天津市耀华中学2024~2025学年高二下册期中学情调研数学试卷【附解析】

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.
1. 若，则（ ）
A. 243B. 27C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】由赋值法令即可求解．
【详解】令得，，
故选：D．
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本初等函数的求导公式即可判断AC；利用复合函数的求导公式即可判断B；利用导数的加法法则即可判断D.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
3. 已知随机变量 的分布列如下：
若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分布列的性质以及期望的计算公式列式求解即可.
【详解】由分布列可得，解得，
由期望可得，解得
故选：C.
4. 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用导函数在内有零点列式求解.
【详解】由，求导得，而函数在区间上不单调，
则在内有解，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
5. 函数在上的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，求导确定单调性即可判断.
【详解】因为，所以，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD，
又，，
设，，则，.
所以在上为增函数，又，
所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B.
故选：A
6. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案.
【详解】记“从甲箱中取出球恰有个红球”为事件，
根据题意可得，
，
所以
.
故选：D.
7. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导，令，求得，进而可得对恒成立，进而令，利用导数求得，可求得实数的取值范围.
【详解】，
，解得，
对任意恒成立，即对任意恒成立，
令，则，
令，解得或，
易得在上单调递增，在上单调递减，故，
故实数的取值范围是.
故选：A.
8. 某大厦一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层载有4位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这4位乘客在第20层下电梯的人数，则随机变量的期望是（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，再根据二项分布的期望公式求解即可.
【详解】由题意可知，
所以.
故选：B.
9. 已知函数，其导函数为，下列说法不正确的是（ ）
A. 函数的单调减区间为
B. 函数的极小值是
C. 函数的图象有条切线方程为
D. 点是曲线的对称中心
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数求出函数的单调区间结合极小值的定义即可判断AB；根据导数的几何意义即可判断C；求出即可判断D.
【详解】由，得，
令，则，令，则或，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以函数的极小值是，故AB正确；
对于C，设切点为，
则，解得或，
当时，，切线方程为，
当时，，切线方程为，
所以函数的图象没有一条切线方程为，故C错误；
对于D，因为
，
所以点是曲线的对称中心，故D正确.
故选：C.
10. 2024年5月20日是第25个“世界计量日”，主题为“可持续发展”．现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（ ）
A. 18种B. 12种C. 9种D. 6种
【答案】A
【解析】
【分析】法一：利用分类加法原理，结合组合数计算，可得答案；法二：利用正难则反的思想，求得对立事件的情况数与总的情况数，可得答案.
【详解】法一：根据题意，分2类讨论．
第一类，去甲活动场地，则在一起，都去甲活动场地，将剩下4人分为2组，
安排在乙、丙两个活动场地即可，有（种）安排方法；
第二类，不去甲活动场地，则必去丙活动场地，在剩下4人中选出2人安排在乙活动场地，
再将剩下2人分别安排到甲、丙活动场地，有（种）安排方法．
根据分类加法计数原理，共有（种）安排方法．
法二：去甲活动场地共有（种）情况，
去甲活动场地且去乙活动场地共有（种）情况，
所以去甲活动场地，不去乙活动场地的不同的安排方法共有（种）．
故选：A．
11. 已知函数（）与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的值可以是（ ）
A. B. 2C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】函数关于y轴对称的函数表达式为，将原题问题转化为只需要方程有正根，方程可化为，令，借助导数研究单调性，最值，进而得到取值范围，即可判断．
【详解】函数关于y轴对称的函数表达式为，
只需要方程有正根，方程可化为．
令，有，
令，有，
可得函数单调递减，则，
可得函数单调递减，有．
由函数是由函数平移过来的，
故方程有正根时，只需要函数与x轴的正半轴有交点，即方程的根，则实数a的取值范围为．
故选：D．
12. 若关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，由导数研究函数的单调性做出函数大致图象，数形结合求解即可．
【详解】设，即有且只有三个整数解，
则，且，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
由于，
，
由于为单调递增函数，，
要使有且只有三个整数解，这三个整数解必然，
所以，解得.
