上海市骏博外国语学校2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份上海市骏博外国语学校2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）一次函数y＝kx+b的图象经过点（m，﹣3）和点（﹣3，m），其中m＜﹣3，则应满足（ ）
A．k＞0，b＞0B．k＜0，b＜0C．k＞0，b＜0D．k＜0，b＞0
2．（3分）解方程3(x2+1x2)+(x+1x)+2=0时，如果设x+1x=y，那么原方程可化为（ ）
A．3y2+y+2＝0B．3y2+y+8＝0C．3y2+y﹣4＝0D．3y2+y＝0
3．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，动点E从点C出发，以每秒1个单位的速度沿路线C→D→A做匀速运动，点E到达A点运动停止，那么△BEC的面积y与点E运动的时间x秒之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．互为相反向量是平行向量
B．零向量没有方向
C．长度相等的向量叫相等向量
D．平行向量是在同一条直线上的向量
5．（3分）一个凸多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）
A．9条B．8条C．7条D．6条
6．（3分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7B．9C．10D．11
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）设x1、x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，则x1+x2＝ ．
8．（2分）若x+y⋅(x+y-1)=2则x+y＝ ．
9．（2分）若反比例函数y=kx的图象过点（﹣2，1），则一次函数y＝kx﹣k的图象不过第 象限．
10．（2分）直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为 ．
11．（2分）菱形的面积为24平方厘米，一条对角线长为6厘米，则它的周长是 厘米．
12．（2分）顺次连接矩形各边中点所得四边形为 形．
13．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标是 ．
14．（2分）在矩形ABCD中，如果|AB→|=2，|BC→|=1，那么|AB→+BC→|= ．
15．（2分）从等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率为 ．
16．（2分）如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为 ．
17．（2分）如图，平行四边形ABCD中，点E在AD上，以BE为折痕，把△ABE向上翻折，点A正好落在CD边的点F处，若△FDE的周长为6，△FCB的周长为20，那么CF的长为 ．
18．（2分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，D在CG上，BC＝1，CG＝3，H是AF的中点，则CH的长是 ．
二、解答题（本大题共8题，满分58分）
19．（6分）解方程：（a﹣1）x＝2（x+3）．
20．（6分）解分式方程：x2+2x+6xx2+2=5．
21．（6分）x2-3xy-4y2=0x2+4xy+4y2=1．
22．（6分）如图，点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上，且EB＝DF．
（1）填空：BC→+BA→= ；BA→+AF→= ；BC→-AF→= ．
（2）求作：BC→+AF→．
23．（6分）A、B两地间的路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时相遇．相遇后，两车各以原来的速度继续行驶，甲车到达B地后立即原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲、乙两车的速度．
24．（8分）如图，将一张矩形纸片A′B′C′D′沿EF折叠，使点B′落在A′D′边上的点B处；沿BG折叠，使点D′落在点D处，且BD过F点．
（1）试判断四边形BEFG的形状，并证明你的结论；
（2）当∠BFE为多少度时，四边形BEFG是菱形？
25．（10分）如图，在直角坐标平面内，函数y=mx（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）求证：DC∥AB；
（3）当AD＝BC时，求直线AB的函数解析式．
26．（10分）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB＝4，BC＝6，∠B＝60度．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP＝x．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年上海市骏博外国语学校八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）一次函数y＝kx+b的图象经过点（m，﹣3）和点（﹣3，m），其中m＜﹣3，则应满足（ ）
A．k＞0，b＞0B．k＜0，b＜0C．k＞0，b＜0D．k＜0，b＞0
【分析】依据题意，首先根据函数值与自变量的对应关系，得出k的取值范围，然后求出b＝m﹣3，得出b的取值范围，进而可以判断得解．
【解答】解：∵m＜﹣3，且一次函数y＝kx+b的图象经过点（m，﹣3）和点（﹣3，m），
∴函数y随着x的增大而减小，
