m1--2=1--2m3 。
计算n=1mn×-2n-1： 设S=n=1mn×-2n-1=1×-20+2×-21+3×-22+⋯+m×-2m-1 1，
两边乘以-2得：-2S=1×-21+2×-22+⋯+m-1×-2m-1+m×-2m 2
1-2得： S-(-2S)=[1+(-2)+(-2)2+⋯+(-2)m-1]-m×(-2)m，3S=1-(-2)m1-(-2)-m×(-2)mS=1-(-2)m9-m×(-2)m3
将上述两个和代入f'-2得： f'(-2)=1-(-2)m9-m×(-2)m3+2×1-(-2)m3=1-(-2)m-3m×(-2)m+6-6×(-2)m9=7-(7+3m)×(-2)m9
综上，(1)证明见上述过程；2f'-2=7-7+3m×-2m9 。
17.（15 分）四棱锥 P - ABCD 中，PA ⊥平面 ABCD，BC ∥AD，AB ⊥AD。
(1) 证明：平面 PAB ⊥平面 PAD；
(2) 若 PA=AB=2，AD=3+1，BC = 2，P, B, C, D 在同一球面上，球心为 O。
(i) 证明：O 在平面 ABCD 上；
(ii) 求直线 AC 与直线 PO 所成角的余弦值。
1 证明平面 PAB⊥ 平面 PAD
因为 PA⊥ 平面 ABCD，AB⊂ 平面 ABCD，
所以 PA⊥AB。 又 AB⊥AD，PA∩AD = A，
PA,AD⊂ 平面 PAD，所以 AB⊥ 平面 PAD。 因为 AB⊂ 平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAD 。
(2)（i）以点A为原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则(A0,0,0)，(B2,0,0)，(C2,2,0)，(D0,3+1,0)，(P0,0,2)， 设球O的方程为x2+y2+z2+Dx+Ey+Hz+F=0， 将B，C，D，P四点代入球面O的方程得
2+2D+F=016+2D+2E+F=024+23+3+1E+F=032+2H+F=04
2-1得E = - 2，将E = - 2代入(3)式得F = - 2， 再将F = - 2分别代入(1)和(4)得D = H = 0， 所以球面O的方程为x2+y2+z2-2y-2=0， 即x2+y-12+z2=3， 所以球心O0,1,0在平面ABCD上．
（ii）AC=2,2,0 ,PO=0,1,-2 , cs=AC⋅PO|AC||PO|=23
所以直线AC与直线PO所成角的余弦值为23．
(17 分) 设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>0,b>0的离心率为223，下顶点为A，右顶点为B，AB=10。
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足AR⋅AP=3。
(i) 设Pm,n，求点R的坐标 (用m,n表示)；
(ii) 设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值。
解: 1求椭圆标准方程
已知A0,-b，Ba,0，由AB=10，根据两点间距离公式AB=a-02+0+b2=a2+b2，可得a2+b2=10，即a2+b2=10 ①。
椭圆离心率e=ca（c为半焦距，且c2=a2-b2），已知e=223，则ca=223，即c = 223a。
又c2=a2-b2，所以223a2=a2-b2，化简得89a2=a2-b2，即b2=a2-89a2=19a2 ②。
将②代入①得：a2+19a2=10，109a2=10，解得a2=9，则b2=1。
所以椭圆C的标准方程为x29+y2=1。
（2）（i）由题意知AP的斜率存在，设斜率为k，
则直线AP的方程为：y = kx - 1，直线AP的方向向量为1,k，
设AP=λ11,k ，AR=λ21,k，因为点R在射线AP上，所以λ1λ2>0，
由AP⋅AR=3得，λ1λ21+k2=3，
由（1）知A0,-1，B3,0，及Pm,n，所以AP=m,n+1，
设RxR,yR，则AR=xR,yR+1，则
m=λ1n+1=λ1kxR=λ2yR+1=λ2kλ1λ21+k2=3
由&m=λ1&n+1=λ1k&λ1λ21+k2=3⇒λ1=mk=n+1mλ2=3m(1+k2)=3mm2+(n+1)2
由&xR=λ2&yR+1=λ2k⇒xR=λ2=3mm2+(n+1)2yR=λ2k-1=3n+1m2+(n+1)2-1∴R3mm2+(n+1)2,3n+1m2+(n+1)2-1
（ii）
由题意知OR的斜率kOR=yRxR=3kOP=3nm，
即3nm=3n+1m2+n+12-13mm2+n+12=3n+1-m2+n+123m，即m2+n+42=18，
所以，点P的运动轨迹是以G0,-4为圆心，以18=32为半径的圆，
所以，PQ≤PG+QG=r+QG=32+QG，
由Q在椭圆C上可设Q3csθ,sinθ，则|QG|2=(3csθ)2+(sinθ+4)2 =-8sinθ2+8sinθ+25 =-8sinθ-122+27≤27
当且仅当sinθ=12时等号成立，此时QGmax=27=33
所以PQmax=32+33=32+3
图中红色线段是最大值。
19.（17 分）(1) 求函数 fx=5csx-cs5x 在区间0,π4的最大值；
(2) 给定θ∈0,π和 a∈R，证明：存在 y∈a-θ,a+θ，使得 csy≤csθ；
(3) 设 b∈R，若存在 φ∈R使得 5csx-cs5x+φ≤b 对 x∈R恒成立，求 b 的最小值。
（1）求fx在0,π4的最大值
求导化简
对fx=5csx-cs5x根据求导公式csu'=-sinu⋅u'，f'x=-5sinx+5sin5x步变形为f'x=5sin5x-sinx再利用和差化积公式sinA-sinB=2csA+B2sinA-B2，这里A = 5x，B = x，则 sin5x- sin⁡x=2 cs3x sin2x，所以f'x=10cs3xsin2x 。
分析导数符号确定单调性
已知x∈0,π4，则2x∈0,π2，所以sin2x≥0；3x∈0,3π4 x∈0,π6时，3x∈[0,π2)， cs3x>0，f'x=10cs3xsin2x>0单调递增；当x∈π6,π4时，3x∈π2,3π4， cs3x