故选：A.
第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
二、填空题：本次题共8小题，每小题4分，共32分，将答案填写在答题卡上.
13. 已知随机变量服从两点分布，其中，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据两点分布的方差公式求解即可.
【详解】因为随机变量服从两点分布，，
所以，
所以，
.
故答案为：.
14. 若二项式展开式中的常数项为160，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出.
【详解】由题二项式展开式的通项公式为：，
所以当时的项为常数项，解得.
故答案为：2.
15. 已知函数在处有极值0，则的值为______．
【答案】11
【解析】
【分析】根据，解得或，再验证函数在时是否取得极值，即可得解．
【详解】因为，所以，
由题意可知，，即，解得或，
当时，，
函数为上的递增函数，此时函数无极值，不合题意；
当时，，
令，得或，令，得，
所以函数在和上递增，在上递减，
所以在时取得极大值，符合题意，所以，
故答案为：11．
16. 甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有______种.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用捆绑法和插空法求解即可.
【详解】将丙丁捆绑和甲乙以外的两人排列，有种，形成了四个空，
再将甲乙插入四个空，有种，
所以甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有种.
故答案为：.
17. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数转化为在上恒成立，利用参变分离转化为求函数最值问题．
【详解】由于函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，即恒成立，
由在上单调递增，则，
，所以实数的取值范围为.
故答案为：．
18. 若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有__________（用数字作答）
【答案】52
【解析】
【分析】根据给定条件，按个位数字是否为0分类，再利用排列计数问题列式求解.
【详解】求符合题意的三位数个数，有两类办法：
0在个位，有个没有重复数字的三位偶数；
0不在个位，排个位有种方法，再排百位有种方法，排十位有种方法，
此时共有个没有重复数字的三位偶数，
所以没有重复数字的三位偶数共有个.
故答案为：52
19. 袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量 的取值，再求出每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望.
【详解】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 .
则.
表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 .
根据条件概率公式 ，可得 .
随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ，，.
表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 .
表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .
表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .
根据期望公式 可得 .
故答案为：；.
20. 已知，函数，若对任意的，恒成立，则a的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由变形可得，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出，结合函数的单调性可得出，参变分离可得，其中，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的最小值.
【详解】对任意的，则，因为，则，
由，可得，
构造函数，其中，则，即函数在上为增函数，
由可得，所以，，
所以，，其中，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，则，故.
因此，实数的最小值为.
故答案为：.
三、解答题：本大题共3小题，共32分，将解题过程及答案填写在答题卡上.
21. （1）已知，求实数的值
（2）解方程：.
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】（1）根据组合数的性质计算即可；
（2）利用排列数公式计算即可.
【详解】（1）因为，
所以或，
解得或，
经检验，都符合题意，
所以或；
（2）由，
得，
化简得，解得或（舍去），
所以.
22. 设函数，．
（1）若在处切线为，求实数的值；
（2）是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）5 （2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）求导，由求出，结合，得到，求出的值；
（2）求定义域，求导，分，和三种情况，得到函数单调性和最小值，从而得到方程，求出答案.
【小问1详解】
，
在处切线为，故，解得，
故，所以，所以，
所以；
【小问2详解】
存在，理由如下：
的定义域为，，
当时，在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，解得，舍去.
当时，令得，，令得，，
若，则，故在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，满足要求，
若，则，故在上单调递减，
故，解得，舍去.
综上，.
23. 已知函数.
（1）若函数的极值点在内，求m的取值范围；
（2）若有两个零点，求m取值的范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，转化问题为在上有解，进而求解即可；
（2）求导，分，两种情况讨论求解即可.
【小问1详解】
由,
则，
要使函数的极值点在内，
则在上有解，
即在上有解，则，解得，
即m的取值范围为.
【小问2详解】
由，，
则，
当时，，，则，
此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当时，，令，得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
又时，，时，，
要使有两个零点，则恒成立，
设，则，
所以函数在上单调递增，又，
则，解得.
综上所述，m取值范围为.
2
3
5