∴k＜0．
又∵mk+b＝﹣3，﹣3k+b＝m，
∴b＝m﹣3＜0．
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
2．（3分）解方程3(x2+1x2)+(x+1x)+2=0时，如果设x+1x=y，那么原方程可化为（ ）
A．3y2+y+2＝0B．3y2+y+8＝0C．3y2+y﹣4＝0D．3y2+y＝0
【分析】由x+1x=y可得（x+1x）2＝y2，所以可得x2+1x2+2＝y2，所以原方程可整理为整式方程．
【解答】解：设x+1x=y，
∴可得（x+1x）2＝x2+1x2+2＝y2，
∴3（y2﹣2）+y+2＝0，
原方程可化为：3y2+y﹣4＝0．
故选：C．
【点评】本题考查把分式方程通过换元方式转化为整式方程，关键是利用平方关系寻找x2+1x2与y的关系．
3．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，动点E从点C出发，以每秒1个单位的速度沿路线C→D→A做匀速运动，点E到达A点运动停止，那么△BEC的面积y与点E运动的时间x秒之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】运用动点函数进行分段分析，当点E在CD上，及在DA上时，分别求出函数解析式，再结合图象得出符合要求的解析式．
【解答】解：①当点E在CD上时，此时x≤1，
∵AB＝1，BC＝2，动点E从点C出发，E点在CD上时，CE＝x，BC＝2，
∴△ABP的面积S=12×BC×CE=12×2x＝x；
当点E在DA上时，此时1＜x＜3，
△BEC的高是1，底边是2，所以面积是1，即s＝1；
综上可得s＝x时是正比例函数，且y随x的增大而增大，s＝1时，是一个常数函数，是一条平行于x轴的直线．
所以只有D符合要求．
故选：D．
【点评】此题主要考查了动点函数的应用，注意将函数分段分析得出解析式是解决问题的关键，有一定难度．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．互为相反向量是平行向量
B．零向量没有方向
C．长度相等的向量叫相等向量
D．平行向量是在同一条直线上的向量
【分析】互为相反向量是平行向量，零向量有方向，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，平行向量不一定是在同一条直线上的向量，即可得出答案．
【解答】解：互为相反向量是平行向量，
故A选项正确，符合题意；
零向量有方向，
故B选项不正确，不符合题意；
长度相等的向量不一定是相等向量，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，
故C选项不正确，不符合题意；
平行向量不一定是在同一条直线上的向量，
故D选项不正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（3分）一个凸多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）
A．9条B．8条C．7条D．6条
【分析】首先利用多边形的内角和公式求得多边形的边数；然后根据多边形的边数与对角线的关系即可得出结论．
【解答】解：设多边形的边数为n．
根据题意得：140°n＝（n﹣2）×180°，
解得n＝9，
所以从一个顶点引出的对角线的条数为9﹣3＝6条．
故选：D．
【点评】本题考查的是多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
6．（3分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7B．9C．10D．11
【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据三角形的中位线定理得到HG=12BC＝EF，EH＝FG=12AD，求出EF、HG、EH、FG的长，代入即可求出四边形EFGH的周长．
【解答】解：∵BD⊥DC，BD＝4，CD＝3，由勾股定理得：BC=BD2+CD2=5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴HG=12BC＝EF，EH＝FG=12AD，
∵AD＝6，
∴EF＝HG＝2.5，EH＝GF＝3，
∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH＝2×（2.5+3）＝11．
故选：D．
【点评】本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据三角形的中位线定理求出EF、HG、EH、FG的长是解此题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）设x1、x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，则x1+x2＝ ﹣2 ．
【分析】根据根与系数的关系x1+x2=-ba进行求解即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个实数根，
根据根与系数的关系x1+x2=-42=-2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca是解答本题的关键．
8．（2分）若x+y⋅(x+y-1)=2则x+y＝ 4 ．
【分析】先去掉括号，把x+y写成(x+y)2，然后分解因式，得到关于x+y的方程，解方程求出x+y，从而求出x+y即可．
【解答】解：∵x+y⋅(x+y-1)=2，
x+y-x+y=2，
(x+y)2-x+y-2=0，
(x+y-2)(x+y+1)=0，
x+y-2=0，x+y+1=0，
