浙江省杭州学军中学2024~2025学年高一下册5月月考数学试题【附解析】

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．2B．2C．1D．
3．设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．B．且，则
C．，那么D．
4．在锐角中，“”是“不是最小内角”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．若函数的值域为，则实数的可能值共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．已知函数在内有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．在正三棱锥中，，点，分别在棱和上，且，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在长方体中，，，点在矩形内运动（包括边界），，分别为的中点，若平面，当取得最小值时，的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若a，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，矩形中，，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得
B．面积的最大值为
C．
D．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积
11．已知函数，的定义域均为R，且，．若的图象关于点对称，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知实数满足，且，则 .
13．三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为 .
14．已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为 .
四、解答题：本题共7小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量，.
(1)当且时，求实数的值；
(2)当，，求向量与的夹角.
16．如图，等腰与四边形所在平面互相垂直，若，
(1)求证：平面；
(2)若，求四面体的体积.
17．在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角.
(1)若，求的大小；
(2)求的最小值.
18．在多面体中，已知，，且，．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
19．已知a，b，c，，且，定义的“区间长度”为﹐函数的定义域为，
(1)当时，求关于x的不等式解集的“区间长度”，
(2)已知，设关于x的不等式解集的“区间长度”为I．
（ⅰ）若，求t；
（ⅱ）求I的最大值．