上海市上海交通大学附属中学2024~2025学年高一下册期中考试数学试卷【附解析】

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（说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．）
一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）
1. 若复数，其中是虚数单位，则______.
2. 函数（常数且）的图像必定经过点________．
3. 已知，．若，则的值是________．
4. 物体受到三个力的作用，，，合力，则第三个力的大小为________（单位：牛顿）.
5. 已知，，则在方向上投影向量为________．（用坐标表示）
6. 函数的频率为________．
7. 函数，值域为________．
8. 已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为________．
9. 已知、，若不等式解集为，则（为虚数单位）的取值范围是________．
10. 已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为________．
11. 平面直角坐标系中，将函数，的图像绕原点逆时针旋转后，仍是某个函数的图像．则的取值范围是________．
12. 已知集合，．若对任意向量，均存在、满足，使得，则的最小值为________．
二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项）
13. 设、，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
14. 复数，在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
15. 已知，，若，则点的坐标为（ ）
A B. C. D.
16. 设，函数在区间上最小值为，在上的最小值为，当a变化时，以下不可能的情形是（ ）
A. 且B. 且C. 且D. 且
三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤．
17. 已知平面上的两个向量（），.
（1）求证：向量与垂直；
（2）当向量与的模相等时，求的大小.
18. 已知（，，），函数的部分图象如图所示.
（1）求，，，的值；
（2）求函数的值域.
19. 如图，在一条景观道的一端有一个半径为米的圆形摩天轮O，逆时针分钟转一圈，从处进入摩天轮的座舱，垂直于地面，在距离处米处设置了一个望远镜.
（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜中仔细观看.问望远镜的仰角应调整为多少度？（精确到1度）
（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带，发现取景的视角恰为，求绿化带的长度（精确到1米）
20. 已知，为虚数单位．定义，．
（1）计算，；
（2）求集合在复平面上对应的区域的面积；
（3）若，求的最大值，并求当取得最大值时的值．
21. 已知函数的定义域为．满足条件“存在非零实数，只要（、且），都有”的的全体记作集合．若，称函数具有性质．
（1）下列三个函数中哪些函数具有性质？并写出对应的集合（无需证明）；
①；②；③（表示不超过的最大整数）．
（2）已知定义域为的函数具有性质．求证：“函数是周期函数”的一个充分非必要条件是“为偶函数”．
（3）已知函数具有性质且，且满足：当时；当时．若方程恰有4个解，试求的取值范围．