x+y=2，x+y=-1（不合题意，舍去），
∴x+y＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和几种常见的分解因式的方法．
9．（2分）若反比例函数y=kx的图象过点（﹣2，1），则一次函数y＝kx﹣k的图象不过第 三 象限．
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝﹣2，则一次函数为y＝﹣2x+2，然后根据一次函数图象与系数的关系求解．
【解答】解：把（﹣2，1）代入y=kx得k＝﹣2×1＝﹣2，
所以一次函数为y＝﹣2x+2，
所以一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为三．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
10．（2分）直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为 x≥1 ．
【分析】首先把P（a，2）坐标代入直线y＝x+1，求出a的值，从而得到P点横坐标，再根据函数图象可得答案．
【解答】解：将点P（a，2）坐标代入直线y＝x+1，得a＝1，
从图中直接看出，当x≥1时，x+1≥mx+n，
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出两函数图象的交点坐标，根据函数图象可得答案．
11．（2分）菱形的面积为24平方厘米，一条对角线长为6厘米，则它的周长是 20 厘米．
【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，12AC•BD＝24平方厘米，AO=12AC＝3cm，BO=12BD，则BD＝8厘米，BO＝4厘米，再由勾股定理求出AB＝5厘米，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，面积为24平方厘米，AC＝6厘米，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，菱形ABCD的面积=12AC•BD＝24平方厘米，AO=12AC＝3cm，BO=12BD，
∴∠AOB＝90°，BD＝8厘米，
∴BO＝4厘米，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB=AO2+BO2=32+42=5（厘米），
∴菱形的周长＝4AB＝4×5＝20（厘米）．
故答案为：20．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出菱形的边长是解题的关键．
12．（2分）顺次连接矩形各边中点所得四边形为 菱 形．
【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF＝GH=12AC，FG＝EH=12BD，再根据矩形的对角线相等可得AC＝BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．
【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF＝GH=12AC，FG＝EH=12BD（三角形的中位线等于第三边的一半），
∵矩形ABCD的对角线AC＝BD，
∴EF＝GH＝FG＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：菱形．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．
13．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标是 （1+23，2） ．
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OB的长度，然后过点C作CE⊥x轴于点E，根据直角三角形的性质求出∠CBE＝30°，在Rt△BCE中求出CE、BE的长度，再求出OE的长度，即可得解．
【解答】解：∵AB＝2，∠OAB＝30°，
∴OB=12AB＝1，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠AB0+∠CBE＝90°，
∴∠CBE＝∠OAB＝30°，
点C作CE⊥x轴于点E，
在Rt△BCE中，CE=12BC=12×4＝2，BE=BC2-CE2=42-22=23，
∴OE＝OB+BE＝1+23，
∴点C的坐标是（1+23，2）．
故答案为：（1+23，2）．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
14．（2分）在矩形ABCD中，如果|AB→|=2，|BC→|=1，那么|AB→+BC→|= 5 ．
【分析】由在矩形ABCD中，如果|AB→|=2，|BC→|=1，即可求得AB，BC的长与∠B＝90°，利用勾股定理即可求得AC的长，又由AB→+BC→=AC→，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵|AB→|=2，|BC→|=1，
∴AB＝2，BC＝1，
∴AC=AB2+BC2=5，
∴|AB→+BC→|=|AC→|=5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了平面向量的知识、矩形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意三角形法则的应用．
15．（2分）从等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率为 35 ．
【分析】根据中心对称图形及概率公式求解即可．
【解答】解：选出的图形恰好是中心对称图形的概率为35，
故答案为：35．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握中心对称图形及概率公式．
16．（2分）如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为 12 ．
【分析】利用角平分线的性质和梯形中位线性质，可求出BE＝EP，而AE＝BE，所以AB＝2EP，同理CD＝2DF，所以可求出AB+CD的长，再利用梯形中位线定理可求出上下底之和，那么梯形周长可求．
【解答】解：
∵EF是梯形中位线，
∴EF∥BC，AD+BC＝2EF＝6，
∴∠EPB＝∠PBC，
又∵BP是∠ABC的角平分线，
∴∠EBP＝∠PBC，
∴∠EBP＝∠EPB，
∴BE＝EP，
又∵E似AB中点，
∴AE＝BE，
∴AB＝2EP，
同理CD＝2FP，
∴AB+CD＝2（EP+FP）＝2EF＝6，
∴梯形周长＝AD+BC+AB+CD＝6+6＝12．
【点评】本题利用了角平分线性质，梯形中位线定理、以及梯形周长公式．
17．（2分）如图，平行四边形ABCD中，点E在AD上，以BE为折痕，把△ABE向上翻折，点A正好落在CD边的点F处，若△FDE的周长为6，△FCB的周长为20，那么CF的长为 7 ．
【分析】由△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上，得出AE＝EF，AB＝BF，所以△FDE的周长+△FCB的周长＝平行四边形的周长，进而求出BC+BF的长，利用CF＝20﹣（BF+BC）求出CF的值．
【解答】解：∵△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上，
∴AE＝EF，AB＝BF，
∵△FDE的周长为6，△FCB的周长为20，
∴DE+DF+EF＝6，BC+CF+BF＝20，
∴DE+DF+EF+BC+CF+BF＝6+20，
∴（DE+EF）+（DF+CF）+BC+BF＝26
∵DE+EF＝AD，DF+CF＝DC，
∴AD+DC+AB+BC＝26，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB+BC＝13，即BF+BC＝13，
∴CF＝20﹣（BF+BC）＝20﹣13＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了折叠问题及平行四边形的性质，解题的关键是明确线段折叠后大小不变．
18．（2分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，D在CG上，BC＝1，CG＝3，H是AF的中点，则CH的长是 5 ．
【分析】延长AD交EF于点M，连接AC，EC，根据正方形性质得AD＝CD＝BC＝1，∠ACD＝45°，CG＝GF＝3，∠GCF＝45°，进而得GD＝2，证明四边形GDMF是矩形得FM＝GD＝2，DM＝GF＝3，则AM＝4，由勾股定理求出AF=25，再证明∠ACF＝90°，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可得出CH的长．
【解答】解：延长AD交EF于点M，连接AC，EC，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，BC＝1，
∴AD＝CD＝BC＝1，∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，
∴∠GDM＝∠ADC＝90°，
∵四边形CEFG是正方形，CG＝3，
∴CG＝GF＝3，∠G＝∠GFE＝90°，∠GCF＝45°，
∴GD＝CG﹣CD＝2，
∵∠GDM＝∠G＝∠GFE＝90°，
∴四边形GDMF是矩形，
∴FM＝GD＝2，DM＝GF＝3，∠AMF＝90°，
在Rt△AMF中，AM＝AD+DM＝4，
由勾股定理得：AF=AM2+FM2=42+22=25，
∵∠ACF＝∠ACD+∠GCF＝90°，
∴△ACF是直角三角形，
∵H是AF的中点，
∴CH是Rt△ACF斜边AF上的中线，
∴CH=12AF=5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理是解决问题的关键．
二、解答题（本大题共8题，满分58分）
19．（6分）解方程：（a﹣1）x＝2（x+3）．
【分析】根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可．
【解答】解：（a﹣1）x＝2（x+3），
去括号，得ax﹣x＝2x+6，
移项、合并同类项，得（a﹣3）x＝6，
当a≠3时，解得：x=6a-3；
当a＝3时，方程无解．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
20．（6分）解分式方程：x2+2x+6xx2+2=5．
【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力．可根据方程特点设y=xx2+2，则原方程可化为6y2﹣5y+1＝0．解一元二次方程求y，再求x．
【解答】解：设y=xx2+2，则原方程可化为：1y+6y＝5，
去分母得：1+6y2＝5y，
移项得：6y2﹣5y+1＝0，
解得：y1=12，y2=13，
当y1=12时，xx2+2=12，此方程无解；
当y2=13时，xx2+2=13，解得x1＝2，x2＝1，
经检验x1＝2，x2＝1都是原方程的根，
∴原方程的根是x1＝2，x2＝1．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
21．（6分）x2-3xy-4y2=0x2+4xy+4y2=1．
【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．
【解答】解：x2-3xy-4y2=0①x2+4xy+4y2=1②，
将①因式分解得：（x﹣4y）（x+y）＝0，
∴x﹣4y＝0或x+y＝0，
将②因式分解得：（x+2y）2＝1，
∴x+2y＝1或x+2y＝﹣1，
∴原方程化为：x-4y=0x+2y=1，x-4y=0x+2y=-1，x+y=0x+2y=1，x+y=0x+2y=-1，
解这些方程组得：x1=23y1=16，x2=-23y2=-16，x3=-1y3=1，x4=1y4=-1．
∴原方程组的解为：x1=23y1=16，x2=-23y2=-16，x3=-1y3=1，x4=1y4=-1，
【点评】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．
22．（6分）如图，点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上，且EB＝DF．
（1）填空：BC→+BA→= BD→ ；BA→+AF→= BF→ ；BC→-AF→= BE→ ．
（2）求作：BC→+AF→．
【分析】（1）根据平行四边形法则，即可得出答案．
（2）利用平行四边形法则来作合向量：BC→+AF→即可．
【解答】解：（1）BC→+BA→=BD→；
BA→+AF→=BF→(或ED→)；
∵BC→=AD→，
∴BC→-AF→=FD→(或BE→)．
（2）∵BC→=AD→，
∴BC→+AF→=AD→+AF→，
即是根据平行四边形法则求作AD→和AF→的合向量．
图形如下所示：所作AO→即为所求．
【点评】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意平面向量定义及平行四边形法则的熟练掌握．
23．（6分）A、B两地间的路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时相遇．相遇后，两车各以原来的速度继续行驶，甲车到达B地后立即原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲、乙两车的速度．
【分析】设甲车的速度为x千米/小时，则乙车的速度为（75﹣x）千米/小时，甲车返回的速度为2x千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合甲、乙两车同时到达A地，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲车的速度），再将其代入2x中，即可求出乙车的速度．
【解答】解：设甲车的速度为x千米/小时，则乙车的速度为（75﹣x）千米/小时，甲车返回的速度为2x千米/小时，
根据题意得：150x+1502x=15075-x，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是所列方程的解，且符合题意，
∴75﹣x＝75﹣45＝30（千米/小时）．
答：甲车的速度为45千米/小时，乙车的速度为30千米/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．（8分）如图，将一张矩形纸片A′B′C′D′沿EF折叠，使点B′落在A′D′边上的点B处；沿BG折叠，使点D′落在点D处，且BD过F点．
（1）试判断四边形BEFG的形状，并证明你的结论；
（2）当∠BFE为多少度时，四边形BEFG是菱形？
【分析】（1）由题意，∠EFB'＝∠EFB，∵BE∥FG，∴∠EFB'＝∠BEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，同理BF＝FG，∴BE＝FG，∴四边形BEFG是平行四边形；
（2）当∠BFE＝60°时，△BEF为等边三角形，∴BE＝EF，∴平行四边形BEFG是菱形．
【解答】解：（1）四边形BEFG为平行四边形，
理由：由题意，∠EFB'＝∠EFB．
∵BE∥FG，
∴∠EFB'＝∠BEF．
∴∠BEF＝∠EFB．
∴BE＝BF．（4分）
同理BF＝FG．
∴BE＝FG．
∴四边形BEFG是平行四边形．（6分）
（2）当∠BFE＝60°时，
理由：∵△BEF为等边三角形，
∴BE＝EF．
∴平行四边形BEFG是菱形．（9分）
【点评】此题主要考查平行四边形、菱形的判定．
25．（10分）如图，在直角坐标平面内，函数y=mx（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）求证：DC∥AB；
（3）当AD＝BC时，求直线AB的函数解析式．
【分析】（1）由函数y=mx（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），可求m＝4，由已知条件可得B点的坐标为（a，4a），又由△ABD的面积为4，即12a（4-4a）＝4，得a＝3，所以点B的坐标为（3，43）；
（2）依题意可证，BEDE=a-11=a﹣1，AECE=4-4a4a=a﹣1，BEDE=AECE，所以DC∥AB；
（3）由于DC∥AB，当AD＝BC时，有两种情况：①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，由（2）得，点B的坐标是（2，2），设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，用待定系数法可以求出解析式（把点A，B的坐标代入），是y＝﹣2x+6．
②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD＝AC，可求点B的坐标是（4，1），设直线AB的函数解析式y＝kx+b，用待定系数法可以求出解析式（把点A，B的坐标代入），是y＝﹣x+5．
【解答】（1）解：∵函数y=mx（x＞0，m是常数）图象经过A（1，4），
∴m＝4．
∴y=4x，
设BD，AC交于点E，据题意，可得B点的坐标为（a，4a），D点的坐标为（0，4a），E点的坐标为（1，4a），
∵a＞1，
∴DB＝a，AE＝4-4a．
由△ABD的面积为4，即12a（4-4a）＝4，
得a＝3，
∴点B的坐标为（3，43）；
（2）证明：据题意，点C的坐标为（1，0），DE＝1，
∵a＞1，
易得EC=4a，BE＝a﹣1，
∴BEDE=a-11=a﹣1，AECE=4-4a4a=a﹣1．
∴BEDE=AECE且∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴∠ABE＝∠CDE，
∴DC∥AB；
（3）解：∵DC∥AB，
∴当AD＝BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，由（2）得，
BEDE=AECE=a-1，
∴a﹣1＝1，得a＝2．
∴点B的坐标是（2，2）．
设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，把点A，B的坐标代入，
得4=k+b2=2k+b，
解得k=-2b=6．
故直线AB的函数解析式是y＝﹣2x+6．
②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD＝AC，
∴a＝4，
∴点B的坐标是（4，1）．
设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，把点A，B的坐标代入，
得4=k+b1=4k+b，
解得k=-1b=5，
故直线AB的函数解析式是y＝﹣x+5．
综上所述，所求直线AB的函数解析式是y＝﹣2x+6或y＝﹣x+5．
【点评】本题要注意利用一次函数和反比例函数的特点，列出方程，求出未知数的值，用待定系数法从而求得其解析式．
主要是注意分类讨论和待定系数法的运用，需学生熟练掌握．
26．（10分）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB＝4，BC＝6，∠B＝60度．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP＝x．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）可通过构建直角三角形然后运用勾股定理求解．
（2）①△PMN的形状不会变化，可通过做EG⊥BC于G，不难得出PM＝EG，这样就能在三角形BEG中求出EG的值，也就求出了PM的值，如果做PH⊥MN于H，PH是三角形PMH和PHN的公共边，在直角三角形PHM中，有PM的值，∠PMN的度数也不难求出，那么就能求出MH和PH的值，也就求出HN和PN的值了，有了PN，PM，MN的值，就能求出三角形MPN的周长了．
②本题分两种情况进行讨论：
1、N在CD的DF段时，PM＝PN．这种情况同①的计算方法．
2、N在CD的CF段时，又分两种情况进行讨论
MP＝MN时，MC＝MN＝MP，这样有了MC的值，x也就能求出来了
NP＝NM时，我们不难得出∠PMN＝120°，又因为∠MNC＝60°因此∠PNM+∠MNC＝180°．这样点P与F就重合了，△PMC即这是个直角三角形，然后根据三角函数求出MC的值，然后就能求出x了．
综合上面的分析把△PMC是等腰三角形的情况找出来就行了．
【解答】解：（1）如图1，过点E作EG⊥BC于点G．
∵E为AB的中点，
∴BE=12AB＝2
在Rt△EBG中，∠B＝60°，
∴∠BEG＝30°．
∴BG=12BE＝1，EG=22-12=3
即点E到BC的距离为3．
（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．
∵PM⊥EF，EG⊥EF，
∴PM∥EG，
又EF∥BC，
∴四边形EPMG为矩形，
∴EP＝GM，PM＝EG=3
同理MN＝AB＝4．
如图2，过点P作PH⊥MN于H，
∵MN∥AB，
∴∠NMC＝∠B＝60°，又∠PMC＝90°，
∴∠PMH＝∠PMC﹣∠NMC＝30°．
∴PH=12PM=32
∴MH＝PM•cs30°=32
则NH＝MN﹣MH＝4-32=52
在Rt△PNH中，PN=NH2+PH2=(52)2+(32)2=7
∴△PMN的周长＝PM+PN+MN=3+7+4
②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．
当PM＝PN时，如图3，作PR⊥MN于R，则MR＝NR．
类似①，PM=3，∠PMR＝30°，
MR＝PMcs30°=3×32=32，
∴MN＝2MR＝3．
∵△MNC是等边三角形，
∴MC＝MN＝3．
此时，x＝EP＝GM＝BC﹣BG﹣MC＝6﹣1﹣3＝2．
当MP＝MN时，
∵EG=3，
∴MP＝MN=3，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△MNC是等边三角形，
∴MC＝MN＝MP=3（如图4），
此时，x＝EP＝GM＝6﹣1-3=5-3，
当NP＝NM时，如图5，∠NPM＝∠PMN＝30°．
则∠PNM＝120°，又∠MNC＝60°，
∴∠PNM+∠MNC＝180°．
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．
∴MC＝PM•tan30°＝1．
此时，x＝EP＝GM＝6﹣1﹣1＝4．
综上所述，当x＝2或4或（5-3）时，△PMN为等腰三角形．
【点评】本题综合考查了等腰梯形，等腰直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识点的应用．
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1
2
3
4
5
6
答案
B
C
D
A
D
D